数学文卷·2018届北京市海淀区高三上学期期中考试（2017

数学文卷·2018届北京市海淀区高三上学期期中考试（2017

海淀区高三年级第一学期期中练习 数学（文科） 2017.11‎ 本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题纸交回。‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎（1）若集合，集合,则 ‎（A） （B）（C）（D）‎ ‎（2）命题“”的否定是 ‎（A）（B）‎ ‎（C）（D）‎ ‎（3）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是 ‎ ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎（4）已知数列满足，则 ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎（5）在平面直角坐标系中，点的纵坐标为，点在轴的正半轴上. ‎ 在△中，若，则点的横坐标为 ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎（6）已知向量是两个单位向量，则“”是 ‎“”的 ‎（A）充分不必要条件 （B） 必要不充分条件 ‎（C）充分必要条件 （D） 既不充分也不必要条件 ‎（7）已知函数（）的部分图象如图所示，则的值分别为 ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎（8）若函数的值域为，则实数的取值范围是 ‎（A）（B）（C）（D）‎ 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。‎ ‎（9） 已知等差数列满足，则公差=_____.‎ ‎（10）已知向量，，若与平行，则的值为______.‎ ‎（11）已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当时,，‎ 则.‎ ‎（12）如图，弹簧挂着一个小球作上下运动，小球在秒时相对于平衡位置的高度（厘米）由如下关系式确定：，则小球在开始振动（即）时的值为_________，小球振动过程中最大的高度差为__________厘米.‎ ‎（13） 能够说明 “设是实数.若，则”是假命题的一个实数的值 为______.‎ ‎（14）已知非空集合满足以下两个条件： ‎ ‎（ⅰ）；‎ ‎（ⅱ）集合的元素个数不是中的元素，集合的元素个数不是中的元素.‎ 那么用列举法表示集合为 .‎ 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。‎ ‎（15）（本小题13分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数的单调递增区间.‎ ‎（16） （本小题13分）‎ ‎ 已知等比数列满足，.‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式及前项和；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和.‎ ‎（17）（本小题13分）‎ 如图，△为正三角形，，，.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求，的长.‎ ‎（18）（本小题13分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求函数在上的最大值；‎ ‎（Ⅲ）求证：存在唯一的，使得.‎ ‎（19） （本小题14分）‎ ‎ 已知数列满足，，（N）.‎ ‎（Ⅰ）写出的值；‎ ‎（Ⅱ）设，求的通项公式；‎ ‎（Ⅲ）记数列的前项和为，求数列的前项和的最小值.‎ ‎(20) （本小题14分） ‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求证：1是函数的极值点;‎ ‎（Ⅱ）设是函数的导函数，求证：.‎ 海淀区高三年级第一学期期中练习参考答案2017.11‎ 数学（文科）‎ 阅卷须知:‎ ‎1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.‎ ‎2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 选项 C D C D A C B D 二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.(有两空的小题第一空3分)‎ ‎9.10.11.‎ ‎12.；13.14.或（答对一个给3分）‎ 三、解答题: 本大题共6小题，共80分.‎ ‎15.（本题13分）‎ 解：（I）…………1分 ‎……3分（、值各1分）‎ ‎…………4分 ‎（II）…………8分 （一个公式2分）‎ ‎.…………10分 令 …………12分 得 ‎ 所以函数的单调递增区间为.…………13分 说明：①如果没有代入的过程或没有和的函数值，但最后结果正确扣1分；如果第（I）问先化简的，按照第（II）问相应的评分标准给分。‎ ②（II）问中解析式化简可以写成，参照上面步骤给分。‎ ③求单调区间时，正确，但没有写成区间形式、无，只要居其一扣一分，不累扣。‎ ‎16．（本题13分）‎ 解：（Ⅰ）设等比数列的公比为.‎ 因为，且 所以，得，…………2分 又因为，所以，得，.…………4分 所以（N+），…………5分 所以…………6分 ‎…………7分 ‎（Ⅱ）因为，所以，…………9分 所以.…………11分 所以数列的前项和 ‎…………12分 ‎.…………13分 ‎17．（本题13分）‎ 解：（Ⅰ）因为△为正三角形，，所以在△中，，所以.‎ 所以…………1分 ‎ =…………3分 （一个公式2分）‎ 因为在△中，，…………4分 所以.…………5分 所以.…………6分 ‎（Ⅱ）方法1：‎ 在△中，，由正弦定理得：，……8分 所以…………9分 又在正△中，，，‎ 所以在△中，，…………10分 由余弦定理得：‎ ‎…………12分 所以的长为.…………13分 方法2：在△中，由正弦定理得：‎ ‎，…………8分 所以, …………9分 ‎…………10分 所以 ‎. …………11分 在△中，由余弦定理得 ‎…………12分 ‎.‎ 所以的长为.…………13分 ‎18.（本题13分）‎ 解：（Ⅰ）由，得 ,…………1分 所以，又…………3分 所以曲线在点处的切线方程为：，‎ 即：.…………4分 ‎（Ⅱ）令，得.…………5分 与在区间的情况如下：‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 极小值 ‎…………7分 因为…………8分 所以函数在区间上的最大值为6.…………9分 ‎（Ⅲ）证明：设=，‎ 则，…………10分 令，得.‎ 与随x的变化情况如下：‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ 极大值 极小值 则的增区间为，，减区间为. …………11分 又，，所以函数在没有零点，……12分 又，‎ 所以函数在上有唯一零点. …………13分 综上，在上存在唯一的，使得.‎ ‎19.（本题14分）‎ 解：（Ⅰ）‎ ‎；…………2分 ‎（Ⅱ）设，‎ 则，…………4分 所以是以1为首项，2为公差的等差数列，…………5分 所以.…………6分 ‎（Ⅲ）解法1：，，‎ 所以是以1为首项，为公差的等差数列，…………7分 所以数列的前n个奇数项之和为…………8分 由（Ⅱ）可知，，‎ 所以数列的前n个偶数项之和为…………10分 所以，…………11分 所以.‎ 因为，且 所以数列是以为首项，为公差的等差数列.…………12分 由可得，…………13分 所以当或时，数列的前项和的最小值为. …………14分 解法二：由得 ‎①，…………7分 ‎②，…………8分 把①②两个等式相加可得，，‎ 所以.…………10分 所以数列的前项和，…………11分 ‎（或：由得…………7分 ‎…………10分 ‎…………11分）‎ 所以.‎ 因为，且 所以数列是以为首项，为公差的等差数列.…………12分 由可得，…………13分 所以当或时，数列的前项和的最小值为.…………14分 ‎20．（本题14分）‎ ‎（Ⅰ）证明：‎ 证法1：的定义域为……………1分 由得 ‎，……………2分 ‎. ………………3分 当时，，，故在上单调递增；‎ ‎………………4分 当时，，，故在上单调递减；‎ ‎……………5分 ‎(此处为推理说明，若用列表说明则扣1分)‎ 所以1是函数的极值点.………………6分 证法2：（根据极值的定义直接证明）‎ 的定义域为……………1分 ‎，……………3分 当时，，即；………………4分 当时，，即；……………5分 根据极值的定义，1是的极值点. ………………6分 ‎（Ⅱ）由题意可知，‎ 证法1：，‎ 令，‎ ‎，故在上单调递增. ………………7分 又，又在上连续，‎ 使得，即，………………8分 ‎.（）………………9分 随x的变化情况如下：‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎………………10分 ‎. ………………11分 由（）式得，代入上式得 ‎. ………………12分 令，‎ ‎，故在上单调递减. ………………13分 ‎，又，.‎ 即. ………………14分 证法2：，‎ 令，………………7分 ‎，令得. ………………8分 随x的变化情况如下：‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎，即，当且仅当时取到等号.………………10分 ‎，令得. ………………11分 随x的变化情况如下：‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎………………12分 ‎，即，当且仅当时取到等号. ………………13分 ‎.‎ 即. ………………14分