数学理卷·2017届江西省南昌市十所省重点中学命制高三第二次模拟突破冲刺（二）+（2017

数学理卷·2017届江西省南昌市十所省重点中学命制高三第二次模拟突破冲刺（二）+（2017

南昌市十所省重点中学2017年二模突破冲刺交流卷（02）‎ 高三理科数学 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎（1）设集合，，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（2）设i为虚数单位，若是纯虚数，则a的值是 ‎（A） （B）0 （C）1 （D）2‎ ‎（3）若θ是第二象限角且sinθ =，则=‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（4）设F是抛物线E：的焦点，直线l过点F且与抛物线E交于A，B两点，若F是AB的中点且，则p的值是 ‎（A）2 （B）4 （C）6 （D）8‎ ‎（5）为便民惠民，某通信运营商推出“优惠卡活动”．其内容如下：卡号的前7位是固定的，后四位从“0000”到“9999”共10000个号码参与该活动，凡卡号后四位带有“6”或“8”的一律作为优惠卡，则“优惠卡”的个数是 ‎（A）1980 （B）4096 （C）5904 （D）8020‎ ‎（6）在△ABC中，点D是BC的中点，点E是AC的中点，点F在线段AD上并且AF = 2DF，设= a，= b，则=‎ ‎（A）ab （B）ab ‎（C）ab （D）ab ‎（7）设表示m，n中最大值，则关于函数的命题中，真命题的个数是 ‎①函数的周期 ②函数的值域为 ‎③函数是偶函数 ④函数图象与直线x = 2y有3个交点 ‎（A）1 （B）2 （C）3 （D）4‎ ‎（8）更相减损术是出自中国古代数学专著《九章算术》的一种算法，其内容如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也．以等数约之．”右图是该算法的程序框图，如果输入a = 153，b = 119，则输出的a值是 ‎（A）16‎ ‎（B）17‎ ‎（C）18‎ ‎（D）19‎ ‎（9）设实数，，则下列不等式一定正确的是 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（10）下列方格纸中每个正方形的边长为1，粗线部分是一个几何体的三视图，则该几何体最长棱的棱长是 ‎（A）3 （B）6 （C） （D）5‎ ‎（11）设P为双曲线C：，上且在第一象限内的点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，PF2⊥F1F2，x轴上有一点A且AP⊥PF1，E是AP的中点，线段EF1与PF2交于点M．若，则双曲线的离心率是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（12）设函数= x·ex，，，若对任意的，都有成立，则实数k的取值范围是 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题～第（21）‎ 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题～第（23）题为选考题，考生根据要求作答．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎（13）的展开式中，x5的系数是 ．（用数字填写答案）‎ ‎（14）若x，y满足约束条件，则的最小值是 ．‎ ‎（15）下表示意某科技公司2012～2016年年利润y（单位：十万元）与年份代号x之间的关系，如果该公司盈利变化规律保持不变，则第n年（以2012年为第1年）年利润的预报值是y = ．（直接写出代数式即可，不必附加单位）‎ 年份 ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ 年份代号x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 年利润/十万元 ‎1‎ ‎6‎ ‎15‎ ‎28‎ ‎45‎ ‎（16）在如图所示的直角坐标系xOy中，AC⊥OB，OA⊥AB，|OB| = 3，点C是OB上靠近O点的三等分点，若函数的图象（图中未画出）与△OAB的边界至少有2个交点，则实数k的取值范围是 ．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，D是BC边上靠近点B的三等分点，．‎ ‎（Ⅰ）若，求C；‎ ‎（Ⅱ）若c = AD = 3，求△ABC的面积．‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 如图，在圆柱中，A，B，C，D是底面圆的四等分点，O是圆心，A1A，B1B，C1C与底面ABCD垂直，底面圆的直径等于圆柱的高．‎ ‎（Ⅰ）证明：BC⊥AB1；‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）求二面角A1 - BB1 - D的大小；‎ ‎（ⅱ）求异面直线AB1和BD所成角的余弦值．‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 王明参加某卫视的闯关活动，该活动共3关．设他通过第一关的概率为0.8，通过第二、第三关的概率分别为p，q，其中，并且是否通过不同关卡相互独立．记ξ为他通过的关卡数，其分布列为：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.048‎ a b ‎0.192‎ ‎（Ⅰ）求王明至少通过1个关卡的概率；‎ ‎（Ⅱ）求p，q的值．‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 已知椭圆C：的右焦点为F，右顶点为A，设离心率为e，且满足，其中O为坐标原点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点的直线l与椭圆交于M，N两点，求△OMN面积的最大值．‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 已知函数存在两个极值点．‎ ‎（Ⅰ）求实数a的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）设和分别是的两个极值点且，证明：．‎ 请考生从（22）、（23）两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分．‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：．‎ ‎（Ⅰ）求曲线C1和C2的直角坐标方程，并分别指出其曲线类型；‎ ‎（Ⅱ）试判断：曲线C1和C2是否有公共点？如果有，说明公共点的个数；如果没有，请说明理由；‎ ‎（Ⅲ）设是曲线C1上任意一点，请直接写出a + 2b的取值范围．‎ ‎（23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数．‎ ‎（Ⅰ）将函数化为分段函数的形式；‎ ‎（Ⅱ）写出不等式的解集．‎ 理科数学试题答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．‎ 题 号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答 案 A C B B C D C B B D A C 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ 题 号 ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 答 案 ‎10‎ ‎（1），，故．‎ ‎（2），因为z是纯虚数，所以，故．‎ ‎（3）由θ是第二象限角且sinθ =知：，．‎ 所以．‎ ‎（4）设，，则，故=，即p = 4．‎ ‎（5）不带“6”或“8”的号码个数为84 = 4096，故带有“6”或“8”的有5904个．‎ ‎（6），故选D．‎ ‎（7）下图是函数与直线在同一坐标系中的图象，由图知①②④正确，选C.‎ ‎（8）第一次循环得：；第二次循环得：；第三次循环得：‎ ‎；同理，第四次循环；第五次循环，此时a = b，输出a = 17，结束．‎ ‎（9）由于，，A错；，B对；当时，；当时，‎ ‎；当时，，故不一定正确；，，故，D错．‎ ‎（10）画出立体图（如图）．由图知，该几何体最长棱的棱长是5．‎ ‎（11）由题设条件知，，，．‎ 在Rt△PF1A中，由射影定理得，所以．‎ 所以，.．‎ 所以EF1的直线方程是，当x = c时．‎ 即，，又，所以，即，同除以a4得，得或．‎ 所以．‎ ‎（12）由题设恒成立等价于． ①‎ 设函数，则．‎ ‎1°设k = 0，此时，当时，当时，故时单调递减，时单调递增，故．而当时取得最大值2，并且，故①式不恒成立．‎ ‎2°设k < 0，注意到，，故①式不恒成立．‎ ‎3°设k > 0，，此时当时，当时，故时单调递减，时单调递增，故 ‎；而当时，故若使①式恒成立，则，得．‎ ‎（13）由二项式定理得，令r = 5得x5的系数是．‎ ‎（14）画出可行域（如图）．所求代数式可化为，这表示动点与定点的距离的平方．‎ 由图知，只有C点可能与的距离最短．‎ 于是联立，得，所以．‎ 而，．‎ 故的最小值是10．‎ ‎（15）考虑数列，，那么，，，，．‎ 所以，，，，‎ 上述各式相加得：‎ ‎．‎ ‎（16）当k < 0时显然不成立；当k = 0时，直线y = 0与△OAB边界有无数个交点，成立．‎ 当k > 0时，由题设，，，．若函数与△OAB的边界分别交于OA，AB，则应满足．若函数与△OAB的边界AB交于两点（不含A点），则临界位置为相切．由题设AB的直线方程为．‎ 设切点为，，则，即 ‎．将切点代入直线AB方程得，．综上，．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）由及正弦定理得 ‎，因为，所以sinC≠0，所以．‎ 又因为，所以． ………………………………………… 6分 ‎（Ⅱ）由得．‎ 由余弦定理得，即，得，‎ 故．过A作AE⊥BC，在Rt△ABE中，．‎ 所以△ABC的面积为． ………………………… 12分 ‎（18）（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）证明：因为B1B⊥平面ABCD，且BC平面ABCD，所以BC⊥B1B，又因为在底面圆O中，AB⊥BC，AB∩B1B = B，所以BC⊥平面A1B1BA，又因为BA1平面A1B1BA，所以BC⊥AB1． …………………………… 5分 ‎（Ⅱ）（ⅰ）由圆柱性质知CB、CD、CC1两两垂直．以C为原点，以、、为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，不妨设圆柱的高为2．‎ 则，，． …………………………… 6分 所以平面A1B1B的一个法向量是．‎ 平面BB1D的一个法向量是．‎ 所以． …………………………… 8分 由图知二面角A1 - BB1 - D是锐二面角，所以它的大小是． …………… 9分 ‎（ⅱ）由题意得，，．‎ 所以，．‎ 所以． …………………… 12分 ‎（19）（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）设事件表示“王明通过第i个关卡”，由题意知，，． …………………… 2分 由于事件“王明至少通过1个关卡”与事件“ξ＝0”是对立的，所以王明至少通过1个关卡的概率是． …………………………… 6分 ‎（Ⅱ）由题意，．‎ 整理得，，又，所以，． ………… 12分 ‎（20）（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）设椭圆的焦半距为c，则|OF| = c，|OA| = a，|AF| =．‎ 所以，其中，又，联立解得，．‎ 所以椭圆C的方程是． …………………………………………… 4分 ‎（Ⅱ）由题意直线不能与x轴垂直，否则将无法构成三角形． ……………… 5分 当直线l与x轴不垂直时，设其斜率为k，那么l的方程为．‎ 联立l与椭圆C的方程，消去y，得．‎ 于是直线与椭圆有两个交点的充要条件是Δ=，这显然大于0．‎ 设点，．‎ 由根与系数的关系得，． ……………… 7分 所以，又O到l的距离．‎ 所以△OMN的面积．………… 10分 令，那么，当且仅当t = 3时取等．‎ 所以△OMN面积的最大值是． …………………………………… 12分 ‎（21）（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）由题设函数的定义域为，，故函数有两个极值点等价于其导函数在有两个零点．‎ 当a = 0时，显然只有1个零点． ……………………… 2分 当a≠0时，令，那么．‎ 若a < 0，则当x > 0时，即单调递增，所以无两个零点. … 3分 若a > 0，则当时，单调递增；当时， 单调递减，所以. 又，当x→0时→，故若有两个零点，则，得．‎ 综上得，实数a的取值范围是． ………………………………………… 6分 ‎（Ⅱ）要证，两边同时取自然对数得． ……… 7分 由得，得.‎ 所以原命题等价于证明． …………… 8分 因为，故只需证，即．…… 9分 令，则，设，只需证．… 10分 而，故在单调递增，所以．‎ 综上得．………………………………………………………………… 12分 ‎（22）（本小题满分10分）‎ 解：（Ⅰ）由题设知曲线C1的方程是．‎ 所以曲线C1表示以为焦点，中心为原点的椭圆．…………………… 3分 同理曲线C2的方程是．‎ 所以曲线C2表示以为圆心，半径是1的圆． ……………………… 5分 ‎（Ⅱ）联立曲线C1和C2的直角坐标方程，得．‎ 消去x，得，解得或．‎ 由图形对称性知公共点的个数为2． ……………………………………… 8分 ‎（Ⅲ）a + 2b的取值范围是． ……………………………… 10分 ‎（23）（本小题满分10分）‎ 解：（Ⅰ）由题设． ……………………………… 6分 ‎（Ⅱ）不等式的解集是． ………………………………………… 10‎