2018-2019学年江苏省盐城市高二下学期期末考试 数学 Word版

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江苏省盐城市 2018/2019 学年度第二学期高二年级期终考 试 数 学 试 题 方差公式：样本数据 1 2, , , nx x x 的方差 2 2 1 1 ( ) n i i s x xn    ，其中 1 1 n i i x xn    . 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．已知复数 1 1z i  ， 2 2z ai  （其中i 为虚数单位），若 1 2z z 为实数，则实数 a 的值为 ▲ . 2．已知一组数据 1 2 3 4 5, , , ,x x x x x 的方差为 1 2 ，则数据 1 2 3 4 52 ,2 ,2 ,2 ,2x x x x x 的方差为 ▲ . 3．某学校拟从 2 名男教师和 1 名女教师中随机选派 2 名教师去参加一个教师培 训活动，则 2 名男教师去参加培训的概率是 ▲ . 4．若命题“ [0,3]x  ，使得 2 3 0x ax   成立”是假命题，则实数 a 的取值 范围是 ▲ . 5．执行如图所示的流程图，则输出 k 的值为 ▲ . 6．已知实数 ,x y 满足       063 01 0,0 yx yx yx ，则 2 3y x 的最大值为 ▲ . 7．若双曲线 2 2 2 2: 1x yC a b   )0,0(  ba 的两条渐近线与抛物线 2 4y x 的准 线围成的三角形面积为 2，则双曲线C 的离心率为 ▲ . 8．已知圆： 2 2 2x y r  的面积为 2r ，类似的，椭圆： 2 2 2 2 1x y a b   )0(  ba 的面积为 ▲ . 9．（理科学生做）5 名学生站成一排拍照片，其中甲乙两名学生不相邻的站法有 ▲ 种.（结果用 数值表示） （文科学生做）已知函数 )20)(2sin(2   xy 的一条对称轴为 6 x ， 则 的值为 ▲ ． k←0 开始 输出 k 结束 S＞15 S←0 Y N S←S＋3k k←k＋1 （第 5 题） 10．(理科学生做）在 61       xx 的二项展开式中，常数项为 ▲ .（结果用数值表示） （文科学生做）若函数 ( ) 3 ( 0x xf x a a   且 1)a  是偶函数，则函数 ( )f x 的值域为 ▲ . 11．已知函数 2( ) ( 2) lnf x x a x a x    ，则“ 0a  ”是“函数 ( )f x 有且仅有一个极值点”的 ▲ 条件. (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) 12．设 ,A B 分别为椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的右顶点和上顶点，已知椭圆C 过点 (2,1)P ，当 线段 AB 长最小时椭圆C 的离心率为 ▲ . 13．若 ,x y 为正实数，则 182 2 22   yx yx 的最大值为 ▲ . 14．已知函数 ])2,1[(9)( 3  xxaxxf 的最大值为 4 ，则实数 a 的值为 ▲ . 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． 15．（理科学生做）（本小题满分 14 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，已知底面 ABCD 为菱形， 8, 6AC BD  ，O 为对角线 AC 与 BD 的交点， PO  底面 ABCD 且 4PO  . （1）求异面直线 PA 与 BC 所成角的余弦值； （2）求平面 APC 与平面 PCB 所成锐二面角的余弦值. （文科学生做）（本小题满分 14 分）设命题 p ：函数 3 21 1( ) 3 2f x x mx  在 ]0,1[ 是减函数；命 题 q ： [0, ]2x   ，都有 sin 1x m  成立. （1）若命题 p 为真命题，求实数 m 的取值范围； （2）若 p q 为真命题， p q 为假命题，求实数 m 的取值范围. 16．（理科学生做）（本小题满分 14 分）某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满 200 元 的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：一个袋子装有 5 只形状和大小均相同的玻璃球，其 中两只是红色，三只是绿色，顾客从袋子中一次摸出两只球，若两只球都是红色，则奖励 20 元； 若两只球都是绿色，则奖励 10 元；若两只球颜色不同，则不奖励. （1）求一名顾客在一次摸奖活动中获得 20 元的概率； P P A P B P C P D P O P第 15 题 （2）记 X 为两名顾客参与该摸奖活动获得的奖励总数额，求随机变量 X 的分布列和数学期望． （文科学生做）（本小题满分 14 分）设函数 )2cos()(  xxf . （1）若函数 )(xf 为奇函数， ),0(   ，求 的值； （2）若 )2,0(,3 1)2(,3   f ，求 )(f 的值. 17．（理科学生做）（本小题满分 14 分）已知数列 na 各项均为正数，满足 2 333 2 )1(21       nann . （1）求 321 ,, aaa 的值； （2）猜想数列 na 的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论. （文科学生做）（本小题满分 14 分）设 xkxkxxf )12(cos)( 2  ， x R . （1）证明：对任意实数 k ，函数 ( )f x 都不是奇函数； （2）当 1 2k  时，求函数 ( )f x 的单调递增区间. 18．（本小题满分 16 分）如图，一条小河岸边有相距 8km 的 ,A B 两个村庄（村庄视为岸边上 ,A B 两 点），在小河另一侧有一集镇 P （集镇视为点 P ）， P 到岸边的距离 PQ 为 2km，河宽 QH 为 km05.0 ，通过测量可知， PAB 与 PBA 的正切值之比为 3:1 .当地政府为方便村民出行，拟 在小河上建一座桥 MN （ ,M N 分别为两岸上的点，且 MN 垂直河岸， M 在 Q 的左侧），建桥 要求：两村所有人到集镇所走距离之和最短，已知 ,A B 两村的人口数分别是 1000 人、500 人， 假设一年中每人去集镇的次数均为 m 次.设 PMQ .（小河河岸视为两条平行直线） （1）记 L 为一年中两村所有人到集镇所走距离之和，试用 表示 L ； （2）试确定 的余弦值，使得 L最小，从而符合建桥要求. A B Q N M H P 第 18 题 19．（本小题满分 16 分）如图，已知椭圆 124: 22 1  yxC 与椭圆 )20(12: 2 22 2  mm xyC 的 离心率相同. (1)求 m 的值； (2)过椭圆 1C 的左顶点 A 作直线l ，交椭圆 1C 于另一点 B ，交椭圆 2C 于 ,P Q 两点（点 P 在 ,A Q 之间）. ①求 OPQ 面积的最大值（O 为坐标原点）； ②设 PQ 的中点为 M ，椭圆 1C 的右顶点为C ，直线OM 与直线 BC 的交点为 R ，试探究 点 R 是否在某一条定直线上运动，若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由. 20．（本小题满分 16 分）已知函数 21( ) ( ) ln , , .2f x x a b x a b R    (1)当 1,0  ba 时，求函数 )(xf 在 ),0(  上的最小值； (2)若函数 )(xf 在 1x 与 2x 处的切线互相垂直，求b 的取值范围； (3)设 1b ，若函数 )(xf 有两个极值点 21, xx ，且 21 xx  ，求 1 2 )( x xf 的取值范围． R C y x B A P Q O M 第 19 题 2018/2019 学年度第二学期高二年级期终考试 数学参考答案 一．填空题 1. 2 2. 2 3. 3 1 4. 32a 5. 4 6. 2 7. 5 8. ab 9.(理） 72 （文） 6  10.（理） 20 （文） ),2[  11.充分不必要 12. 2 2 13. 12 6 14. 5 二．解答题 15.（理科） 因为底面为菱形， BDAC  ， ABCDPO 底面 ， BOAO, 底面 ABCD， 所以 BOPOAOPO  , ，以 OPOBOA ,, 所在直线分别为 zyx ,, 轴建立空间直角坐标系 （如图所示），则 )0,0,4(),0,3,0(),0,0,4(),4,0,0( CBAP ……………………………2 分 （1）设 为直线 BCPA, 所成的角， ）， 0,34(),4,0,4(  BCPA ， |||| cos BCPA BCPA = 5 52 ， 所以异面直线 PA 与 BC 所成角的余弦值为 5 52 ………………………………………6 分 （2）因为 BO 平面 APC ，所以平面 APC 的法向量取 )0,1,0(1 n ，………………8 分 设平面 PCB 的法向量为 ),,(2 zyxn  ， ）， 0,34(),4,3,0(  BCPB ， 则由 0,0 22  BCnPBn ， 即      034 043 yx zy ，取 )3,4,3(2 n ，…………………………………………………12 分 设 为两个平面所成的锐二面角的平面角，则 17 342 |||| cos 21 21  nn nn ， 所以平面 APC 与平面 PCB 所成锐二面角的余弦值为 17 342 ………………………14 分 (文科) (1) p 为真：因为函数 3 21 1( ) [ 1,0]3 2f x x mx  在 是减函数， 所以 0)( 2  mxxxf 在 ]0,1[x 上恒成立，………………………………………2 分 所以      0)0( 0)1( f f ，所以 1m   ……………………………………………………………4 分 (2) q 为真：因为 sin 1x m  对 0, 2x      恒成立， 所以 1 sin 1x m    对 0, 2x      恒成立， 因为 sin 1m x m m     ， 所以 1 1 0 11 m mm       即 ，………………………………………………………………8 分 当 p 真 q 假即      10 1 mm m 或 ， 所以 1m   ………………………………………………………………………………10 分 当 q 真 p 假即 0 1m  且 1m   ， 所以 0 1m  ……………………………………………………………………………12 分 综上 0 1m  或 1m   ……………………………………………………………14 分 16.（理科）解：（1）记一名顾客摸球中奖 20 元为事件 A ， 则 2 2 2 5 1( ) 10 CP A C   .………………………………………………………………………2 分 （2）记一名顾客摸球中奖 10 元为事件 B ，不中奖为事件C ， 则 2 3 2 5 3( ) 10 CP B C   ， 6( ) 1 ( ) ( ) 10P C P A P B    ，…………………………………4 分 所以 36( 0) ( ) ( ) 100P X P C P C    ， 36( 10) 2 ( ) ( ) 100P X P B P C    ， 21( 20) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 100P X P B P B P A P C      ， 6( 30) 2 ( ) ( ) 100P X P A P B    ， 1( 40) ( ) ( ) 100P X P A P A    ，…………………………………12 分 X 0 10 20 30 40 p 36 100 36 100 21 100 100 6 1 100 所以 ( )E X  360 100   3610 100   2120 100   630 100   140 10100   …………………14 分 （文科）解：（1）因为函数 ( )f x 为奇函数， 所以 (0) cos 0f   ， 又 (0, )  ，所以 2   ，………………………………………………………………2 分 当 2   时， xxxf 2sin)22cos()(   是奇函数， 所以 2   .………………………………………………………………………………4 分 （2） 因为 3   ， 1( )2 3f   ，所以 1cos( )3 3    ， 又 ），（ 20   ， 所以 ），（ 6 5 33   ， 3 22)3(cos1)3sin( 2   ，…………………6 分 所以 9 24)3cos()3sin(2)3(2sin   ， 9 7)3 22()3 1()3(sin)3(cos)3(2cos 2222   ……………10 分 所以 ( ) cos(2 ) cos[2( ) ]3 3 3f          ……………………………………12 分 所以 7 1 4 2 3 4 6 7( ) cos2( )cos sin 2( )sin3 3 3 3 9 2 9 2 18f                 . ………………14 分 17（理）解：（1）当 1n  时， 3 21 21 ( )2 a  ，又 0na  ，所以 1 1a  ， 当 2n  时， 3 3 22 31 2 ( )2 a   ，解得 2 2a  ， 当 3n  时， 3 3 3 23 41 2 3 ( )2 a    ，解得 3 3a  .………………………………2 分 (2)猜想： na n .……………………………………………………………………4 分 证明：（1）当 1n  时，由（1）可知结论成立；………………………………6 分 （2）假设当 n k 时，结论成立，即 ka k 成立，………………………8 分 则 1n k  时， 由 2 3 3 3 ( 1)1 2 2 ka kk         与 2 3 3 3 1( 2)1 2 ( 1) 2 ka kk           ， 所以 2 2 2 2 3 1 1( 2) ( 1) ( 2) ( 1)( 1) 2 2 2 2 k k ka k a k a k k kk                              ， 所以 2 2 3 2 2 2 2 1 ( 2) 4( 1) ( 1) ( 1) (4 4 )ka k k k k k k k          ， 又 0na  ， 1 1ka k   成立，…………………………………………12 分 根据（1）、（2）猜想成立.………………………………………………14 分 （文）证明：（1）假设函数 ( )f x 为奇函数，则 (0) 0f  ， 这与 2(0) 0 cos0 (2 1) 0 1f k k       矛盾， 所以函数 ( )f x 不可能是奇函数.…………………………4 分 解：（2）当 1 2k  时， 21( ) cos2f x x x  ， 所以 ( ) sinf x x x   ， ( ) 1 cos 0f x x    ， 所以 ( )f x 在 R 单调递增，………………………10 分 又 (0) 0f   ， 所以不等式 0)(  xf 的解集为 (0, ) ， 所以函数 ( )f x 的单调递增区间为 (0, ) .…………………………14 分 18.解：（1）因 PAB 与 PBA 的正切值之比为1:3 ， 所以 : 1:3PH PH PA PB  ，所以 : 3:1PA PB  ，即 6, 2PA PB  ，……………2 分 因 2PQ  ，所以 2 sinPM  ， 2 tanMQ  ，…………………………………4 分 所以 1000( ) 500( )L AN MN MP BN MN MP      ， 所以 2 2 2 21000 (6 0.05 ) 500 (2 0.05 )tan sin tan sinL m m           ， 化简得 3 17075 1000 ( )sin tanL m m     ， (0, )2   .……………………………7 分 （2）由（1）知 3 cos7075 1000 ( )sinL m m     ， 所以 2 (3 cos ) sin (3 cos )(sin )1000 sinL m            ， 化简得 2 1 3cos1000 sinL m      ， 由 0L  ，得 1cos 3   ，……………………………………………………………10 分 令 0 1cos 3   ，且 0 (0, )2   ， 当 0(0, )  时， 1cos 3   ， 0L  ；当 0( , )2   时， 1cos 3   ， 0L  ； 所以函数 ( )L  在 0(0, ) 上单调递减；在 0( , )2  上单调递增； 所以 0  时函数 ( )L  取最小值，即当 1cos 3   时，符合建桥要求，……………14 分 答：（1） 3 17075 1000 ( )sin tanL m m     ， (0, )2   ； （2）当 1cos 3   时，符合建桥要求.……………………………………………16 分 19.(1) 椭圆 1C 中 1 12, 2a b  ，又 2 2 2 1 1 1a b c  ， 所以 1 2c  ，离心率 1 1 1 2 2 ce a   ………………………………………………2 分 又椭圆 2C 中 2 22,a b m  ，又 2 2 2 2 2 2a b c  ， 所以 2 2 2c m  ， 2 2 2 2 2 ce a   = 2 2 2m ，又因为 0 2m  ， 所以 1m  ………………………………………………………4 分 （2）当直线 AB 与 x 轴重合时， QPO ,, 三点共线，不符合题意 故设直线 AB 的方程为： 2x my  且 0m  设 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y 由(1)知椭圆 2C 的方程为： 2 2 12 y x  联立方程消去 x 得 2 22( 2) 2 0y my    即 2 2(1 2 ) 8 6 0m y my    解得 2 1,2 2 4 4 6 1 2 m my m    （ 6 2m  ） 又 1 2 1 2POQ AOQ AOPS S S AO y y      2 2 2 4 6 1 2 m m   …………………………………………8 分 令 21 2 4m t   2 2 2 2 2 4 6 2 2 8 2 8 1 2 22 8( )1 2 2 m t t m t t t t         此时 1 8t  ………………10 分 (3)由(2)知 1 2 2 8 1 2 my y m    所以 1 2 2 4 1 2x x m    所以 2 2 2 4( , )1 2 1 2 mM m m    所以直线OM 的斜率 2OMk m  直线OM 的方程为 2y mx  …………………………………12 分 联立方程 2 2 14 2 2 x y x my       消去 x 得 2 2( 2) 4 0m y my   得 2 4 2B my m   所以 2 2 2 2 4 2 422 2B m mx m m     所以 2 2 2 4 2 2 4 222 BC m mmk m m     …………………………………14 分 则直线 BC 的方程为 ( 2)2 my x   联立直线 AB BC和 的方程 2 ( 2)2 y mx my x      解得 R 点坐标为 2 4( , )3 3 m  所以点 R 在定直线 2 3x   上运动.……………………………………16 分 20. 解： （1）当 1,0  ba 时， ),0(ln2 1)( 2  xxxxf ， x x xxxf 11)( 2  ，由 0)(  xf 得 1x ， 所以函数 )(xf 在区间 )1,0( 单调递减，在区间 ),1(  单调递增， 2 1)1()( min  fxf …………………………………………………………………3 分 （2）由函数 )(xf 得 x baxxf  )( 因为函数 )(xf 在 1x 与 2x 处的切线互相垂直，所以 1)2()1(  ff 即 1)22)(1(  baba ，…………………………………………………………5 分 法一. 展开整理得 032 5 2 1)32 3( 22  bbaba ， 该关于 a 的方程有解，所以 0)32 5 2 1(4)32 3( 22  bbb ， 即 01242  bb ， 所以 2b 或 6b ，…………………………………………………………………………9 分 法二. 由 1)22)(1(  baba ，……………………………………………………5 分 即 1)22)(1(  baba ， 所以 22 2 21 2 )22()1( )22)(1(1                         bbabababa ， 即 16)2( 2 b ，所以 2b 或 6b ……………………………………………………9 分 （3）当 1b 时， x axx xaxxf 11)( 2  ， 所以 21, xx 是方程 012  axx 的两根，从而 1, 2121  xxaxx ，………………10 分 因为 21 xx  且 0,0 21  xx ， 所以 12 x ， 2 2 1 xxa  ， 22 2 2 2 2 2 1 2 ln2 1 1 ln)(2 1 )( xxx x xax x xf    ，…………………………………………12 分 记 )1(ln2 1)(  xxxxxg 因为 1ln 2 1)( 22 2  x x xg 在 ),1(  单调递增，所以 02 1)1()(  gxg ， 从而 xxxxg ln2 1)(  在 ),1(  单调递增， 所以 2 1)1()(  gxg ……………………………………………………14 分 又因为 xxxxxxxg lnlnln2 1)(  ， 所以 1 2 )( x xf 的取值范围为 ),2 1(  ……………………………………………………16 分