【数学】2019届一轮复习人教B版 排列与组合 学案

【数学】2019届一轮复习人教B版 排列与组合 学案

1.2 排列与组合 一、排列 1．排列的定义 一般地，从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列(arrangement). 【注】（1）排列的定义包含两方面的含义：一是“取出元素”；二是“按照一定的顺序”． （2）定义中规定给出的 n 个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况．也就是说，如 果某个元素已被取出，则这个元素就不能再取了． （3）定义中的“一定的顺序”与位置有关.如取出数字 1，2，3 组成一个三位数，就与位置有关，因为 123 和 321 是不同的三位数. 2．排列数、排列数公式 （1）排列数 从 n 个不同元素中取出 个元素的所有的个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数， 用符号 表示. （2）排列数公式 ①排列数公式的推导 一般地，求排列数 可以按依次填 m 个空位来考虑： 假设有排好顺序的 m 个空位，从 n 个元素 中任取 m 个去填空，一个空位填 1 个元素，每一 种填法就对应一个排列，而要完成“这件事”可以分为 m 个步骤来实现. 根据分步乘法计数原理，全部填满 m 个空位共有 种填法. 这样，我们就得到公式 ，其中 ，且 .这个公式叫做排列数公式. ②全排列与阶乘 n 个 不 同 元 素 全 部 取 出 的 一 个 排 列 ， 叫 做 n 个 元 素 的 一 个 全 排 列 ， 这 时 公 式 中 ， 即 有 ，就是说，n 个不同元素全部取出的排列数，等于正整数 1 到 n ( )m m n≤ Am n Am n 1 2, , , na a a ( 1)( 2) [ ( 1)]n n n n m− − − − Am n = ,m n ∗∈N m n≤ m n= A ( 1) ( 2) 3 2 1n n n n n= × − × − × × × × 的连乘积.正整数 1 到 n 的连乘积，叫做 n 的阶乘，用 表示.所以 n 个不同元素的全排列数公式可以写 成 .另外，我们规定 1. 于是排列数公式写成阶乘的形式为 ，其中 ，且 . 【注】排列与排列数是两个不同的概念，一个排列是指“按照一定的顺序排成一列”，它是具体的一件事， 排列数是指“从 n 个不同元素中取出 个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数. 二、组合 1．组合的定义 一般地，从 n 个不同元素中取出 个元素，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合 （combination）. 【注】（1）组合要求 n 个元素是不同的，取出的 m 个元素也是不同的，即从 n 个元素中进行 m 次不放 回地抽取. （2）无序性是组合的本质，即元素没有位置要求.如果两个组合中的元素完全相同，不管它们的顺序如 何，这两个组合都是相同的组合，如 ab 与 ba 是两个不同的排列，但它们是同一个组合；如果两个组合 中的元素不完全相同，那么这两个组合就是不同的组合. 2．组合数、组合数公式 （1）组合数 从 n 个不同元素中取出 个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素 的组合数，用符号 表示. （2）组合数公式 与排列数公式一样，组合数公式也有两个： ① ，其中 ，且 .这个公式叫做组合数公式. ②因为 ，所以组合数公式还可以写成 ，其中 ，且 . 另外，我们规定 . 3．组合数的性质 !n A !n n n= 0!= Am n = ! ( )! n n m− ,m n ∗∈N m n≤ ( )m m n≤ ( )m m n≤ ( )m m n≤ Cm n AC A m m n n m m = = ,m n ∗∈N m n≤ Am n = ! ( )! n n m− Cm n = ! !( )! n m n m− ,m n ∗∈N m n≤ 0C 1n = 性质 1： . 由于 ，因此该等式在 m=n 时也成立. 性质 1 表明从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合，与剩下的 个元素的组合是一一对应关系. 性质 2： . 性质 2 表明从 个不同元素中任取 m 个元素的组合，可以分为两类：第 1 类，取出的 m 个元素中不 含某个元素 a 的组合，只需在除去元素 a 的其余 n 个元素中任取 m 个即可，有 个组合；第 2 类，取 出的 m 个元素中含有某个元素 a 的组合，只需在除去 a 的其余 n 个元素中任取 个后再取出元素 a 即可，有 个组合. 知识参考答案： 一、1．一列 2．（1）不同排列 （2） 二、1．合成一组 2． 3． —重点 排列、组合式的计算及应用 —难点 排列、组合的应用 —易错 忽视排列、组合数中的限制条件致误，重复计数或遗漏计数致误， 对特殊元素考虑不周致误，混淆分堆与分配问题致误等等. 1．排列、组合公式的应用 对排列数公式的理解： Cm n = 0C 1n = n m− 1 1C C Cm m m n n n − + = + 1n + Cm n 1m − 1Cm n − ( 1)( 2) ( 1)n n n n m− − − + ( 1)( 2) ( 1) ! n n n n m m − − − + Cn m n − （1）排列数公式中连乘积的特点是：第一个因数是 n，后面每一个因数都比它前面一个因数少 1，最后 一个因数是 n−m+1,共有 m 个因数相乘. （2）一般来说，在直接进行具体计算时，选用连乘积形式较好；当对含有字母的排列数的式子进行变形、 解方程或证明时，采用阶乘形式较好. 对组合数公式的理解： （1）组合数的计算、组合恒等式的证明，求解组合等式或不等式中的字母值或取值范围主要应用公式： ， （2）对于含有字母的组合式的变形论证，利用 较为简便． 【例 1】（1）计算：①A58＋A48 A69－A59 ；②C 410－C37·A33. （2）化简：①A11＋2A22＋3A33＋··· ＋nAnn；② . （3）解方程：① ；②C x14＝C2x－414 . 【答案】（1）① 5 27；②0；（2）①An＋1n＋1－1；②466；（3）①x＝5；②x＝4 或 6. 【解析】（1）①原式＝4A48＋A48 4A59－A59＝5A48 3A59＝ 5A48 3 × 9A48＝ 5 27. ②原式＝C 410－A37＝10 × 9 × 8 × 7 4 × 3 × 2 × 1 －7×6×5＝210－210＝0. （2）①∵ Akk＝( ＋1)Akk－Akk＝Ak＋1k＋1－Akk， ∴原式＝1＋(A33－A22)＋(A44－A33)＋···＋(A n＋1n＋1－Ann)＝An＋1n＋1＋1－A22＝An＋1n＋1－1. ②∵Error!， ∴9.5≤n≤10.5， ∵n∈N*， ∴n＝10， ∴ ＝C2830＋C3031＝C 230＋C 131＝30 × 29 2 × 1 ＋31＝466. （3）①由 得 . , .化简整理得 ，解得 (舍去). . Cm n = ! !( )! n m n m− Cm n = ( 1)( 2) ( 1) ! n n n n m m − − − + 38 3 3 21C Cn n n n − ++ 38 3 3 21C Cn n n n − ++ ②由题意知Error!或 ，解得 x＝4 或 6. 【名师点睛】（1）利用组合数公式解题时，要注意有关限制条件： ，且 . （2）应用排列数公式时应注意以下几个方面： ①准确展开：应用排列数公式展开时要注意展开式的项数要准确． ②合理约分：若运算式是分式形式，则要先约分后计算． ③合理组合：运算时要结合数据特点，应用乘法的交换律、结合律，进行数据的组合，提公因式化简， 可以提高运算的速度和准确性． 2．组合数性质的应用 （1）性质“Cmn＝Cn－mn ”的意义及作用． （2）与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要 注意由 C mn中的 m∈ ，n∈ ，且 n≥m 确定 m，n 的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题 意． 【例 2】（1）计算：C58＋C 98100·C77； （2）计算：C05＋C15＋C25＋C35＋C45＋C55； （3）证明下列各等式： ①Cmn＝n mCm－1n－1； ②Cmn＝m＋1 n＋1Cm＋1n＋1； ③C0n＋C 1n＋1＋C 2n＋2＋···＋C m－1n＋m－1＝Cm－1n＋m. 【答案】（1）5006；（2）32；（3）见解析. 【解析】（1）原式＝C38＋C 2100×1＝8 × 7 × 6 3 × 2 × 1＋100 × 99 2 × 1 ＝56＋4950＝5006. （2）原式＝2(C05＋C15＋C25)＝2(C16＋C25)＝2×(6＋5 × 4 2 × 1)＝32. （3）①右边 =Cmn=左边， ∴原式成立. 14 (2 4) 2 4 14 14 x x x x = − −  − ≤  ≤ ,m n ∗∈N m n≤ *N *N ( 1)! ! ! ( 1)![( 1) ( 1)]! [ ( 1)!]( )! !( )! n n n n m m n m m m n m m n m −= ⋅ = =− − − − ⋅ − − − ③左边＝(C 0n＋1＋C 1n＋1)＋C 2n＋2＋C 3n＋3＋···＋C m－1n＋m－1＝(C 1n＋2＋C 2n＋2)＋C 3n＋3＋···＋C m－1n＋m－1 ＝(C 2n＋3＋C 3n＋3)＋···＋C m－1n＋m－1＝(C 3n＋4＋C 4n＋4)＋···＋C m－1n＋m－1＝···＝C m－2n＋m－1＋C m－1n＋m－1＝Cm－1n＋m＝右边， ∴原式成立． 【名师点睛】组合数公式①体现了组合数与相应排列数的关系，一般在计算具体的组合数时会用到. 组合数公式②的主要作用有：计算 m，n 较大时的组合数；对含有字母的组合数的式子进行变形和证明. 3．排列的应用 解排列应用题的基本思路： 实际问题→排列问题→求排列数→解决实际问题． 通过审题，找出问题中的元素是什么，是否与顺序有关，有无特殊限制条件(特殊位置，特殊元素)． 【例 3】（无限制条件的排列问题）利用 1,2,3,4 这四个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ （用数字作答）. 【答案】24. 【解析】这是从 1,2,3,4 这四个数字中，任意选出三个数字排成一排，有多少种排法的排列问题，故有 =4×3×2=24 种排法，即可以组成 24 个没有重复数字的三位数. 【技巧点拨】没有限制条件的排列问题,即对所排列的“元素”或所排列的“位置”没有特别的限制,这一类题 相对简单,分清“元素”和“位置”即可. 【例 4】（元素相邻问题）有 3 名女生、4 名男生站成一排，女生必须相邻，男生也必须相邻，则不同的 排法种数为 A．12 B．24 C．144 D．288 【答案】D 【解析】第 1 步,把 3 名女生作为一个整体，看成一个元素，4 名男生作为一个整体，看成一个元素，两 个元素排成一排有 种排法； 第 2 步,对男、女生“内部”分别进行排列，女生“内部”的排法有 种，男生“内部”的排法有 种. 故符合题意的排法共有 · · =288 种. 3 4A 2 2A 3 3A 4 4A 2 2A 3 3A 4 4A 【技巧点拨】解决相邻问题的方法是“捆绑法”，其模型为将 n 个不同元素排成一排，其中某 个元素排在 相邻位置上，求不同排法种数的方法是：先将这 个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同 其他元素一起排列，共有 种排法;然后再将“捆绑”在一起的元素“内部”进行排列，共有 种排法. 根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有 种.学 = 【例 5】（元素不相邻问题）5 位母亲带领 5 名儿童站成一排照相，儿童不相邻的站法有 A．86400 种 B．14400 种 C．720 种 D．120 种 【答案】A 【技巧点拨】解决不相邻问题的方法为“插空法”，其模型为将 n 个不同元素排成一排，其中某 个元素互 不相邻(≤n− +1)，求不同排法种数的方法是：先将(n− )个元素排成一排,共有 种排法;然后把 个元素 插入 n− +1 个空隙中，共有 种排法.根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有 · 种. 【例 6】（定位、定元问题）6 名同学排成 1 排照相,要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边，共有 多少种不同站法？ 【答案】480. 【解析】方法一(位置分析法)：先从其他 5 人中安排 2 人站在最左边和最右边,再安排余下 4 人的位置,分 为两步: 方法二(元素分析法)：先安排甲的位置(既不站在最左边又不站在最右边),再安排其他 5 人的位置,分为两 步: 第 1 步,将甲排在除最左边、最右边外的任意位置上,有 种站法； 1 1An k n k − + − + Ak k 1 1A Akn k n k k − + − + ⋅ An k n k − − 1Ak n k− + An k n k − − 1Ak n k− + 1 4A 第 2 步,余下 5 人站在剩下的 5 个位置上,有 种站法. 由分步乘法计数原理可知,共有 =480 种不同站法. 【技巧点拨】定位、定元的排列问题，一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的元素通常称为特 殊元素，被限制的位置称为特殊位置.这一类问题通常以三种途径考虑： （1）以元素为主考虑，这时，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，再安排其他元素； （2）以位置为主考虑，这时，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置，再考虑其他位置； （3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数. 【例 7】（数字排列问题）用 0、1、2、3、4、5 这六个数字组成无重复数字的整数，求满足下列条件的 数各有多少个. （1）六位奇数； （2）能被 5 整除的四位数； （3）比 210435 大的六位数． 【答案】（1）288；（2）108；（3）453. 【解析】（1）先排个位，个位数字只能从 1,3,5 中选有 3 种方法； 再排首位，首位不能为 0，故还有 4 个数字可选，有 4 种方法； 最后排中间四位，没有其他附加条件，排法数为 4！， 由分步乘法计数原理知，共有不同排法种数为 3×4×4！＝288 个． （2）能被 5 整除，个位只能是 0 或 5，个位是 0 时，没有其他附加条件，其他三个数位排法有 A 35种； 个位是 5 时，首位排法有 4 种，再排十位与百位，有 A 24种，∴个位是 5 的有 4A 24种， 由分类加法计数原理知共有 A35＋4A24＝108 个． （3）①首位是 4、3、5 时满足要求，有 3×A 55个； ②首位是 2 时，当万位是 4、3、5 时满足要求，有 3×A 44个；当万位是 1 时，千位是 4、3、5 时满足要 求，有 3×A 33个； 当首位为 2，万位是 1，千位是 0 时，若百位是 5，有 A 22个，若百位是 4，则十位为 5，只有 1 个． 由分类加法计数原理知，共有比 210435 大的六位数 3A55＋3A44＋3A33＋A22＋1＝453 个． 【技巧点拨】数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项 （1）解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在 某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则， 即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分 5 5A 1 4A 5 5A 类讨论． （2）常用方法：直接法、间接法． （3）注意事项：解决数字问题时，应注意题干中的限制条件，恰当地进行分类和分步，尤其注意特殊元 素“0”的处理． 4．组合的应用 【例 8】（无限制条件的组合问题）某书店有 11 种杂志，2 元 1 本的 8 种，1 元 1 本的 3 种.小张用 10 元 钱买杂志（每种至多买一本，10 元钱刚好用完），则不同买法的种数是.（用数字作答） 【答案】266 故共有 + · =266 种不同买法. 【技巧点拨】解简单的组合应用题时，要先判断它是不是组合问题，若取出的元素只是组成一组，与顺 序无关则是组合问题；若取出的元素排成一列，与顺序有关则是排列问题．只有当该问题能构成组合模 型时，才能运用组合数公式求出其种数．在解题时还应注意两个计数原理的运用，在分类和分步时，注 意有无重复或遗漏． 【例 9】（有限制条件的组合问题）某医院从 10 名医疗专家中抽调 6 名赴灾区救灾，其中这 10 名医疗 专家中有 4 名是外 专家．问： （1）抽调的 6 名专家中恰有 2 名是外 专家的抽调方法有多少种？ （2）至少有 2 名外 专家的抽调方法有多少种？ （3）至多有 2 名外 专家的抽调方法有多少种？ 【答案】（1）90；（2）185；（3）115. 【解析】（1）分步：首先从 4 名外 专家中任选 2 名，有 C 24种选法，再从除外 专家的 6 人中选取 4 名， 有 C 46种选法，所以共有 C24·C46＝90 种抽调方法． 5 8C 4 8C 2 3C 根据分类加法计数原理，共有 C24·C46＋C34·C36＋C44·C26＝185 种抽调方法． 解法二(间接法)：不考虑是否有外 专家，共有 C 610种选法，考虑选取 1 名外 专家参加，有 C14·C 56种选法； 没有外 专家参加，有 C 66种选法， 所以共有 C 610－C14·C56－C55＝185 种抽调方法． （3）“至多 2 名”包括“没有”、“有 1 名”、“有 2 名”三种情况，分类解答． ①没有外 专家参加，有 C 66种选法； ②有 1 名外 专家参加，有 C14·C 56种选法； ③有 2 名外 专家参加，有 C24·C 46种选法． 所以共有 C66＋C14·C56＋C24·C46＝115 种抽调方法． 【技巧点拨】（1）解有限制条件的组合问题与解有约束条件的排列问题的方法一样，都是遵循“谁特殊 谁优先”的原则，在此前提下，或分类或分步或用间接法. （2）要正确理解题中的关键词（如“都”与“不都”,“至少”与“至多”，“含”与“不含”等）的确切含义，正确 分类，合理分步. 【例 10】（几何中的组合问题）在同一个平面内有一组平行线共 8 条，另一组平行线共 10 条，这两组 平行线相互不平行，则它们共能构成________个平行四边形. 【答案】1 260 【解析】第一组中每两条与另一组中的每两条直线均能构成一个平行四边形，故共有 C28C 210＝1 260(个)． 【技巧点拨】要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，寻找一个组合的模型加以处理．处理几 何中的计数问题时要抓住“对应关系”，如不共线三点对应一个三角形，不共面四点可以确定一个四面体 等．可借助于图形思考问题，要善于利用几何的有关性质或特征解题，避免重复或遗漏． 【例 11】（排列、组合的综合问题）有五张卡片，它们的正、反面分别写着 0 与 1、2 与 3、4 与 5、6 与 7、8 与 9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？ 【答案】432. 第三类：0 和 1 都不取，有不同的三位数 C34·23·A 33个． 综上所述，不同的三位数共有 C14·C12·C13·22＋C24·22·A33＋C34·23·A33＝432 个． 方法二：任取三张卡片可以组成不同的三位数 C35·23·A 33个，其中 0 在百位的有 C24·22·A 22个，这是不合题 意的，故不同的三位数共有 C35·23·A33－C24·22·A22＝432 个． 【技巧点拨】（1）解决排列、组合的综合应用题时注意以下三点： ①仔细审题，判断是排列问题还是组合问题，或者是二者的混合，要按元素的性质分类，按事件发生的 过程分步； ②深入分析，严密周详．注意分清是乘还是加，既不少也不多； ③对于有限制条件的比较复杂的排列、组合问题，要通过分析设计出合理的方案，把复杂问题分解成若 干简单的基本问题后应用分类加法计数原理或分步乘法计数原理来解决． （2）解决排列与组合的综合问题时,应遵循三大原则： ①先特殊后一般； ②先组合后排列； ③先分类后分步. 5．对特殊元素考虑不周致误 【例 12】4 名运动员参加 4×100 接力赛，根据平时队员训练的成绩，甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒， 则不同的出场顺序有 A．12 种 B．14 种 C．16 种 D．24 种 【错解】若不考虑限制条件，4 名队员全排列共有 A44＝24 种排法，甲跑第一棒有 A33＝6 种，乙跑第四棒 有 A33＝6 种，故一共有 A44－A33－A33＝12 种． 【错因分析】解答过程中，排除甲跑第一棒和乙跑第四棒，两次都减去了甲跑第一棒且乙跑第四棒的情 况导致了错误结论 A44－2A33＝12. 【正解】用排除法，若不考虑限制条件，4 名队员全排列共有 A44＝24 种排法，减去甲跑第一棒有 A33＝6 种排法，乙跑第四棒有 A33＝6 种排法，再加上甲在第一棒且乙在第四棒有 A22＝2 种排法，共有 A44－2A33＋ A22＝14 种不同的出场顺序．故选 B． 【答案】B 【易错警示】解决此类问题一定要不重不漏． 6．忽略排列的有序性致误 【例 13】8 人站成前后两排,每排 4 人,其中甲、乙两人必须在前排,丙在后排,则共有种排法. : | ] 【错解】错解 1：甲、乙两人在前排,前排还少 2 人,有 种排法；丙在后排,有 种排法,故共有 · =120 种排法. 错解 2：甲、乙两人在前排,有 种排法,再从余下 5 人（不含丙）中选 2 人排在前排,有 种排法；其 余 4 人(含丙)在后排,有 种排法,故共有 · · =960 种排法. 【错因分析】甲、乙两人在前排,但甲、乙位置不能确定,需对甲、乙两人位置排列.同样地,丙在后排,丙的 位置也不能确定,后排 4 人位置需排列. 【正解】先排甲、乙,有 种排法,再排丙,有 种排法,其余 5 人有 种排法, 故共有 =5 760 种排法. 【答案】5 760 【易错警示】排列问题中，若对元素的位置没有要求，则各元素间是有顺序之分的，解题中要时刻把握 这一“原则”.学 8 7．重复计数与遗漏计数致误 【例 14】有甲、乙、丙 3 项任务，任务甲需要 2 人承担，任务乙、丙各需要 1 人承担，从 10 人中选派 4 人承担这 3 项任务，不同的选法共有种(用数字作答). 【错解】错解 1：分三步完成： 第 1 步,从 10 人中选出 4 人，有 种方法. 第 2 步,从这 4 人中选出 2 人承担任务甲，有 种方法. 第 3 步,剩下的 2 人分别承担任务乙、丙，有 种方法. 根据分步乘法计数原理，不同的选法共有 =5 040 种. 错解 2：分三步完成，不同的选法共有 =1 260 种. 2 5A 3 3A 2 5A 3 3A 2 2A 2 5A 4 4A 2 2A 2 5A 4 4A 2 4A 1 4A 5 5A 2 4A 1 4A 5 5A 4 10C 2 4A 2 2A 4 10C 2 4A 2 2A 4 10C 2 4C 2 2C 【错因分析】错解一中对“排列”“组合”两个概念掌握不准确.承担任务甲的两人与顺序无关，此处应是组 合问题，即 应为 . 错解二中剩下的 2 人承担任务乙、丙，这与顺序有关，此处应是排列问题，即 应为 . 【正解】正解 1：先从 10 人中选出 2 人承担任务甲；再从余下 8 人中选出 1 人承担任务乙；最后从剩下 的 7 人中选出 1 人承担任务丙. 根据分步乘法计数原理，不同的选法共有 =2 520 种. 正解 2：先从 10 人中选出 2 人承担任务甲；再从余下 8 人中选出 2 人分别承担任务乙、丙. 根据分步乘法计数原理，不同的选法共有 =2 520 种. 【答案】2 520 【易错警示】计数问题中，首先要分清楚是排列问题还是组合问题，即看取出的元素是“合成一组”还是“排 成一列”，不能将二者混淆，若将排列问题误认为是组合问题，会导致遗漏计数，反之，会导致重复计数. 8．不能正确分堆与分配致误 【例 15】有 12 本不同的书，分成 4 堆. （1）若每堆 3 本，有几种方法？ （2）若 4 堆依次为 1 本，3 本，4 本，4 本，有几种分法？ （3）若 4 堆依次为 1 本，2 本，3 本，6 本，有几种分法？(只要求列出算式) 【错解】（1）若每堆 3 本，有 C 312C39C36C 33种分法. （2）若 4 堆依次为 1 本，3 本，4 本，4 本，有 C 112C 311C48C 44种分法. （3）若 4 堆依次为 1 本，2 本，3 本，6 本，有 C 112C 211C39C 66种分法． 【错因分析】A、B、C、D 四本书平均分为两堆，只有 AB，CD；AC，BD；AD，BC 三种分法，而 C24·C 22＝6，显然计数错误，原因是先从 4 本书中选取 AB，再取 CD 和先取 CD，再取 AB 是同一种分法，上述 错解犯了相同的错误． 【正解】（1）若每堆 3 本，有C 312·C39·C36·C33 A44 种分法． （2）若 4 堆依次为 1 本，3 本，4 本，4 本，有C 112C 311C48C44 A22 种分法． （3）若 4 堆依次为 1 本，2 本，3 本，6 本，有 C 112C 211C39C 66种分法． 【易错警示】（1）分堆与分配问题 将一组 n 个不同元素平均分给 A、B、C 等不同的单位，每个单位 m 个，可先从 n 个不同元素中选取 m 个给 A，再从剩下的 n－m 个不同元素中选取 m 个给 B，…，依次类推，不同方法种数为 CmnC mn－m···C mm 2 4A 2 4C 2 2C 2 2A 2 10C 1 8C 1 7C 2 10C 2 8A 个；将一组 n 个不同元素平均分成 堆，每堆 m 个，由于某 m 个元素先选和后选分堆结果是一样的，故 不同分堆方法数为Cmn·C mn－m·…·Cmm k！ . （2）相同元素分配，每单位至少含有一个元素，可用插板法；相同元素分组，按元素最多的组分类，用 数数法． 1．若 n∈ 且 n<20，则(27－n)(28－n)···(34－n)等于 A．A 827－n B．A27－n34－n C．A 734－n D．A 834－n 2．计算 C34＋C35＋C36＋···＋C 32016的值为 A．C 42017 B．C 52017 C．C 42017－1 D． 3．从 1、2、3、4 中任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标，则组成不同点的个数为 A．2 B．4 C．12 D．24 4．下列问题： ①从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动，其中一名同学参加上午的活动，另一名同学参加下 午的活动； ②从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动； ③从 a，b，c，d 四个字母中取出 2 个字母； ④从 a，b，c，d 四个字母中取出 2 个字母，然后按顺序排列成一列； ⑤从集合 A＝{a，b，c，d，e}的子集中取出含有 3 个元素的子集； 其中是排列问题的有 A．1 个　　　　　 B．2 个 C．3 个 D．4 个 5．安排 7 名志愿者中的 6 人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排 3 人，则不同的安排方案共 *N 5 2017C 1− 有________种．(用数字作答) 6．若 C4n>C6n，则 n 的取值集合是______. 7．解方程：3Cx－7x－3＝5A 2x－4. 8．解答下列问题：（用式子表示） （1）8 个人排成一排，共有多少种不同的排法？ （2）8 个人排成两排，前后两排各 4 人共有多少种不同的排法？ （3）8 个人排成两排，前排 3 人，后排 5 人，共有多少种不同的排法？ 9．某公司新招聘 8 名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一部门， 另外三名电脑编程人员也不能全分在同一部门，则不同的分配方案共有 A．24 种 B．36 种 C．38 种 D．108 种 10．6 名同学排成一排，其中甲、乙两人必须在一起的不同排法共有 A．720 种 B．360 种 C．240 种 D．120 种 11．某班组织文艺晚会，准备从 A，B 等 7 个节目中选出 3 个节目演出，要求 A，B 两个节目中至少有一个 被选中，且 A，B 同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的种数为 A．84　 B．72 C．76　 D．130 12．5 名志愿者分到 3 所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有 A．150 种　 B．180 种　 C．200 种　　 D．280 种 13．从 1 到 9 的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问： （1）能组成多少个没有重复数字的七位数？ （2）在（1）中的七位数中三个偶数排在一起的有几个？ （3）在（1）中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？ （4）在（1）中任意两偶然都不相邻的七位数有几个？ （答题要求：先列式，后计算, 结果用具体数字表示．） 14．5 名师生站成一排照相留念，其中教师 1 人，男生 2 人，女生 2 人. （1）求两名女生相邻而站的概率； （2）求教师不站中间且女生不站两端的概率. 15．（2017 年高考新课标 II 卷）安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成， 则不同的安排方式共有 A．12 种 B．18 种 C．24 种 D．36 种 16．（2016 年高考四川卷）用数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 A．24 B．48 C．60 D．72 17．（2017 年高考浙江卷）从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人 服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有______种不同的选法．（用数字作答） 18．（2017 年高考天津卷）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶 数的四位数，这样的四位数一共有___________个．（用数字作答） 1 2 3 4 9 10 11 12 15 16 D C C B B C D A D D 1．【答案】D 【解析】由排列数公式定义知，上式＝A 834－n，故选 D． 【名师点睛】恰当选择组合数的性质进行求值、解方程与解不等式．学/ .. 3．【答案】C 【解析】本题相当于从 4 个元素中取 2 个元素的排列，即 ＝12.故选 C. 4．【答案】B 【解析】①④是排列，②③⑤是组合，故选 B． 【名师点睛】区分一个问题是排列问题还是组合问题，关键是看它有无“顺序”，有顺序就是排列问题， 而无顺序就是组合问题．而要判断它是否有顺序的方法是：先将元素取出来，看交换元素的顺序对结果 有无影响，有影响就是“有序”，也就是排列问题；没有影响就是“无序”，也就是组合问题． 5．【答案】140 【解析】第一步安排周六有 C 37种方法，第二步安排周日有 C 34种方法，所以不同的安排方案共有 C37C34＝ 140 种． 6．【答案】{6,7,8,9} 【解析】∵C4n>C6n，∴ ，∴n2－9n－10<0，∴－1− − ( 3)! ( 4)!3 5( 7)!4! ( 6)! x x x x − −⋅ = ⋅− − 3( 3) 4! x − （3）同（2）的分析可知，共有 A38×A55＝A88(种)． 【名师点睛】（1）解决排列应用问题的步骤： ①分清问题是否与元素的顺序有关，若与顺序有关则是排列问题． ②注意对元素或位置有无特殊要求． ③借助排列数公式计算． （2）无限制条件的排列问题，主要根据排列数的定义及分步乘法计数原理解决．n 人排队或 n 个元素排 成若干排的问题，可采用排成一排的方法，也可用乘法原理分步进行． 9．【答案】B 【解析】按电脑编程人员的分配方案进行分类： 第一类：电脑编程人员分给甲部门 1 人，另 2 人去乙部门，有 C13·C12·C23＝18 种； 第二类：电脑编程人员分给甲部门 2 人，另 1 人去乙部门，有 C23·C12·C13＝18 种． ∴共有不同分配方案 18＋18＝36 种．选 B. 【名师点睛】解简单的组合应用题时，要先判断它是不是组合问题，若取出的元素只是组成一组，与顺 序无关则是组合问题；若取出的元素排成一列，与顺序有关则是排列问题．只有当该问题能构成组合模 型时，才能运用组合数公式求出其种数．在解题时还应注意两个计数原理的运用，在分类和分步时，注 意有无重复或遗漏． 10．【答案】C 【解析】因甲、乙两人要排在一起，故将甲、乙两人捆在一起视作一人，与其余四人全排列共有 A 55种 排法，但甲、乙两人之间有 A 22种排法，由分步乘法计数原理可知：共有 A55·A22＝240 种不同的排法， 故选 C． 【名师点睛】（1）解排列应用题的基本思路 实际问题→排列问题→求排列数→解决实际问题． 通过审题，找出问题中的元素是什么，是否与顺序有关，有无特殊限制条件(特殊位置，特殊元素)． （2）相邻元素捆绑法．如果所给问题中要求某 n 个元素必须相邻，可将这 n 个元素先排好，然后将其 整体看作一个元素参与排列．学 2 11．【答案】D 故不同演出顺序的种数为 120＋10＝130，故选 D． 12．【答案】A 【解析】人数分配上有 1、1、3 与 1、2、2 两种方式，若是 1,1,3，则有C35C12C11 A22 ×A33＝60 种，若是 1、2、 2，则有C15C24C22 A22 ×A33＝90 种，所以共有 60+90=150 种，故选 A． 13．【答案】（1）100800;（2）14400;（3）5760;（4）28800.[ : _xx_ ] 【解析】（1）先选后排，分别选完三个偶数四个奇数再排列，则共有 个． （2）先选后排，分别选完三个偶数四个奇数再排列，三个偶数相邻，所以三个偶数捆绑有 种情况， 再和另四个奇数一起进行全排列有 个． （3）先选后排，分别选完三个偶数四个奇数再排列，三个偶数相邻，所以三个偶数捆绑有 种情况， 四个奇数捆绑有 种情况，两个作为整体再进行全排列，共有 个． （4）先从 5 个奇数当中选 4 个进行全排列，再从 4 个偶数当中选 3 个，在五个空档中选 3 个插入，共 有 个．[ :学 ] 【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.常用的方法 技巧有：对于特殊元素或位置“优先法”；对于不相邻问题，采用“插空法”；对于相邻问题，采用“捆绑 法”；对于正面做比较困难时，常采用“间接法”.对于本题，从 1 到 9 的九个数字中，有奇数 1，3，5， 7，9 共五个，偶数 2，4，6，8 共四个，取三个偶数四个奇数共七个数，所以先选后排，同时注意每种 选法的限制条件.（1）是先选后排，选后纯排列问题；（2）是相邻问题捆绑法；（3）是两个相邻问题 捆绑法；（4）是不相邻问题插空法. 14．【答案】（1） ；（2） . 【解析】5 名师生站成一排照相留念共有 种站法， （2）记“教师不站中间且女生不站两端”为事件 ， 事件 分两类： 3 4 7 4 5 7C C A 100800= 3 3A 3 4 5 3 4 5 5 3C C A A 14400= 3 3A 4 4A 3 4 3 4 2 4 5 3 4 2C C A A A 5760= 4 3 3 5 4 5A C A 28800= 2 5 4 15 5 5A 120= B B ①教师站两侧之一，另一侧由男生站，有 种站法； ②两侧全由男生站，教师站除两侧和正中外的另外 2 个位置之一，有 种站法， 所以，事件 有 种不同情况， 则 . 答：教师不站中间且女生不站两端的概率为 . 【名师点睛】本题主要考查元素有限制的排列问题，以及古典概型概率公式的应用，常见排列数的求 法为： （1）相邻问题采取“捆绑法”； （2）不相邻问题采取“插空法”； （3）有限制元素采取“优先法”； （4）特殊顺序问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数. 15．【答案】D 【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成 三份：有 种方法，然后进行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有 种．故选 D． 【名师点睛】（1）解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发 生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)， 再考虑其他元素(或位置)． （2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均 匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解． 16．【答案】D 【解析】由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为 1 或 3 或 5，其他位置共有 种 排法，所以奇数的个数为 ，故选 D. 17．【答案】660 1 1 3 2 2 3A A A 24= 2 1 2 2 2 2A A A 8= B 1 1 3 2 1 2 2 2 3 2 2 2A A A A A A 32+ = ( ) 32 4 120 15P B = = 4 15 2 4C 2 3 4 3C A 36× = 4 4A 4 43A 72= 足题意的选法有： （种）． 【名师点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合问 题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多 读题才能挖掘出隐含条件．解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类 计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．在某些特定问题上， 也可充分考虑“正难则反”的思维方式． 18．【答案】 【解析】 ． 【名师点睛】计数原理包含分类加法计数原理和分步乘法计数原理，本题中组成的四位数至多有一个 数字是偶数，包括四位数字有一个是偶数和四位数字全部是奇数两类，先利用分步乘法计数原理求每 一类中的结果数，然后利用分类加法计数原理求总的结果数． 4 1 1 4 1 1 8 4 3 6 4 3C C C C C C 660× × − × × = 1080 4 1 3 4 5 4 5 4A C C A 1080+ =