【数学】2019届一轮复习人教A版数列与函数、不等式相结合问题学案

【数学】2019届一轮复习人教A版数列与函数、不等式相结合问题学案

一．方法综述 ‎ 数列与函数、不等式相结合是数列高考中的热点问题，难度较大，求数列与函数、不等式相结合问题时会渗透多种数学思想.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强，但万变不离其宗，只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题，如数列中的恒成立问题、数列中的最值问题、数列性质的综合问题、数列与函数的综合问题、数列与其他知识综合问题中都有所涉及，本讲就这类问题进行分析.‎ 二．解题策略 类型一 数列中的恒成立问题 ‎【例1】【2018河南省豫南豫北联考二】数列满足，若对，都有成立，则最小的整数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 又对，都有成立，‎ ‎∴.故最小的整数是5.选C.‎ ‎【答案】C ‎ ‎【指点迷津】对于数列中的恒成立问题，仍要转化为求最值的问题求解，解答本题的关键是如何对求和，根据题目的条件经过变形得到，可利用列项相消求和，在求得数列和的基础上可得到 的取值范围，解题时要注意等号是否可以取得.学 ‎ ‎【举一反三】【2017陕西洛南永丰中学高三月考】已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对任意恒成立，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A 类型二 数列中的最值问题 ‎【例2】【辽宁省葫芦岛第六高级中学 高三上学期第二次阶段（期中）】已知数列的前 项和且，对一切正整数都成立，记的前项和为，则数列中的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 当为奇数时， 随的增大而增大，所以 ‎ 当为偶数时， 随的增大而减小，所以 ‎ 综上，当时，总有 ‎ 故选A 学 ‎ ‎【答案】A ‎【指点迷津】本题利用数列的递推公式求解数列的通项公式及利用数列的单调性求解数列的和的最大项，在解题时需要一定的逻辑运算与推理的能力，其中根据的奇偶判断的单调性是解题的关键 ‎【举一反三】【2017届安徽省宣城市高三下学期第二次调研】设数列为等差数列， 为其前项和，若， ， ，则的最大值为（ ）‎ A. 3 B. 4 C. D. ‎ ‎【答案】B 类型三 数列性质的综合问题 ‎【例3】【福建省福州市闽侯第六中学 高三上学期期中考试】若数列满足 且，数列满足，则数列的最大项为第__________项．‎ ‎【解析】由，且，得，则， ，累加得， ，由 ‎，得，即， 数列的最大项为第项，故答案为.学 ‎ ‎【答案】6‎ ‎【指点迷津】本题主要考查已知数列的递推公式求通项以及数列最大项问题，属于难题题.由数列的递推公式求通项常用的方法有 （1）累加法（相邻两项的差成等差、等比数列）；累乘法（相邻两项的积为特殊数列）；（3）构造法，形如的递推数列求通项往往用构造法，即将利用待定系数法构造成的形式，再根据等比数例求出的通项，进而得出的通项公式.‎ ‎【举一反三】【福建省2017届高三4月单 质量检测】已知数列满足，则下列结论正确的是（ ）‎ A. 只有有限个正整数使得 B. 只有有限个正整数使得 C. 数列是递增数列 D. 数列是递减数列 ‎【答案】D 类型四 数列与函数的综合问题 ‎【例4】【陕西省西安市西北工业大学附属中学2017届高三下学期第七次模拟】已知函数的定义域为，当时，，且对任意的实数，等式成立，若数列满足，且，则下列结论成立的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【指点迷津】(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.‎ ‎(2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去“f”，即将函数值的大小转化自变量大小关系, 对称性可得到两个对称的自变量所对应函数值关系.‎ ‎【举一反三】【四川省内江市高中 高三第一次模拟】设，函数， ， ，…， ，曲线的最低点为， 的面积为，则 A. 是常数列 B. 不是单调数列 C. 是递增数列 D. 是递减数列 ‎【解析】根据题意得， …，‎ 类型五 数列与其他知识综合问题 ‎【例5】【安徽省巢湖市柘皋中学 高三上学期第三次月考】将向量组成的系列称为向量列，并定义向量列的前项和．若，则下列说法中一定正确的是（ ）‎ A. B. 不存在，使得 C. 对，且，都有 D. 以上说法都不对 ‎【解析】 由，则，所以数列构成首项为，公比为的等比数列，所以，又当时， ，学 ‎ 所以当，且时， 是成立的，故选C.‎ ‎【答案】C ‎【举一反三】【湖南省长沙市长郡中学 高三第三次月考】将正整数12分解成两个正整数的乘积有， ， 三种，其中是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称为12的最佳分解.当（且）是正整数的最佳分解时，我们定义函数，例如.数列的前100项和为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当为偶数时， ；当为奇数时， ， ，故答案为.学 ‎ ‎【例6】【福建省泉州市2017届高三高考考前适应性模拟（一）】斐波那契数列满足 .若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前项所占的格子的面积之和为，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为，则下列结论错误的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎ ,所以B正确；对于C, 时， ；C错误；对于D, ,D正确.故选C.‎ ‎【答案】C ‎【指点迷津】本题通过对多个命题真假的判断考察数列的各种性质及数学化归思想，属于难题.该题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题.‎ ‎【举一反三】【青海省西宁市2017届高三下学期复习检测一】如图所示，矩形的一边在轴上，另外两个顶点在函数的图象上.若点的坐标为，记矩形的周长为，则（ ）‎ A. 220 B. 216 C. 212 D. 208‎ ‎【答案】B 三．强化训练 ‎1．【2017届河北沧州市高三9月联考】已知函数的定义域为，当时，，对任意的，成立，若数列满足，且，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎ 2.【全国名校大联考2017-2018年度高三第三次联考】设函数是定义在上的单调函数，且对于任意正数有，已知，若一个各项均为正数的数列满足，其中是数列的前项和，则数列中第18项（ ）‎ A. B. 9 C. 18 D. 36‎ ‎【答案】C ‎【解析】对任意的正数均有且，又且 ，又是定义在上的单调增函数， ①，当时， ， ，当时， ②，①-②可得， ， 为等差数列， ， ，故选C.‎ ‎3.【贵州省遵义市遵义四中 高三第三次月考】已知，函数对任意有成立， 与的图象有个交点为， …，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎ 4.【河南省洛阳市 高三期中考试】用表示不超过的最大整数（如）.数列满足， （），若，则的所有可能值得个数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ 5.【四川省成都市第七中学2017届高三6月1日高考热身考试】已知等差数列中， ，满足，则等于（ ）‎ A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 ‎【答案】B ‎【解析】由题意得公差 ,即 ,代入验证得当 时成立,选B.‎ ‎6.【湖北省襄阳四中2017届高三下学期5月适应性考试】若数列， 的通项公式分别为， ，且对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 可得 ，若 是偶数，不等式等价于 恒成立，可得 ，若 是奇数，不等式等价于 ，即 ，所以 ，综上可得实数 的取值范围是 ，故选D．‎ ‎7.【河北省石家庄市第二中学2017届高三下学期模拟联考】某计算器有两个数据输入口，一个数据输出口，当分别输入正整数1时，输出口输出2，当输入正整数， 输入正整数时， 的输出是；当输入正整数， 输入正整数时， 的输出是；当输入正整数， 输入正整数时， 的输出是；当输入60， 输入50时， 的输出是____________.‎ ‎【答案】483‎ ‎ 8.【2017届天津市六校高三理上学期期中联考】已知数列满足 ，.若，，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. 学 ]‎ ‎【答案】D ‎ 9.【广东省深圳市高级中学 高三11月考】已知等比数列的公比为,且数列第11项的平方等于第6项,若存在正整数 使得,则 的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵数列第11项的平方等于第6项，‎ 即 ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴ ‎ 解得 ‎∴‎ 故 的取值范围是.‎ 答案 ‎ ‎10.【湖北省咸宁市 高三重点高中11月联考】已知数列的前项和为，且， ，则满足的最小的值为__________．‎ ‎【答案】9‎ ‎ ‎ ‎11.【江苏省常州市 高三上学期武进区高中数学期中】已知数列中， ，点列在内部，且与的面积比为，若对都存在数列满足，则的值为______.‎ ‎【答案】80‎ ‎【解析】在上取点，使得，则在线段上． ‎ ‎， ‎ ‎ 三点共线，学 ，即 ‎ ‎ [ 学 ]‎ 故答案为 80．‎ ‎12.【河南省郑州市第一中学 高三上学期期中】数列满足 ，若为等比数列，则首项的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎13.【黑龙江省大庆实验中学2017届高三仿真模拟】已知函数，点O为坐标原点，点，向量，θn是向量与的夹角，则使得 恒成立的实数t的取值范围为 ___________．[ 学 ]‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意得, 是直线OAn的倾斜角，则 ‎ ‎，据此可得 ‎ ‎ ‎ 结合恒成立的结论可得实数t的取值范围为.学 ‎ ‎14.【湖南省常德市2017届高三一模】已知数列中， ，数列满足 ，设为数列的前项和，当时有最小值，则的取值范围是____________.‎ ‎【答案】‎ 即 ，解得.‎ ‎ ‎