专题38 快速填解空题的解法-名师揭秘2019年高考数学（文）命题热点全覆盖

专题38 快速填解空题的解法-名师揭秘2019年高考数学（文）命题热点全覆盖

专题 38 快速填解空题的解法 一、题型特点 近几年来，在新课标全国卷Ⅰ数学试题中选择题一直是 12 道题，填空题一直是 4 道题，所占分值为 80 分，约占数学试题总分数的 53%. 且在高考题中属于中低难度的试题，仅有个别题属于较高难度试题，在一 般的情况下分别按由易到难的顺序排列，在高考数学中选择题和填空题是一种只要求得到结果，不要求写 出解答过程的试题．具有概括性强、小巧灵活、知识覆盖面广，其中融入多种数学思想和方法等特点，可 以有效地检验考生的数学思维层次及分析问题、判断问题、推理问题和解决问题的能力． 二、解题思路 做选填题的步骤为： 1．首先，审题．能很好的把数学的三种语言(文字语言、图形语言、数字符号语言)之间快速转化并发 掘题目中的隐含条件，要去伪存真，快速领会题目的真正含义． 2．其次，要注意选填题的解题技巧．小题小做、巧做，简单做，要多用数形结合、特殊值法等技巧， 节约时间． 3．最后，仔细检查答卷不能有漏填的现象(遇到不会做的，也不要空着不做，一定要写一个答案)，不 能有把答案抄错的现象． 三、典例分析 (一)直接演绎法 所谓直接演绎法，就是直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过 变形、推理、运算等过程，直接得到结果． 例 1(2015 课标全国Ⅰ)一个圆经过椭圆x2 16 ＋y2 4 ＝1 的三个顶点，且圆心在 x 轴的正半轴上，则该圆的标准方 程为____________ 【解析】由题意知，圆过椭圆的三个顶点(4，0)，(0，2)，(0，－2)，设圆心为(a，0)，其中 a>0， 由 4－a＝ a2＋4，解得 a＝3 2 ， 所以该圆的标准方程为 x－3 2 2 ＋y2＝25 4 【反思】直接演绎法是解选择填空题最基本的方法，涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目，充分挖 掘题设条件，通过严谨的推理，正确的运算必能得出正确的答案．因此，学会熟练运用基本知识，并能迅 速分析题目，抓住主干，吃透题意是用直接演绎法解题的不二法宝． 练习 1．若函数 满足 ，且当 时， 则 ______． 【答案】1009 【解析】∵函数 满足 ， ∴ ， ∵当 时， ． ∴当 时， ， ， ∴ ． 故答案为 1009． 练习 2．已知 ，若 ，那么实数 的值为__． 【答案】2 【解析】 ， 若 ，可得 ， （4） ，解得 ． 故答案为：2． 练习 3．给出下列命题： (1)函数 y＝tan|x|不是周期函数； (2)函数 y＝tanx 在定义域内是增函数； (3)函数 y＝ 的周期是 ； (4)y＝sin 是偶函数．其中正确命题的序号是___． 【答案】_(1)(3)(4) 练习 4．函数 的值域是__________。 【答案】[0， ] 【解析】∵﹣1≤cosx≤1，要使函数有意义则 sin（cosx）≥0，则 0≤cosx≤1， 此时 0≤sin（cosx）≤sin1， 则 0 ， 即函数的值域为[0， ]， 故答案为：[0， ]． (二) 特例(值)法 所谓特例(值)法，就是利用满足题设条件的一些特殊数值、特殊函数、特殊方程、特殊数列、特殊点、 特殊角、特殊图形、特殊位置等进行求解，从而得出正确答案． 例 2 (2015 课标全国Ⅰ)若函数 f(x)＝xln(x＋ a＋x2)为偶函数，则 a＝________． 【解析】因为函数 f(x)为偶函数，所以定义域关于原点对称， 所以定义域为 R， 设 h(x)＝x，g(x)＝ln(x＋ a＋x2)，又 h(x)为奇函数， 所以 g(x)也为奇函数，取 x＝0，则 g(0)＝0，解得 a＝1. 【反思】特例(值)法是高考数学解选择填空题的最佳方法，能降低解题难度，提高解题效率．当正确的选择 对象，在题设普遍条件下都成立的情况下，用特例(值)法(取得越简单越好)进行探究，从而清晰、快捷地得 到正确答案，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律． 练习 1．设 ，则 _____， （ 的值为______． 【答案】720 1 【解析】利用二项式系数公式， ，故 故（ = = 练习 2．已知函数 f(x)，任意 x1，x2∈ (x1≠x2)，给出下列结论： ①f (x＋π)＝f (x)；②f ( x)＝f (x)；③f (0)＝1；④ ；⑤ . 当 f (x)＝tanx 时，正确结论的序号为________． 【答案】①④ 【解析】由于 f(x)＝tanx 的周期为π，故①正确；函数 f(x)＝tanx 为奇函数，故②不正确；f(0)＝tan0＝0， 故③不正确；④表明函数为增函数，而 f(x)＝tanx 为区间 上的增函数，故④正确；⑤由函数 f(x)＝tanx 的图象可知，函数在区间 上有 ，在区间 上有 ， 故⑤不正确． 故答案为①④ 【点睛】本题主要考查了正切函数 y=tanx 的图像和性质，熟练掌握正切函数的相关知识点是解题的关键； 还有就是凹凸函数，属于基础题. 凸函数 ；凹函数 (三) 极限化和特殊为位置法 在一些选择填空题中，有一些任意选取或者变化的元素，我们对这些元素的变化趋势进行研究，分析 它们的极限情况或者极端位置，并进行计算，以此来判断结果．这种通过动态变化，或对极端取值来解选 择填空的策略是一种极限化法． 例 3(2015 课标全国Ⅰ)在平面四边形 ABCD 中， ∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则 AB 的取值范围是__________． 【解析】如图，作 △ PBC， 使∠B＝∠C＝75°，BC＝2， 作直线 AD 分别交线段 PB、PC 于 A、D(不与端点重合)，且使∠BAD＝75°， 则四边形 ABCD 就是符合题意的四边形．将 AD 在该等腰 △ PBC 内平行移动， 平移 AD，当 CD 重合时，AB 最短， 此时求得 AB＝ 6－ 2； 当 AD 重合时，AB 最长，此时求得 AB＝ 6＋ 2， 所以 AB 的取值范围是( 6－ 2， 6＋ 2)． 【反思】用极限化法是解选择填空题的一种有效方法，也是在选择填空题中避免“小题大做”的有效途 径．它根据题干及选择支的特征，考虑极端情形，有助于缩小做题难度，计算简便，能迅速得到答案． 练习 1．如图，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形， 平面 ABCD， 平面 ABCD，且 ，G 为 线段 EC 上的动点，则下列结论中正确的是______ ； 该几何体外接球的表面积为 ； 若 G 为 EC 中点，则 平面 AEF； 的最小值为 3． 【答案】 【解析】以 D 为原点，DA 所在直线为 x 轴，DC 所在直线为 y 轴，DE 所在直线为 z 轴， 建立空间直角坐标系， 可得 0， ， 0， ， 1， ， 1， ， 1， ， 0， ， 即有 1， ， 1， ，由 ，可得 ，故 正确； 由球心在过正方形 ABCD 的中心的垂面上，即为矩形 BDEF 的对角线的交点， 可得半径为 ，即有该几何体外接球的表面积为 ，故 正确； 若 G 为 EC 中点，可得 1， ， 0， ， 0， ， 1， ， 设平面 AEF 的法向量为 y， ，可得 ，且 ，可设 ，可得一个法向量为 ， 由 ，可得 则 平面 AEF，故 正确； 设 t， ， ， 当 时，取得最小值 ，故 错误． 故答案为： ． 【点睛】本题考查空间线面的位置关系和空间线线角的求法，以及向量法解决空间问题，考查运算能力， 属于中档题．涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线 作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外 接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解. 练习 2．如图，在棱长为 3 的正方体 中，点 E 是 BC 的中点，P 是平面 内一点，且 满足 ，则线段 的长度的取值范围为______． 【答案】 (四)数形结合法 所谓数形结合法是把抽象的数学语言同直观的图形结合起来，通过“以形助数”、“以数辅形”，使抽象思 维与形象思维相结合，通过图形的描述、代数的论证来研究和解决数学问题． 例 4(2015 课标全国Ⅰ)若 x，y 满足约束条件 x－1≥0， x－y≤0， x＋y－4≤0， 则y x 的最大值为______ 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，在点 A(1，3)处，y x 取得最大值 3. 【反思】“数”与“形”是数学的重要基石，二者在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定条件下可以互 相转化，如果在解答选择填空题的过程中能够很好的运用这一数学解题中最重要的方法之一，就能够使复 杂的问题简单化，抽象的问题具体化，进而简化解题过程，从而达到事半功倍的效果． 函数 的定义域为 ，则函数 的定义域也是 ； 存在实数 ，使得 成立； 是函数 的对称轴方程； 曲线 和直线 的公共点个数为 m ，则 m 不可能为 1 ； 其中正确的有______ 写出所有正确的序号 【答案】 【解析】由 ， ，结合映射的定义可判断 ；由由 ，解不等式可判断 ；由辅助角 公式和正弦函数的值域，可判断 ；由正弦函数的对称轴，可判断 ；由 的图象可判断交点个数， 可判断 ． 【详解】 由于 ， ，B 中无元素对应，故 错误； 函数 的定义域为 ，由 ，可得 ， 则函数 的定义域也是 ，故 正确； 由于 的最大值为 ， ，故 不正确； 由 为最小值， 是函数 的对称轴方程，故 正确； 曲线 和直线 的公共点个数为 m，m 可能为 2，3，4，则 m 不可能为 1，故 正确， 故答案为： ． 练习 3．若 满足约束条件 ，则 的最小值为______． 【答案】5 【解析】 作出约束条件 对应的平面区域，如图 表示区域内的点到定点 的距离的平方， 由 ，可得 则由图象可知， 距离最小， 此时 的最小值为 ，故答案为 5． 练习 4．若实数 x，y 满足约束条件 ，则 z＝lny－lnx 的最小值是___． 【答案】－ln3 【解析】根据题中所给的约束条件，画出可行域，如图所示： 又因为 ，当 取最小值时即得结果， 根据 表示的是点 与原点连线的斜率，根据图形可知，在点 C 处取得最小值， 解方程组 ，解得 ，此时 z 取得最小值 ， 故答案是： . （七）填空题综合 例 7．已知下列命题： 是 a，G，b 成等比数列的充要条件； 函数 的最小值为 4； 设数列 满足： ，则数列 的通项公式为 ； 已知 ， ， ，则动点 P 的轨迹是双曲线的一支． 其中正确的命题是______写序号． 【答案】 【解析】对于 ， 推不到 a，G，b 成等比数列，比如 ，反之成立， 则 是 a，G，b 成等比数列的必要不充分条件，故 错； 对于 ，函数 ，当且仅当 ，即 ， y 取得最小值 4，故 对； 对于 ，设数列 满足： ， 时 ； 时， ， 又 ，相减可得 ， 即为 ，故 错； 对于 ， ， ， ， 由双曲线的定义可得动点 P 的轨迹是双曲线的一支，故 对． 故答案为： ． 练习 1．在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 的左，右焦点分别为 ， ，上顶点为 A， 射线 交椭圆于 若 的面积为 ，内角 A 为 ，则椭圆的焦距为______． 【答案】10 【解析】由题意可得 为等边三角形， 即有 ， ， 可得椭圆方程为 ， 设直线 AB 的方程为 ， 代入椭圆方程可得 ， 化为 ， 解得 或 ， 即有 的面积为 ， 可得 ， 即有椭圆的焦距为 10． 故答案为：10． 练习 2．设函数 ,观察： ， ， ， …，根据以上事实，由归纳推理可得： ________. 【答案】 【解析】通过观察题目所给条件，函数表达式的分母中， 的系数和 的下标相同，即 的解析式是 ， 故 . 练习 3．将正整数有规律地排列如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 …………… 则在此表中第 45 行第 83 列出现的数字是_______________ 【答案】2019 练习 4．已知各项均为正数的两个无穷数列 和 满足： ， 且 是等比数列，给定以下四个结论：①数列 的所有项都不大于 ；②数列 的所有项都大于 ； ③数列 的公比等于 ；④数列 一定是等比数列。其中正确结论的序号是____________． 【答案】①③④ 【解析】因为 ， 所以 ①，下证等比数列 的公比 . 若 ，则 ，则当 时， ，此时 ，与①矛盾； 若 ，则 ，则当 时， 此时 ，与①矛盾. 故 ，故 .下证 ，若 ，则 ，于是 ， 由 得 ，所以 中至少有两项相同，矛盾. 所以 ，所以 ， 所以正确的序号是①③④.