2017-2018学年安徽师范大学附属中学高二下学期期中考查数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年安徽师范大学附属中学高二下学期期中考查数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年安徽师范大学附属中学高二下学期期中考查数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知复数z=﹣2i+，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点在（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】分析：利用复数的四则运算法则、共轭复数的定义、复数的几何意义即可得出．‎ 详解：：复数z=﹣2i+=﹣2i+=﹣2i﹣3i﹣1=﹣1﹣5i，‎ 则复数z的共轭复数=﹣1+5i在复平面内对应的点（﹣1，5）在第二象限．‎ 故选：B．‎ 点睛：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎2．用反证法证明 命题：“若能被5整除，则中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是（ ）‎ A. 都能被5整除 B. 都不能被5整除 C. 有一个能被5整除 D. 有一个不能被5整除 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：反证法中，假设的应该是原结论的对立面，故应该为a，b都不能被5整除.‎ ‎【考点】反证法.‎ ‎3．某工厂生产某种产品的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）有如下几组样本数据：‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ 据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为0.7，则这组样本数据的回归直线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：设回归直线方程=0.7x+a，由样本数据可得，=4.5，=3.5，代入可求这组样本数据的回归直线方程．‎ 详解：设回归直线方程=0.7x+a，‎ 由样本数据可得，=4.5，=3.5．‎ 因为回归直线经过点（，），‎ 所以3.5=0.7×4.5+a，解得a=0.35．‎ 故=0.7x+0.35，‎ 故选：．‎ 点睛：本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程必过样本中心点是解题关键．‎ ‎4．设复数(其中为虚数单位)，则的虚部为（   ）‎ A. B. 0 C. -10 D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由复数z求出z的共轭复数，然后代入z2+3化简求值即可得到答案．‎ 详解：z=1+=，‎ ‎∴，‎ 则z2+3=（1﹣2i）2+3（1+2i）=1﹣4i+4i2+3+6i=2i．‎ ‎∴z2+3的虚部为2．‎ 故选：D．‎ 点睛：复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项，分别合并即可；复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式．‎ ‎5．下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：是奇函数，但没有极值；的定义域是，故它不是奇函数；对，记，则 ‎，它不是奇函数，根据选择题的特点，本题选D．当然对于函数，，函数是奇函数，又，，当或时，，当或时,，因此是极小值，是极大值．选D．‎ ‎【考点】函数奇偶性与函数的极值．‎ ‎6．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋lnx，则f′(1)＝(　　)‎ A. －e B. －1‎ C. 1 D. e ‎【答案】B ‎【解析】依题意得，f′(x)＝2f′(e)＋，取x＝e得f′(e)＝2f′(e)＋，由此解得f′(e)＝－＝－e－1，选C.‎ ‎7．函数在内有极小值，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：∵，∴，由题意在（0,1）上与x轴有交点，故，∴，故选A ‎【考点】本题考查了极值的定义 点评：熟练掌握导数的运算及极值的定义是解决此类问题的关键，属基础题 ‎8．若点P是函数上任意一点，则点P到直线的最小距离为 ( )‎ A. B. C. D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由题意知，当曲线上过点P的切线和直线x﹣y﹣2=0平行时，点P到直线x﹣y﹣2=0的距离最小，求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得切点的坐标，此切点到直线x﹣y﹣2=0的距离即为所求．‎ 详解：点P是曲线f（x）=x2﹣lnx上任意一点，‎ 当过点P的切线和直线x﹣y﹣2=0平行时，‎ 点P到直线x﹣y﹣2=0的距离最小．‎ 直线x﹣y﹣2=0的斜率等于1，‎ 由f（x）=x2﹣lnx，得f′（x）=2x﹣=1，解得：x=1，或 x=﹣（舍去），‎ 故曲线f（x）=x2﹣lnx上和直线x﹣y﹣2=0平行的切线经过的切点坐标（1，1），‎ 点（1，1）到直线x﹣y﹣2=0的距离等于，‎ 故点P到直线x﹣y﹣2=0的最小距离为．‎ 故选：A．‎ 点睛：本题考查函数的导数的求法及导数的几何意义，点到直线的距离公式的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．‎ ‎9．在平面几何中有如下结论：正三角形的内切圆面积为，外接圆面积为，则，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体的内切球体积为，外接球体积为，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：平面上，若两个正三角形的内切圆与外接圆面积的比为1：4，则它们的半径比为1：2，类似地，由平面图形面积类比立体图形的体积，得出：在空间内，若两个正四面体的外接球的半径比为1：3，则它以体积比为 1：27，‎ ‎【考点】类比推理.‎ ‎10．若函数在区间单调递增，则的取值范围是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：，∵函数在区间单调递增，∴在区间上恒成立．∴，而在区间上单调递减，∴．∴的取值范围是．故选：D．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性.‎ ‎11．甲、乙、丙三位大学生毕业后选择自主创业，三人分别做淘宝店、微商、实体店.某次同学聚会时，甲说：我做淘宝店、乙做微商；乙说：甲做微商、丙做淘宝店；丙说：甲做实体店、乙做淘宝店.事实上，甲、乙、丙三个的陈述都只对了一半.其他同学根据如上信息，可判断下列结论正确的是 （ ）‎ A. 甲做微商 B. 乙做淘宝店 C. 丙做微商 D. 甲做实体店 ‎【答案】D ‎【解析】若选项A正确，即甲做微商，则根据甲的话可知乙做微商，与题意不符；若选项B正确，即乙做淘宝店，则根据甲的话可知与题意不符；若选项C正确，即丙做微商，则根据甲的话可知甲做淘宝店，再根据丙的话可知与题意不符；若选项D正确，即甲做实体店正确，则根据甲的话可知乙做微商，根据乙的话可知丙做淘宝店，丙的话符合题意．故选D．‎ ‎12．定义在上的函数满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：构造函数g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解.‎ 详解：设g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R），‎ 则g′（x）=exf（x）+exf′（x）﹣ex=ex[f（x）+f′（x）﹣1]，‎ ‎∵f（x）+f′（x）＞1，‎ ‎∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，‎ ‎∴g′（x）＞0，‎ ‎∴y=g（x）在定义域上单调递增，‎ ‎∵exf（x）＞ex+3，‎ ‎∴g（x）＞3，‎ 又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，‎ ‎∴g（x）＞g（0），‎ ‎∴x＞0‎ 故选：A．‎ 点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造， 构造， 构造， 构造等 二、填空题 ‎13．曲线在点（1,1）处的切线方程为_________‎ ‎【答案】y=4x-3‎ ‎【解析】，则切线斜率，在点处的切线方程为，即，故答案为.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线，属于容易题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点 出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.‎ ‎14．数列满足，归纳出数列的通项公式为________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】分析：利用递推关系式可求出a2，a3，a4，…，进而猜想归纳出其通项公式 详解：由题意可得：a1=1，且an+1=，‎ 则a2==，a3==，a4==,…‎ ‎∴通过观察归纳出规律：其通项应是分子为1，分母与相应的下标相同，‎ 故an=（n∈N）．‎ 可用数学归纳法或取倒数法加以推理证明，‎ 故答案为： ．‎ 点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．‎ ‎15．曲线 存在与直线平行的切线，则实数的取值范围_______．‎ ‎【答案】（﹣∞，2﹣）∪（2﹣，2）‎ ‎【解析】分析：函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线⇔方程f′（x）=+a在区间x∈（0，+∞）上有解，并且去掉直线2x﹣y=0与曲线f（x）相切的情况，解出即可．‎ 详解：函数f（x）=lnx+ax的导数为f′（x）=+a（x＞0）．‎ ‎∵函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，‎ ‎∴方程+a=2在区间x∈（0，+∞）上有解．‎ 即a=2﹣在区间x∈（0，+∞）上有解．‎ ‎∴a＜2．‎ 若直线2x﹣y=0与曲线f（x）=lnx+ax相切，设切点为（x0，2x0）．‎ 则，解得x0=e．‎ 此时a=2﹣．‎ 综上可知：实数a的取值范围是（﹣∞，2﹣）∪（2﹣，2）．‎ 故答案为：（﹣∞，2﹣）∪（2﹣，2）．‎ 点睛：与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略 ‎①已知切点求切线方程．解决此类问题的步骤为：①求出函数在点处的导数，即曲线在点处切线的斜率；②由点斜式求得切线方程为．‎ ‎②已知斜率求切点．已知斜率，求切点，即解方程.‎ ‎③求切线倾斜角的取值范围．先求导数的范围，即确定切线斜率的范围，然后利用正切函数的单调性解决．‎ ‎16．对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23＝ ，33＝ ，43＝….‎ 依此，若m3的“分裂数”中有一个是2015，则m＝______.‎ ‎【答案】45‎ ‎【解析】分析：由题意知，n的三次方就是n个连续奇数相加，且从2开始，这些三次方的分解正好是从奇数3开始连续出现，由此规律即可找出m3的“分裂数”中有一个是2015时，m的值．‎ 详解：由题意，从23到m3，正好用去从3开始的连续奇数共2+3+4+…+m=个，‎ ‎2015是从3开始的第1007个奇数 当m=44时，从23到443，用去从3开始的连续奇数共=989个 当m=45时，从23到453，用去从3开始的连续奇数共=1034个 故m=45．‎ 故答案为：45．‎ 点睛：本题考查归纳推理，求解的关键是根据归纳推理的原理归纳出结论，其中分析出分解式中项数及每个式子中各数据之间的变化规律是解答的关键．‎ 三、解答题 ‎17．已知，分别求，，，‎ 然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：（1）， 2分 同理可得：4分，‎ ‎。 6分 ‎（2）结论：若时，有=8分 证明：设 ‎【考点】本题考查了归纳推理的运用 点评：归纳推理的步骤：⑴通过观测个别情况发现某些相同性质；⑵从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题 ‎18．随着手机的发展，“微信”逐渐成为人们交流的一种形式．某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成人数如下表．‎ 年龄 ‎(单位：岁)‎ ‎[15,25)‎ ‎[25,35)‎ ‎[35,45)‎ ‎[45,55)‎ ‎[55,65)‎ ‎[65,75]‎ 频数 ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎5‎ 赞成人数 ‎5‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎7‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎(1)若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关；‎ 年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 合计 赞成 不赞成 合计 ‎(2)若从年龄在[55,65)的被调查人中随机选取2人进行追踪调查，求2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的概率. ‎ 参考数据：‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.‎ ‎【答案】(1)见解析 (2) ‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)结合所给的数据绘制列联表，据此计算可得K2＝≈9.98＞6.635.则有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关．‎ ‎(2)设年龄在[55,65)中不赞成“使用微信交流”的人为A，B，C，赞成“使用微信交流”的人为a，b，据此列出所有可能的事件，结合古典概型公式可得2人中至少有1人不赞成“‎ 使用微信交流”的概率为P＝．‎ 试题解析：‎ ‎(1)2×2列联表如下：‎ 年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 合计 赞成 ‎10‎ ‎27‎ ‎37‎ 不赞成 ‎10‎ ‎3‎ ‎13‎ 合计 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ K2＝≈9.98＞6.635.‎ 所以有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关． ‎ ‎(2)设年龄在[55,65)中不赞成“使用微信交流”的人为A，B，C，赞成“使用微信交流”的人为a，b，‎ 则从5人中随机选取2人有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10种结果，其中2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb、Ca、Cb，共9种结果，所以2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的概率为P＝． ‎ ‎19．（2005•北京）已知函数f（x）=﹣x3+3x2+9x+a．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（﹣∞，﹣1），（3，+∞）．‎ ‎（Ⅱ）﹣7‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）先求出函数f（x）的导函数f′（x），然后令f′（x）＜0，解得的区间即为函数f（x）的单调递减区间；‎ ‎（Ⅱ）先求出端点的函数值f（﹣2）与f（2），比较f（2）与f（﹣2）的大小，然后根据函数f（x）在[﹣1，2]上单调递增，在[﹣2，﹣1]上单调递减，得到f（2）和f（﹣1）分别是f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值，建立等式关系求出a，从而求出函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值．‎ 解：（Ⅰ）f′（x）=﹣3x2+6x+9．‎ 令f′（x）＜0，解得x＜﹣1或x＞3，‎ 所以函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞）．‎ ‎（Ⅱ）因为f（﹣2）=8+12﹣18+a=2+a，f（2）=﹣8+12+18+a=22+a，‎ 所以f（2）＞f（﹣2）．‎ 因为在（﹣1，3）上f′（x）＞0，所以f（x）在[﹣1，2]上单调递增，‎ 又由于f（x）在[﹣2，﹣1]上单调递减，‎ 因此f（2）和f（﹣1）分别是f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值，于是有22+a=20，解得a=﹣2．‎ 故f（x）=﹣x3+3x2+9x﹣2，因此f（﹣1）=1+3﹣9﹣2=﹣7，‎ 即函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣7．‎ 点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．以及在闭区间上的最值问题等基础知识，同时考查了分析与解决问题的综合能力．‎ ‎20．设函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)．‎ ‎(1)判断f(x)的单调性；‎ ‎(2)当f(x)<0在(0，＋∞)上恒成立时，求a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析（2） ‎ ‎【解析】分析：（1）首先求出函数f（x）的导数，对a讨论，分a≤0，a＞0，求出单调区间；‎ ‎（2）应用参数分离得a＞，求出在（0，+∞）上的最大值，只要a大于最大值即可；‎ 详解：（1） 在上单调递增；‎ 当时，所以在上单调递增；在上单调递减；‎ ‎（2）在上恒成立 ，因为 当时，当时，所以 ‎ 即 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：‎ ‎（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；‎ ‎（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;‎ ‎（3）若恒成立，可转化为.‎ ‎21．已知函数，在处取得极值2.‎ ‎（1）求的解析式；.‎ ‎（2）设函数，若对于任意的，总存在唯一的，使得，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1） （2） ‎ ‎【解析】分析：（I）求出导函数的解析式f′（x）=，再由函数在x=1处取到极值2，故f′（1）=0，易构造一个关于m的方程，解方程求出m值，即可得到f（x）的解析式；‎ ‎（Ⅱ）由（I）我们可以求出函数导函数的解析式，进而可分别出函数f（X）的单调性，由此易判断f（x）在区间[，2]上的值域，由对任意的，总存在唯一的，使得g（x2）=f（x1），及函数g（x）=ax﹣lnx．我们分别对a值与e及e2的关系进行分类讨论，即可得到满足条件的实数a的取值范围．‎ 详解：（Ⅰ）f′（x）==‎ f（x）在x=1处取到极值2，故f′（1）=0，f（1）=2即，‎ 解得m=4，n=1，经检验，此时f（x）在x=1处取得极值．故 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故f（x）在上单调递增，在（1，2）上单调递减，由，故f（x）的值域为 依题意，记，∵x∈M∴‎ ‎（ⅰ）当a≤e时，g'（x）≤0，g（x），依题意由得，‎ 故此时 ‎（ⅱ）当e＜a≤e2时，＞＞当时，g′（x）＜0，当时，g′（x）＞0．依题意由，得，即．与a＞e矛盾 ‎（ⅲ）当a＞e2时，＜，此时g′（x）＞0，g（x）．依题意得 即此不等式组无解综上，所求a取值范围为0≤a≤e 点睛：已知函数在上的值域为A，函数在上的值域为B，对于任意的，总存在唯一的，使得，则.‎