2020届二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业 (1)
集合、简易逻辑与不等式
一、单选题
1．已知直线l，m，其中只有m在平面α内，则“l∥α”是“l∥m”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当l∥α时，直线l与平面α内的直线m平行、异面都有可能，所以l∥m不成立；当l∥m时，又只有m在平面α内，根据直线与平面平行的判定定理知直线l∥α，即“l∥α”是“l∥m”的必要不充分条件，故选B．
2．例题：“，”的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】
【分析】
根据含量词命题的否定的形式可得结果.
【详解】
为命题的否定，则，
本题正确选项：
【点睛】
本题考查逻辑连接词中的“非”命题，即命题的否定，属于基础题.
3．已知命题直线过不同两点，命题直线的方程为，则命题是命题的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
当时，过不同两点的直线方程为，即 ，
又当时，直线为，也满足上式，
当时，直线为，也满足上式，
所以，过不同两点的直线方程为 .
反过来，直线的方程为 ，则当时，，所以直线过点同理，当时，，所以直线过点即直线过不同两点.
所以命题是命题的充要条件.
本题选择C选项.
4．已知集合,B={x|x<1},则A∩B=（ ）
A．{x|0
0}
C．{x|x>1} D．{x|x<1}
【答案】A
【解析】
试题分析：，，
故答案为A．
考点：集合的交集．
5．设,都是非零向量，下列四个条件，使成立的充要条件是
A． B．
C．且 D．且方向相同
【答案】D
【解析】
【分析】
根据向量平行的定义以及和向量同向的单位向量的定义，进行判断即可.
【详解】
表示与方向相同的单位向量，表示和同向的单位向量，因此成立则一定有：与平行且同向，反之，与同向则与两个向量各自同向的单位向量也是同向的.故和且方向相同，这两个条件是可以互相推导出来的.
故选D．
【点睛】
判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
6．在中，角、、所对应的变分别为、、，则是的（ ）
A．充分必要条件 B．充分非必要条件
C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
利用三角形中大角对大边、正弦定理边角互化，结合充分条件与不要条件的定义可得结果.
【详解】
由正弦定理得（其中为外接圆的半径），
则，，
，
因此是的充分必要必要条件，故选A.
【点睛】
本题主要考查正弦定理的应用、充分必要条件的判定，属于中等题. 判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.
7．已知集合，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
因为，所以，应选答案D。
8．已知集合，且，则满足条件的集合的个数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：因为，所以中有没有，故可能性有共四种.
考点：子集，交集．
【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.
9．下列命题中，正确的一个是 （ ）
A．
B．
C．若成立的必要不充分条件，则 成立的充分不必要条件
D．若，则
【答案】C
【解析】
试题分析：即解得：无解，所以不存在符合条件的，A错误；当时，，不符合题意，所以B错误；C正确；当时，不符合题意，所以D错误.综上答案为C.
考点：1.排除法；2.特殊值法；3.命题.
10．已知集合，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
分别解集合A、B中的不等式，再求两个集合的交集
【详解】
集合，
集合，所以，
选择C
【点睛】
进行集合的交、并、补运算前，要搞清楚每个集合里面的元素种类，以及具体的元素，再进行运算
11．“”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
，充分不必要条件是其真子集，所以只有满足条件，故选B.
12．设为中的三边长，且，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由，则，再根据三角形边长可以证得，再利用不等式和已知可得，进而得到，再利用导数求得函数的单调性，求得函数的最小值，即可求解．
【详解】
由题意，记，又由，
则
，
又为△ABC的三边长，
所以，所以，
另一方面，
由于，所以，
又，
所以，
不妨设，且为的三边长，所以．
令，则，
当时，可得，从而，
当且仅当时取等号．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了解三角形，综合了函数和不等式的综合应用，以及基本不等式和导数的应用，属于综合性较强的题，难度较大，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于难题．
二、填空题
13．不等式组的解集是，那么的值等于 ．
【答案】1
【解析】
试题分析：
考点：一元二次不等式解法
14．有下列命题：①“四边相等的四边形是正方形”的否命题；②“梯形不是平行四边形”的逆否命题；③“全等三角形是相似三角形”的逆命题．其中真命题是________.
【答案】 ①②
【解析】
【分析】
写出否命题然后判断真假，②写出逆否命题然后判断真假，③写出逆命题然后判断真假.
【详解】
①否命题为“四边不全相等的四边形不是正方形”，是真命题；
②逆否命题为“平行四边形不是梯形”，是真命题；
③逆命题为“相似三角形是全等三角形”，是假命题．
故答案为：①②
【点睛】
本题考查命题四种形式以及真假判断，注意命题的否定与否命题区别.
15．记[x]为不超过实数x的最大整数，例如，[2]＝2，[1.5]＝1，[－0.3]＝－1.设a为正整数，数列{xn}满足x1＝a，xn＋1＝ (n∈N*)．现有下列命题：
①当a＝5时，数列{xn}的前3项依次为5,3,2；
②对数列{xn}都存在正整数k，当n≥k时总有xn＝xk；
③当n≥1时，xn＞－1；
④对某个正整数k，若xk＋1≥xk，则xk＝[]．
其中的真命题有________．
【答案】①③④
【解析】
①当 时， ，
该说法正确；
②当 时，
该数列是从第三项开始为 的摆动数列，该说法错误；
③当 时， ，
则： 成立；
假设 时， ，
当 时， ，而：
，当且仅当 时等号成立.
故： ，
对于任意的正整数n，当 时， ，该说法正确；
④ ，由①②的规律可得 一定成立.
综上可得，真命题有①③④.
16．中的满足约束条件，则的最小值是__________．
【答案】
【解析】
将化为，故的几何意义即为直线在轴上的截距，划出点满足的可行域，通过平移直线可知，直线过点
时，直线轴上的截距最小，此时也就有最小值，故答案为.
【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
三、解答题
17．命题p：的定义域为R；命题q：方程表示焦点在y轴上的双曲线．
若命题p为真，求实数m的取值范围；
若“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求实数m的取值范围．
【答案】（1）；（2），．
【解析】
【分析】
命题p为真命题等价不等式恒成立，进行求解即可．根据复合命题真假关系，判断p，q的真假即可．
【详解】
解：若命题p为真，则，为真，
．
若命题q为真，则 ，
又“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，
是真命题且q是假命题，或p是假命题且q是真命题
或，
，或，
的取值范围是，．
【点睛】
本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件求出命题p，q为真命题的等价条件是解决本题的关键．
18．已知p：方程2x2-2mx＋1=0有两个不相等的负实根；q：存在x∈R，
x2＋mx＋1<0．若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围．
【答案】－2≤m<－或m>2．
【解析】
试题分析：先化简p、q两个命题，再根据p或q为真，p且q为假知，p真q假或p假q真，联立不等式求解．
试题解析：若p为真，则m<－，若q为真，则m>2或m<－2，
由p或q为真p且q为假，得p真q假或p假q真，
故或∴－2≤m<－或m>2．
考点：1、复合命题真假判定；2、二次函数、二次不等式相关知识．
19．已知命题：复数z1=3−3i，复数z2=m2−4m−10m+2+(m2−2m−12)i,(m∈R)，z1+z2是虚数；命题：关于x的方程2x2−4(m−1)x+m2+7=0的两根之差的绝对值小于2；若P∧Q为真命题，求实数m的取值范围.
【答案】m的取值范围为(2−11,−1]∪(5,2+11).
【解析】
试题分析：对于P，z1+z2=m2−m−4m+2+(m2−2m−15)i为虚数的条件是m2−2m−15≠0且m≠−2，然后将m的范围求出来；对于Q，利用二次方程根与系数的关系并结合不等式|x1−x2|<2⇒(x1+x2)2−4x1x2<4求解出m的取值范围；由P∧Q为真命题可知，P、Q都为真命题，故求出P、Q为真时的m的取值范围的集合的交集即可.
试题解析：由题意知，z1+z2=m2−4m−10m+2+(m2−2m−12)i+3−3i
=m2−m−4m+2+(m2−2m−15)i2分
若命题P为真，z1+z2是虚数，则有m2−2m−15≠0且m≠−2
所以m的取值范围为m≠5且m≠−3且m≠−2(m∈R)4分
若命题Q为真，则有Δ=16(m−8(m2+7)≥0|x1−x2|<2⇒(x1−4x1x2<47分
而x1+x2=2(m−1),x1x2=m2+7
所以有m2−4m−5≥0m2−4m−7<0⇒2−11
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