数学北师大版（2019）必修第二册：单元素养评价 第一章 三角函数 学案与作业
单元素养评价(一)(第一章)
(120 分钟 150 分)
一、单选题(每小题 5 分,共 40 分)
1.cos = ( )
A. B.- C.- D.
【解析】选 D.cos =cos = .
2.(2020·西安高一检测)已知角α的终边经过点 ,则 sin
α+ = ( )
A.- B. C. D.
【解析】选 D.因为角α的终边经过点 ,
所以 r= =5,则 sin α=- ,cos α= ,即 sin α+ = .
3.点 A 位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】选 C.因为 2 019°=5×360°+219°,所以 2 019°为第三象限
角,则 sin 2 019°<0,cos 2 019°<0,
所以点 A 位于第三象限.
4.为了得到函数 y=sin 的图象,可以将函数 y=sin 2x 的图象 ( )
A.向左平移 个单位 B.向右平移 个单位
C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位
【解析】选 D.因为 y=sin =sin 2 ,
所以将函数 y=sin 2x 的图象向右平移 个单位,便可得到函数
y=sin 的图象.
5.(2020·浙江高考)函数 y=xcos x+sin x 在区间[-π,π]的图象大致
为 ( )
【解析】选 A.因为-xcos (-x)+sin (-x)=-xcos x-sin x,故 y=xcos
x+sin x 为奇函数,排除 C,D 选项,当 x=π时,y=-π,故选 A.
【补偿训练】
已知函数 f =sin (x∈R,ω>0)的最小正周期为π,将
f 的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度,所得图象关于 y 轴对称,则
φ的一个值是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选 B.由函数的最小正周期公式可得:ω= = =2,则函数的解
析式为 f =sin ,将 f 的图象向右平移φ个单位长度后
所得的函数解析式为:
g =sin =sin ,
函数图象关于 y 轴对称,则函数 g 为偶函数,即当 x=0 时:
2x-2φ+ =-2φ+ =kπ+ ,
则φ=- - ,①
令 k=-1 可得φ= ,
其余选项明显不适合①式.
6.(2020·宁波高一检测)已知 cos = ,且-π<α<- ,则
cos 等于 ( )
A. B.
C.- D.-
【解析】选 D.依题意 cos
=sin
=sin = ,由于-π<α<- ,
所以 < -α< ,故 cos =- =- .
7.已知 tan θ=3,则 等于 ( )
A.- B. C.0 D.
【解析】选 B.因为 tan θ=3,
所以
= = = = .
8.设 a=sin ,b=cos ,c=tan ,则 ( )
A.a
cos >cos >0,
即 0tan =1,即 b0
D.f >
【解析】选 AC.f(x)=tan x 的周期为π,故 A 正确;函数 f(x)=tan x 为
奇函数,故 B 不正确;
C 表明函数为增函数,而 f(x)=tan x 为区间 上的增函数,故 C
正确;
由函数 f(x)=tan x 的图象可知,
函数在区间 上有 f > ,在区间 上有
f < ,故 D 不正确.
11.关于函数 f =cos x+ 有下述四个结论,其中正确的是 ( )
A.f 是偶函数
B.f 在区间 上递减
C.f 为周期函数
D.f 的值域为
【解析】选 AC.因为 f =cos
+ =cos x+ =f ,
所以 f 为偶函数,A 正确;
当 x∈ 时,f =cos x-cos x=0,不满足单调递减定义,B 错误;
当 x∈ ,k∈Z 时,f =2cos x;
当 x∈ ,k∈Z 时,f =0,
所 以 f 是 以 2 π 为 最 小 正 周 期 的 周 期 函 数 ,C 正 确 ; 当 x ∈
,k∈Z 时,f ∈ ,
当 x∈ ,k∈Z 时,f =0,
故 f 的值域为 ,D 错误.
12.已知函数 f =Asin (其中 A>0,ω>0,0<φ<π)的图象关于点
M 成中心对称,且与点 M 相邻的一个最低点为 N ,则下
列判断正确的是 ( )
A.函数 f =Asin 中 T=π,ω=2
B.直线 x= 是函数 f 图象的一条对称轴
C.点 是函数 f 的一个对称中心
D.函数 y=1 与 y=f 的图象的所有交点的横坐标之和
为 7π
【解析】选 ACD.因为函数 f(x)的图象关于 M 成中心对称,且最
低点为 N ,所以 A=3,T=4× =π,ω= = =2,
所 以 f =3sin , 将 N 代 入 得 φ = , 所 以
f =3sin ,由此可得 B 错误,C 正确,D 当- ≤x≤ 时,0≤
2x+ ≤ 6 π , 所 以 与 y=1 有 6 个 交 点 , 设 各 个 交 点 坐 标 依 次 为
x1,x2,x3,x4,x5,x6,
则 x1+x2+x3+x4+x5+x6=7π.
三、填空题(每小题 5 分,共 20 分)
13.(2020· 亳 州 高 一 检 测 )y=cos 在 上 的 值 域
为 .
【解析】因为 0≤x≤ π,所以- ≤x- ≤ ,
所以 ≤cos ≤1,即 ≤y≤1.
答案:
14.已知一扇形的弧所对的圆心角为 54°,半径 r=20 cm,则扇形的周长
为 cm.
【解析】因为圆心角α=54°= ,
所以 l=|α|·r=6π,所以周长为(6π+40)cm.
答案:(6π+40)
15.已知函数 f(x)=sin ,x∈ ,则函数 f(x)的单调递增区
间为 .
【解析】令- +2kπ≤3x- ≤ +2kπ ,
解得- +2kπ≤3x≤ +2kπ ,故- + ≤x≤ + ,令
k=1,解得 ≤x≤ ,
故函数的单调递增区间为 .
答案:
16.tan ≥ 的解集为 .
【解析】由题得 kπ+ ≤2x+ 0,ω>0, <π)的一段图
象如图所示.
(1)求函数 f(x)的单调增区间;
(2)若 x∈ ,求函数 f(x)的值域.
【解析】(1)由题图可得 f(x)=2sin ,
由- +2kπ≤2x+ π≤ +2kπ,k∈Z,
得- +kπ≤x≤- +kπ,k∈Z,
所以函数 f 的单调增区间为 ,k∈Z.
(2)因为 x∈ ,所以 2x+ π∈
所以当 x= 时,f =- ,
当 x=- 时,f =2,
所以函数 f 的值域为[- ,2].
20.(12 分)(2020·潍坊高一检测)方程 cos x= 在 x∈ 上有两
个不同的实数根,求实数 a 的取值范围.
【解析】作出 y=cos x,x∈ 与 y= 的大致图象,如图所示.
由图象可知,当 ≤ <1,即-10)
的最小正周期为π.
(1)求 f(x)的单调增区间和对称轴;
(2)若 x∈ ,求 f(x)的最大值和最小值.
【解析】(1)由题意知 T=π= ,解得ω=2,
所以 f(x)=2cos ,
令π+2kπ≤2x+ ≤2π+2kπ(k∈Z),
解得 +kπ≤x≤ +kπ(k∈Z),
所以 f(x)的单调增区间为 (k∈Z),
令 2x+ =kπ(k∈Z),解得 x=- + ,k∈Z,
所以 f(x)的对称轴为 x=- + (k∈Z);
(2)由(1)知函数 f(x)=2cos 在 上单调递增,在
上单调递减,
因为 f =2cos = ,
f =2cos 0=2,f =2cos =- ,
所以当 x∈ 时,f =2,f =- .
22.(12 分)已知函数 f(x)=-sin2x+asin x+1.
(1)当 a=1 时,求函数 f(x)的值域;
(2)若当 a>0 时,函数 f(x)的最大值是 3,求实数 a 的值.
【解析】(1)当 a=1 时,f(x)=-sin2x+sin x+1,
令 t=sin x,-1≤t≤1;则 y=-t2+t+1=- + ,
当 t= 时,函数 f(x)的最大值是 ,
当 t=-1 时,函数 f(x)的最小值是-1,
所以函数 f(x)的值域为 .
(2)当 a>0 时,f(x)=-sin2x+asin x+1
=- +1+ ,
当 ≥1,即 a≥2 时,当且仅当 sin x=1 时,
f(x)max=a,又函数 f(x)的最大值是 3,所以 a=3;
当 0< <1,0
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