数学（理）卷·2017届湖北省沙市中学高三上学期第七次双周练（2017

数学（理）卷·2017届湖北省沙市中学高三上学期第七次双周练（2017

‎2016—2017学年上学期2014级 第七次考试理数试卷 命题人： 审题人：‎ 一、选择题。（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）‎ ‎1．设集合≥，，则（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎2．已知复数满足，则（ ）‎ A．‎ B．‎ C． ‎ D．‎ ‎3．已知数列的前项和，则“”是“数列是等比 数列”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分且不必要条件 ‎4．已知直线，，若//，则实数的值为（ ）[来源]‎ A． B．0 C．或0 D．2‎ ‎5．直线的倾斜角的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．如图所示，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，‎ 则光线所经过的路程是（ ）‎ A．2 B．6 C．3 D．2‎ ‎7．如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．设表示三条不同的直线，表示三个不同的平面，给出下列四个命题：①若，，则//；②若，是在内的射影，，则；③若，//,则//；④若，，则//. 其中真命题为 （ ）‎ A．①② B．①②③ C．①②③④ D．③④‎ B M C ‎9．在△ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，AC=1，M 为 AB 中点，将△ACM 沿 ‎ CM 折起，使 A、B 间的距离为 ，则 M 到面 ABC 的距离为（ ）‎ A A． B． C．1 D．‎ ‎10．在四棱锥中，底面是正方形，底面，分别是棱的中点，则过的平面截四棱锥所得截面面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．如图，已知多面体中，两两垂直，平面平面，平面平面，，则下列说法中正确的个数为（ ）‎ ‎①平面； ②平面；‎ ‎③在棱上存在点，使得与平面所成的角为；‎ ‎④多面体的体积为.‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（ ）‎ mA．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 二、填空题。（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）‎ ‎13．已知向量，夹角为45°，且，，则　　 ．‎ ‎14．有共同底边的等边三角形和所在平面互相垂直，则异面直线和所成角的余弦值为__________．‎ ‎15．实数满足，设，则 　　　 ． ‎ ‎16．有一支队伍长米，以一定的速度匀速前进．排尾的传令兵因传达命令赶赴排头，到达排头后立即返回，且往返速度不变．如果传令兵回到排尾后，整个队伍正好前进了米，则传令兵所走的路程为___________．‎ 三、解答题。（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。本大题共6小题，共70分。）‎ ‎17．已知分别为三个内角的对边，且 ‎（1）求；‎ ‎（2）若为边上的中线，，，求的面积．‎ ‎18．已知单调递增的等比数列{an}满足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差中项.‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，对任意正整数n，Sn＋(n＋m)an＋1＜0恒成立，试求m的取值范围.‎ ‎19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．‎ ‎（1）求证：平面EAC⊥平面PBC；‎ ‎（2）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，‎ 求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．‎ ‎20．已知定圆，定直线，过的一条动直线与直线相交于，与圆相交于，两点，是中点.‎ ‎（1）当与垂直时，求证：过圆心；‎ ‎（2）当时，求直线的方程；‎ ‎（3）设，试问是否为定值，若为定值，请求出的值；若不为定值，请说明理由.‎ ‎21．函数（，）．‎ ‎（1）若函数在上为增函数，求的取值范围；‎ ‎（2）若函数在上不单调时：‎ ‎①记在上的最大值、最小值分别为、，求；‎ ‎②设，若对恒成立，求的取值范围．‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。‎ ‎22．（本小题满分10分）在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ．‎ ‎（1）求圆C的直角坐标方程；‎ ‎（2）若点P（1，2），设圆C与直线l交于点A，B，求|PA|+|PB|的最小值．‎ ‎23．（本小题满分10分）已知函数 ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若的解集包含，求的取值范围．‎ 高三年级第七次考试理数答案 ‎1. D 2. A 3. B 4. C 5. B 6. A 7. B 8. A 9. A 10. C 11. C 12. B ‎ ‎13. 14. 15. 16. ．‎ ‎17. 解:（I）因为 ，由正弦定理得：‎ ‎，即 ‎，……3分 化简得：，所以．……5分 在中，，所以，得．……6分 ‎（II）在中，，得．……7分 则．……8分 由正弦定理得．……9分 设，，在中，由余弦定理得：‎ ‎，则 ‎，解得，‎ 即，……11分,故．……12分 ‎18.解　(1)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.‎ 依题意，有2(a3＋2)＝a2＋a4，代入a2＋a3＋a4＝28，得a3＝8.‎ ‎∴a2＋a4＝20，∴解得或又{an}单调递增，∴∴an＝2n.‎ ‎ (2)bn＝2n·log2n＝－n·2n，∴－Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①‎ ‎∴－2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，②‎ ‎①－②，得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1 ＝－n×2n＋1＝2n＋1－n×2n＋1－2.‎ 由Sn＋(n＋m)an＋1＜0， 得2n＋1－n×2n＋1－2＋n×2n＋1＋m×2n＋1＜0对任意正整数n恒成立，‎ ‎∴m·2n＋1＜2－2n＋1，即m＜－1对任意正整数n恒成立.∵－1＞－1，∴m≤－1，‎ 即m的取值范围是(－∞，－1].‎ ‎19.（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC，‎ ‎∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，‎ 又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC． ‎ ‎（Ⅱ）如图，以C为原点，取AB中点F，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）．‎ 设P（0，0，a）（a＞0），则E（，﹣，），…（6分）‎ ‎=（1，1，0），=（0，0，a），=（，﹣，），‎ 取=（1，﹣1，0），则•=•=0，为面PAC的法向量．‎ 设=（x，y，z）为面EAC的法向量，则•=•=0，‎ 即取x=a，y=﹣a，z=﹣2，则=（a，﹣a，﹣2），‎ 依题意，|cos＜，＞|===，则a=2．…（10分）‎ 于是=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2）．‎ 设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==，‎ 即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．…（12分）‎ ‎20.解：（Ⅰ）由已知，故，所以直线的方程为.‎ 将圆心代入方程易知过圆心.‎ ‎（Ⅱ）当直线与轴垂直时，易知符合题意；‎ 当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，由于，‎ 所以，由，解得.故直线的方程为或.‎ ‎（Ⅲ）当与轴垂直时，易得，，又，则，‎ ‎，故,即.‎ 当的斜率存在时，设直线的方程为，代入圆的方程得 ‎，则.‎ ‎，即，‎ ‎.又由得，‎ 则.‎ 故，‎ 综上，的值为定值，且.‎ 另解一：连结，延长交于点，由（Ⅰ）知，又于，‎ 故.于是有.‎ 由，，得.故.‎ 另解二：连结并延长交直线于点，连结，，由（Ⅰ）知，又，所以四点都在以为直径的圆上，由相交弦定理得 ‎.‎ ‎21. 解:由已知得， ……1分 令，则，所以在上必为增函数；……2分 令，则．‎ 令，得，所以在和上是增函数，在上为减函数．……3分 ‎（I）因为在上是增函数，所以在为增函数，所以．……4分 ‎（II）因为函数在上不单调，所以． ‎ ‎（i） 当时，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，‎ 所以，．……5分 ‎①当，即时，，‎ ‎；……6分 ‎②当，即时，，‎ ‎；……7分 ‎ 当时，在上是减函数，‎ 所以，．故． ‎ 综上得．……8分 ‎（ii）对恒成立，即在上的值域是的子集．‎ ‎①当时，，即 所以 令，易得在上是增函数，则，‎ 所以．……10分 ‎②当时，，即，所以 令，易得在上是增函数，则，‎ 所以．……11分 ‎③当时，，即，即 所以，所以 综上得．……12分 ‎22．解：（1）由ρ=6sinθ得ρ2=6ρsinθ，化为直角坐标方程为x2+y2=6y，即x2+（y﹣3）2=9．‎ ‎（2）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2+2（cosα﹣sinα）t﹣7=0，‎ 由△=（2cosα﹣2sinα）2+4×7＞0，故可设t1，t2是上述方程的两根，‎ ‎∴，‎ 又直线过点（1，2），故结合t的几何意义得=，∴|PA|+|PB|的最小值为．‎ ‎23．解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即①，或②，或③．‎ 解①可得x≤1，解②可得x∈∅，解③可得x≥4．‎ 把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．‎ ‎（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，‎ 等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．‎ 故当 1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，‎ 故a的取值范围为[﹣3，0]．‎