2018届二轮复习 选修4系列课件（全国通用）
专题八 选修
4
系列
高考导航
演真题
·
明备考
高考体验
(2)
设点
P
在
C
1
上
,
点
Q
在
C
2
上
,
求
|PQ|
的最小值及此时
P
的直角坐标
.
(1)
求
C
2
与
C
3
交点的直角坐标
;
(2)
若
C
1
与
C
2
相交于点
A,C
1
与
C
3
相交于点
B,
求
|AB|
的最大值
.
3.
(2015
·
全国
Ⅰ
卷
,
理
24)
已知函数
f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.
(1)
当
a=1
时
,
求不等式
f(x)>1
的解集
;
解
:
(1)
当
a=1
时
,f(x)>1
化为
|x+1|-2|x-1|-1>0.
当
x≤-1
时
,
不等式化为
x-4>0,
无解
;
当
-1
0,
解得
0,
解得
1≤x<2.
所以
f(x)>1
的解集为
{
x
|
1
时
,(*)
等价于
a-1+a≥3,
解得
a≥2.
所以
a
的取值范围是
[2,+∞).
高考感悟
1.
考查角度
(1)
坐标系与参数方程主要考查极坐标与直角坐标的互化、参数方程化为普通方程以及参数方程与极坐标的综合应用
.
(2)
不等式选讲主要考查平均不等式的应用
,
绝对值三角不等式的理解及应用、含绝对值不等式的解法、含参不等式解法和恒成立问题以及不等式的证明方法
:
比较法、综合法、分析法、放缩法及它们的应用
.
其中绝对值不等式的解法及证明方法的应用是重点
.
2.
题型及难易度
解答题
.
难度中档
.
热点突破
剖典例
·
促迁移
热点一
坐标系与参数方程
解
:
(1)
消去参数
t
得到
C
1
的普通方程为
x
2
+(y-1)
2
=a
2
.
则
C
1
是以
(0,1)
为圆心
,a
为半径的圆
.
将
x=ρcos θ,y=ρsin θ
代入
C
1
的普通方程中
,
得到
C
1
的极坐标方程为
ρ
2
-2ρsin θ+1-a
2
=0.
(1)
说明
C
1
是哪一种曲线
,
并将
C
1
的方程化为极坐标方程
;
(2)
直线
C
3
的极坐标方程为
θ=α
0
,
其中
α
0
满足
tan α
0
=2,
若曲线
C
1
与
C
2
的公共点都在
C
3
上
,
求
a.
解
:
(2)
曲线
C
1
,C
2
的公共点的极坐标满足方程组
若
ρ≠0,
由方程组得
16cos
2
θ-8sin θcos θ+1-a
2
=0,
由已知
tan θ=2,
可得
16cos
2
θ-8sin θcos θ=0,
从而
1-a
2
=0,
解得
a=-1(
舍去
)
或
a=1.
a=1
时
,
极点也为
C
1
,C
2
的公共点
,
且在
C
3
上
.
所以
a=1.
【
方法技巧
】
(1)
直角坐标方程化为极坐标方程
,
只需把公式
x=ρcos θ
及
y=ρsin θ
直接代入并化简即可
;
而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形
,
构造形如
ρcos θ,ρsin θ,ρ
2
的形式
,
进行整体代换
.
其中方程的两边同乘以
(
或同除以
)ρ
及方程两边平方是常用的变形方法
.
但对方程进行变形时
,
方程必须保持同解
,
因此应注意对变形过程的检验
.
(2)
参数方程化为普通方程常用的消参技巧有代入消元、加减消元、平方后再加减消元等
.
对于与角
θ
有关的参数方程
,
经常用到的公式有
sin
2
θ+ cos
2
θ=1,1+tan
2
θ=
等
.
(3)
在将曲线的参数方程化为普通方程时
,
还要注意其中的
x,y
的取值范围
,
即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性
.
解
:
(1)
曲线
C
的直角坐标方程为
y
2
=2ax,
直线
l
的普通方程为
y=x-2.
热点训练
1:
(2016
·
甘肃重点中学协作体期末
)
在直角坐标系中
,
以原点为极点
,x
轴的正半轴为极轴建立坐标系
,
已知曲线
C:ρsin
2
θ=2acos θ(a>0),
过点
P(-2,-4)
的直线
l
的参数方程为
(t
为参数
),
直线
l
与曲线
C
分别交于
M,N.
(1)
写出曲线
C
的直角坐标方程和直线
l
的普通方程
;
(2)
若
|PM|,|MN|,|PN|
成等比数列
,
求
a
的值
.
(1)
写出曲线
C
的参数方程
,
直线
l
的普通方程
;
【
方法技巧
】
一般地,如果题目中涉及圆、椭圆上的动点或求最值范围问题时可考虑用参数方程,设曲线上点的坐标,将问题转化为三角恒等变换问题解决,使解题过程简单明了.
(2)
过曲线
C
上任意一点
P
作与
l
夹角为
30°
的直线
,
交
l
于点
A,
求
|PA|
的最大值与最小值
.
热点训练
2:
(2016
·
河南八市重点高中质量检测
)
在平面直角坐标系
xOy
中
,
以坐标原点
O
为极点
,x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系
.
已知曲线
C
1
的参数方程为
(α
为参数
),
曲线
C
2
的极坐标方程为
ρ
2
(sin
2
θ+4cos
2
θ)=4.
(1)
求曲线
C
1
的普通方程与曲线
C
2
的直角坐标方程
;
(2)
若
A
为曲线
C
1
上任意一点
,B
为曲线
C
2
上任意一点
,
求
|AB|
的最小值
.
热点二
不等式选讲
考向
1
绝对值不等式的解法
【
例
3】
(2016
·
全国
Ⅰ
卷
,
理
24)
已知函数
f(x)=|x+1|-|2x-3|.
(1)
画出
y=f(x)
的图象
;
(2)
求不等式
|f(x)|>1
的解集
.
【
方法技巧
】
解绝对值不等式的基本方法
(1)
利用绝对值的定义
,
通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式
;
(2)
当不等式两端均为正数时
,
可通过两边平方的方法
,
转化为解不含绝对值符号的普通不等式
;
(3)
利用绝对值的几何意义
,
数形结合求解
.
热点训练
3:
(2014
·
全国
Ⅱ
卷
,
理
24)
设函数
f(x)=
+|x-a|(a>0).
(1)
证明
:f(x)≥2;
(2)
若
f(3)<5,
求
a
的取值范围
.
考向
2
含绝对值不等式的证明
【
例
4】
(2015
·
全国
Ⅱ
卷
,
理
24)
设
a,b,c,d
均为正数
,
且
a+b=c+d,
证明
:
【
方法技巧
】
含绝对值不等式的证明主要分两类
:
一类是比较简单的不等式可以通过平方法或换元法等去掉绝对值转化为常见的不等式的证明
,
另一类是利用绝对值三角不等式
:||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,
通过适当的添加、拆项证明
,
但一定注意放缩要适当
.
热点训练
4:
(2016
·
湖南益阳调研
)
设不等式
-2<|x-1|-|x+2|<0
的解集为
M,a,b∈M.
(2)
比较
|1-4ab|
与
2|a-b|
的大小
.
备选例题
挖内涵
·
寻思路
【
例
1】
(2016
·
陕西汉中质检
)
如图所示
,AB
为圆
O
的直径
,BC,CD
为圆
O
的切线
,B,D
为切点
.
(1)
求证
:∠BAD=∠BOC;
(1)
证明
:
连接
BD,OD.
因为
CB,CD
是圆
O
的两条切线
,
所以
BD⊥OC.
又因为
AB
为圆
O
的直径
,
则
AD⊥DB,
所以
AD∥OC,
所以∠
BAD=∠BOC.
(2)
若
AD·OC=8,
求圆
O
的面积
.
(1)
求证
:
曲线
C
1
的极坐标方程为
3ρcos θ-4ρsin θ-4=0;
(1)
证明
:
因为曲线
C
1
的参数方程为
(t
为参数
),
所以曲线
C
1
的直角坐标方程为
3x-4y-4=0,
所以曲线
C
1
的极坐标方程为
3ρcos θ-4ρsin θ-4=0.
(2)
设曲线
C
1
与曲线
C
2
的公共点为
A,B,
求
|PA|·|PB|
的值
.
【
例
3】
(2016
·
湖南衡阳模拟
)
已知函数
f(x)=|x-a|,
其中
a>1.
(1)
当
a=3
时
,
求不等式
f(x)≥4-|x-4|
的解集
;
(2)
若函数
h(x)=f(2x+a)-2f(x)
的图象与
x,y
轴围成的三角形面积大于
a+4,
求
a
的取值范围
.
【
例
4】
设
a,b,c
均为正数
,
且
a+b+c=1.
证明
:
(1)ab+bc+ac≤ ;
证明
:
(1)
由
a
2
+b
2
≥2ab,b
2
+c
2
≥2bc,c
2
+a
2
≥2ca,
得
a
2
+b
2
+c
2
≥ab+bc+ca.
由题设得
(a+b+c)
2
=1,
即
a
2
+b
2
+c
2
+2ab+2bc+2ca=1.
所以
3(ab+bc+ca)≤1,
即
ab+bc+ca≤ .
绝对值不等式的解法与证明
阅卷评析
抓关键
·
练规范
(1)
求
M;
(2)
证明
:
当
a,b∈M
时
,|a+b|<|1+ab|.
(2)
证明
:
当
a,b∈M
时
,(a
2
-1)(b
2
-1)>0,
………………
8
分
即
a
2
b
2
+1>a
2
+b
2
,
即
a
2
b
2
+1+2ab>a
2
+b
2
+2ab,
即
(ab+1)
2
>(a+b)
2
,
即
|a+b|<|1+ab|.
………………………………………
10
分
注
:
得出
(a
2
-1)(b
2
-1)>0
得
2
分
;
化简到要证的结果得
2
分
.
【
答题启示
】
1.
解
|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c
型不等式
,
常利用零点分段讨论法去绝对值符号
,
所分区间上各不等式解集的并集就是原不等式的解集
.
2.
在含绝对值不等式的证明或比较大小中常利用
|a|>|b|
⇔
a
2
>b
2
进行转化
.
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