2019高三数学（人教A版 文）一轮教师用书：第5章 第3节 等比数列及其前N项和

2019高三数学（人教A版 文）一轮教师用书：第5章 第3节 等比数列及其前N项和

第三节　等比数列及其前n项和 ‎[考纲传真]　(教师用书独具)1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系．‎ ‎(对应学生用书第71页)‎ ‎ [基础知识填充]‎ ‎1．等比数列的有关概念 ‎ (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q(n∈N*，q为非零常数)．‎ ‎ (2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇒a，G，b成等比数列⇒G2＝aB．‎ ‎2．等比数列的通项公式与前n项和公式 ‎ (1)通项公式：an＝a1qn－1.‎ ‎ (2)前n项和公式：‎ ‎ Sn＝ ‎3．等比数列的常用性质 ‎ (1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．‎ ‎ (2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a.‎ ‎ (3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，，{a}，{an·bn}， ‎(λ≠0)仍然是等比数列．‎ ‎ (4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.‎ ‎ (5)当q≠－1时，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列．‎ ‎[知识拓展]‎ ‎1．“G2＝ab”是“a，G，b成等比数列”的必要不充分条件．‎ ‎2．若q≠0，q≠1，则Sn＝k－kqn(k≠0)是数列{an}成等比数列的充要条件，此时k＝.‎ ‎ [基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎ (1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．(　　)‎ ‎ (2)G为a，b的等比中项⇔G2＝aB．(　　)‎ ‎ (3)若{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．(　　)‎ ‎ (4)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.(　　)‎ ‎ [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×‎ ‎2．(2018·广州模拟)已知等比数列{an}的公比为－，则的值是(　　)‎ ‎ A．－2　　　　 B．－　　　　‎ ‎ C．　　　　 D．2‎ ‎ A　[＝＝－2.]‎ ‎3．(2017·东北三省四市一联)等比数列{an}中，an>0，a1＋a2＝6，a3＝8，则a6＝‎ ‎(　　) 【导学号：79170168】‎ ‎ A．64 B．128 ‎ ‎ C．256 D．512‎ ‎ A　[设等比数列的首项为a1，公比为q，‎ ‎ 则由 ‎ 解得或(舍去)，‎ ‎ 所以a6＝a1q5＝64，故选A．]‎ ‎4．(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为__________．‎ ‎ 27,81　[设该数列的公比为q，由题意知，‎ ‎ 243＝9×q3，q3＝27，∴q＝3.‎ ‎ ∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.]‎ ‎5．(2018·长春模拟)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝__________.‎ ‎ 6　[∵a1＝2，an＋1＝2an，‎ ‎ ∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．‎ ‎ 又∵Sn＝126，∴＝126，解得n＝6.]‎ ‎(对应学生用书第72页)‎ 等比数列的基本运算 ‎　(1)(2018·合肥模拟)已知Sn是各项为正数的等比数列{an}的前n项和，a2·a4＝16，S3＝7，则a8＝(　　)‎ ‎ A．32　　　　 B．64　　　　‎ ‎ C．128　　　　 D．256‎ ‎ (2)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于__________．‎ ‎ (1)C　(2)2n－1　[(1)∵{an}为等比数列，a2·a4＝16，∴a3＝4.∵a3＝a1q2＝4，S3＝7，∴S2＝＝3，∴(1－q2)＝3(1－q)，即3q2－4q－4＝0，‎ ‎ ∴q＝－或q＝2.∵an>0，∴q＝2，则a1＝1，∴a8＝27＝128.‎ ‎ (2)设等比数列的公比为q，则有 ‎ 解得或 ‎ 又{an}为递增数列，∴∴Sn＝＝2n－1.]‎ ‎ [规律方法]　　1.等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，体现了方程思想的应用．‎ ‎ 2．在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，在运算过程中，应善于运用整体代换思想简化运算．‎ ‎[变式训练1]　(1)在等比数列{an}中，a3＝7，前3项和S3＝21，则公比q的值为 ‎(　　)‎ ‎ A．1 B．－ ‎ ‎ C．1或－ D．－1或 ‎ (2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若27a3－a6＝0，则＝________. ‎ ‎【导学号：79170169】‎ ‎ (1)C　(2)28　[(1)根据已知条件得 ‎ ②÷①得＝3.‎ ‎ 整理得2q2－q－1＝0，‎ ‎ 解得q＝1或q＝－.‎ ‎ (2)由题可知{an}为等比数列，设首项为a1，公比为q，所以a3＝a1q2，a6＝a1q5，所以27a1q2＝a1q5，所以q＝3，由Sn＝，得S6＝，S3＝，所以＝·＝28.]‎ 等比数列的判定与证明 ‎　(2016·全国卷Ⅲ)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.‎ ‎ (1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；‎ ‎ (2)若S5＝，求λ.‎ ‎ [解]　(1)证明：由题意得a1＝S1＝1＋λa1， 2分 ‎ 故λ≠1，a1＝，故a1≠0. 3分 ‎ 由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，‎ ‎ 即an＋1(λ－1)＝λan. 5分 ‎ 由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝.‎ ‎ 因此{an}是首项为，公比为的等比数列，‎ ‎ 于是an＝n－1. 7分 ‎ (2)由(1)得Sn＝1－n. 9分 ‎ 由S5＝得1－5＝，即5＝. 10分 ‎ 解得λ＝－1.1 2分 ‎ [规律方法]　　等比数列的判定方法 ‎ (1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．‎ ‎ (2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0，且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．‎ ‎ (3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．‎ ‎ 说明：前两种方法是证明等比数列的常用方法，后者常用于选择题、填空题中的判定．‎ ‎[变式训练2]　已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－‎ ‎ an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.‎ ‎ (1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；‎ ‎ (2)求数列{bn}的通项公式．‎ ‎ [解]　(1)证明：∵an＋Sn＝n， ①‎ ‎ ∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1， ②‎ ‎ ②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，即2an＋1＝an＋1，‎ ‎ ∴2(an＋1－1)＝an－1，即2cn＋1＝cn. 3分 ‎ 由a1＋S1＝1得a1＝，∴c1＝a1－1＝－，‎ ‎ 从而cn≠0，∴＝.‎ ‎ ∴数列{cn}是以－为首项，为公比的等比数列. 6分 ‎ (2)由(1)知cn＝－×n－1＝－n， 7分 ‎ 又cn＝an－1，∴an＝cn＋1＝1－n， 9分 ‎ ∴当n≥2时，‎ ‎ bn＝an－an－1＝1－n－＝n.‎ ‎ 又b1＝a1＝，适合上式，故bn＝n. 12分 等比数列的性质及应用 ‎　(1)(2016·安徽六安一中综合训练)在各项均为正数的等比数列{an}中，若am＋1·am－1＝2am(m≥2)，数列{an}的前n项积为Tn，若 ‎ T2m－1＝512，则m的值为(　　)‎ ‎ A．4　　　 　 B．5　　　 　‎ ‎ C．6　　　 　 D．7‎ ‎ (2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝(　　) 【导学号：79170170】‎ ‎ A．2 B． ‎ ‎ C． D．3‎ ‎ (1)B　(2)B　[(1)由等比数列的性质可知am＋1·am－1＝a＝2am(m≥2)，所以am＝2，即数列{an}为常数列，an＝2，所以T2m－1＝22m－1＝512＝29，即2m－1＝9，所以m＝5，故选B．‎ ‎ (2)法一：由等比数列的性质及题意，得S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，由已知得S6＝3S3，∴＝，即S9－S6＝4S3，S9＝7S3，∴＝.‎ ‎ 法二：＝1＋＝1＋q3＝3，所以q3＝2.‎ ‎ 则＝＝＝.]‎ ‎ [规律方法]　　1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．‎ ‎ 2．等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形；二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．‎ ‎[变式训练3]　(1)(2017·合肥三次质检)在正项等比数列{an}中，a1 008·a1 009＝，则lg a1＋lg a2＋…＋lg a2 016＝(　　)‎ ‎ A．2 015 B．2 016‎ ‎ C．－2 015 D．－2 016‎ ‎ (2)(2018·湖北六校联考)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an，则Sn＝a－a＋a－a＋…＋a－a等于(　　)‎ ‎ A．(2n－1) B．(1－24n)‎ ‎ C．(4n－1) D．(1－2n)‎ ‎ (1)D　(2)B　[(1)lg a1＋lg a2＋…＋lg a2 016＝lg a1a2…a2 016＝lg(a1 008·a1 009)1 008＝lg1 008＝lg1 008＝－2 016，故选D．‎ ‎ (2)在数列{an}中，由a1＝1，an＋1＝2an，可得an＝2n－1，‎ ‎ 则Sn＝a－a＋a－a＋…＋a－a ‎ ＝1－4＋16－64＋…＋42n－2－42n－1‎ ‎ ＝＝(1－42n)＝(1－24n)．]‎