【数学】北京市房山区2020届高三上学期期末考试试题（解析版）

【数学】北京市房山区2020届高三上学期期末考试试题（解析版）

北京市房山区2020届高三上学期期末考试试题 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎2.已知复数，则的虚部为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.等差数列中，若，为的前项和，则（ ）‎ A. 28 B. ‎21 ‎C. 14 D. 7‎ ‎4.从年起，北京考生的高考成绩由语文、数学、外语门统一高考成绩和考生选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．等级性考试成绩位次由高到低分为、、、、，各等级人数所占比例依次为：等级，等级，等级，等级，等级．现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取人作为样本，则该样本中获得或等级的学生人数为（ ）‎ A. 55 B. ‎80 ‎C. 90 D. 110‎ ‎5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）‎ A. B. C. 2 D. 4‎ ‎6.若点在角的终边上，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.已知双曲线方程为，点，分别在双曲线的左支和右支上，则直线的斜率的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎8.设，均为单位向量，则“与夹角为”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 ‎ C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎9.如图，在正方体中，为棱的中点，动点在平面及其边界上运动，总有，则动点的轨迹为（ ）‎ A. 两个点 B. 线段 ‎ C. 圆的一部分 D. 抛物线的一部分 ‎10.已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排名．具体积分规则如表1所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表2．‎ 表1 田径综合赛项目及积分规则 项目 积分规则 米跑 以秒得分为标准，每少秒加分，每多秒扣分 跳高 以米得分为标准，每多米加分，每少米扣分 掷实心球 以米得分为标准，每多米加分，每少米扣分 表2 某队模拟成绩明细 姓名 ‎100米跑（秒）‎ 跳高（米）‎ 掷实心球（米）‎ 甲 乙 丙 丁 根据模拟成绩，该代表队应选派参赛的队员是：（ ）‎ A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。‎ ‎11.已知两点，，则以线段为直径的圆的方程为_____________．‎ ‎12. 函数f(x)＝(x＋1)(x－a)是偶函数，则f(2)＝________．‎ ‎13.已知数列满足，且其前项和满足，请写出一个符合上述条件的数列的通项公式 _______．‎ ‎14.已知，若的最小正周期为____，若对任意的实数都成立，则____.‎ ‎15.已知函数 ‎①当时，函数的值域是________；‎ ‎②若函数的图象与直线只有一个公共点，则实数的取值范围是__________．‎ ‎16.已知矩形中，，当每个取遍时，的最小值是_____，最大值是_______．‎ 三、解答题共6题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。‎ ‎17.如图，在平面四边形中，，，，，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求，的值.‎ ‎18.某贫困县在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展养茶业．该县农科所为了对比A，B两种不同品种茶叶的产量，在试验田上分别种植了A，B两种茶叶各亩，所得亩产数据（单位：千克）如下：‎ A：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，； ‎ B：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；‎ ‎（1）从A，B两种茶叶亩产数据中各任取1个，求这两个数据都不低于的概率；‎ ‎（2）从B品种茶叶的亩产数据中任取个，记这两个数据中不低于的个数为，求的分布列及数学期望；‎ ‎（3）根据以上数据，你认为选择该县应种植茶叶A还是茶叶B？说明理由．‎ ‎19.如图，在四棱锥中，平面，△为等边三角形，，，，分别为棱，的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；‎ ‎（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值，若不存在，说明理由．‎ ‎20.已知椭圆：的右焦点为，且经过点．‎ ‎（1）求椭圆的方程以及离心率；‎ ‎（2）若直线与椭圆相切于点，与直线相交于点．在轴是否存在定点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）求证：.‎ ‎22.设为给定不小于的正整数，考察个不同的正整数，，，构成的集合，若集合的任何两个不同的非空子集所含元素的总和均不相等，则称集合为“差异集合”．‎ ‎（1）分别判断集合，集合是否是“差异集合”；（只需写出结论）‎ ‎（2）设集合是“差异集合”，记，求证：数列的前项和；‎ ‎（3）设集合是“差异集合”，求的最大值．‎ 参考答案 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用交集定义直接求解．‎ ‎【详解】∵集合，B＝{0，1，2，3}，‎ ‎∴A∩B＝{0，1，2}．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎2.已知复数，则的虚部为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的代数形式的运算法则，先求出z，由此利用复数的定义能求出z的虚部．‎ ‎【详解】,故的虚部为 故选：B ‎【点睛】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数的代数形式的合理运用．‎ ‎3.等差数列中，若，为的前项和，则（ ）‎ A. 28 B. ‎21 ‎C. 14 D. 7‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列下角标性质求得，再利用求和公式求解 ‎【详解】等差数列中，若，则则 故选：C ‎【点睛】本题考查等数列的前n项公式，考查化简、计算能力，熟练运用等差数列下角标性质是关键，属于基础题．‎ ‎4.从年起，北京考生的高考成绩由语文、数学、外语门统一高考成绩和考生选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．等级性考试成绩位次由高到低分为、、、、，各等级人数所占比例依次为：等级，等级，等级，等级，等级．现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取人作为样本，则该样本中获得或等级的学生人数为（ ）‎ A. 55 B. ‎80 ‎C. 90 D. 110‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用抽样比求解 ‎【详解】设该样本中获得或等级的学生人数为，则 ‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查分层抽样的定义与应用，考查计算能力，是基础题 ‎5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）‎ A. B. C. 2 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将三视图还原，利用三棱锥体积公式求解 ‎【详解】三视图还原为如图所示的三棱锥：侧面底面，且为等腰三角形，为直角三角形，故体积 ‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查三视图及锥体体积，考查空间想象能力，是基础题 ‎6.若点在角的终边上，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出点M的坐标，再利用任意角的三角函数的定义求出tan 的值,再利用二倍角公式求解 ‎【详解】即为，‎ 则 ‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，以及二倍角公式，属于容易题．‎ ‎7.已知双曲线方程为，点，分别在双曲线的左支和右支上，则直线的斜率的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用直线的斜率与渐近线比较求解 ‎【详解】由题双曲线的渐近线斜率为，当直线的斜率为时，满足题意，当直线的斜率为时，交双曲线为同一支，‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查渐近线斜率，是基础题 ‎8.设，均为单位向量，则“与夹角为”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量数量积的应用，利用平方法求出向量夹角，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【详解】由“||平方得||2+||2+2•3，‎ 即1+1+2•3，得2•1，•，‎ 则cosθ，‎ 则与夹角θ，‎ 即“与夹角为”是“||”的充分必要条件，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义结合向量数量积的应用进行化简是解决本题的关键．‎ ‎9.如图，在正方体中，为棱的中点，动点在平面及其边界上运动，总有，则动点的轨迹为（ ）‎ A. 两个点 B. 线段 ‎ C. 圆的一部分 D. 抛物线的一部分 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先找到一个平面总是保持与垂直，取B1B的中点E，CB的中点F，连接AE，EF，在正方体ABCD﹣A1B‎1C1D1中，可得AF⊥面DMD1， MD1⊥平面AEF即可得出．‎ ‎【详解】如图，先找到一个平面总是保持与垂直，‎ 取B1B的中点E，CB的中点F，连接AE，EF，AF,在正方体ABCD﹣A1B‎1C1D1中，‎ 易证DM⊥AF，⊥AF，则有AF⊥面DMD1，同理MD1⊥AE，则MD1⊥平面AEF 又点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，‎ 根据平面的基本性质得：‎ 点P的轨迹为面AEF与面BCC1B1的交线段EF．‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查线面垂直的判定与正方体的几何特征、轨迹的求法、平面的基本性质等基础知识，考查空间想象力．属于基础题．‎ ‎10.已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排名．具体积分规则如表1所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表2．‎ 表1 田径综合赛项目及积分规则 项目 积分规则 米跑 以秒得分为标准，每少秒加分，每多秒扣分 跳高 以米得分为标准，每多米加分，每少米扣分 掷实心球 以米得分为标准，每多米加分，每少米扣分 表2 某队模拟成绩明细 姓名 ‎100米跑（秒）‎ 跳高（米）‎ 掷实心球（米）‎ 甲 乙 丙 丁 根据模拟成绩，该代表队应选派参赛的队员是：（ ）‎ A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得分规则计算甲乙丙丁四人各项得分进行判断即可 ‎【详解】由题，甲各项得分为：‎100米跑60-15=45分；跳高60+4=64；掷实心球60+15=75；则总分为45+64+75=184‎ 乙各项得分为：‎100米跑60+20=80分；跳高60+10=70；掷实心球60-5=55，则总分为80+70+55=205‎ 丙各项得分为：‎100米跑60+5=65分；跳高60+6=66；掷实心球60+10=70，则总分为65+66+70=201‎ 丁各项得分为：‎100米跑60-5=55分；跳高60+2=62；掷实心球60+5=65，则总分为55+62+65=182,综上，乙得分最多 故选：B ‎【点睛】本题考查数据分析及决策问题，理解题意是关键，是基础题 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。‎ ‎11.已知两点，，则以线段为直径的圆的方程为_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据中点坐标公式求圆心为（1，1），求两点间距离公式求AB的长并得出半径为，写出圆的标准方程即可．‎ ‎【详解】直径的两端点分别为（0，2），（2，0），‎ ‎∴圆心为（1，1），半径为，故圆方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．‎ 故答案为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．‎ ‎【点睛】在确定圆的方程时，选择标准方程还是一般方程需要灵活选择，一般情况下易于确定圆或半径时选择标准方程，给出条件是几个点的坐标时，两种形式都可以．此题选择标准形式较简单．‎ ‎12. 函数f(x)＝(x＋1)(x－a)是偶函数，则f(2)＝________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ 由f(－x)＝f(x)，得a＝1，∴f(2)＝3.‎ ‎13.已知数列满足，且其前项和满足，请写出一个符合上述条件的数列的通项公式 _______．‎ ‎【答案】或（答案不唯一）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断数列的特征，从数列的性质入手考虑解答．‎ ‎【详解】设数列{an}的前n项和为Sn，且∀n∈N*，an+1＞an，说明数列是递增数列；‎ ‎，说明数列项为负数；‎ 故数列的通项公式或（答案不唯一）‎ 故答案为：或（答案不唯一）‎ ‎【点睛】本题考查数列的性质，数列的应用，是基本知识的考查．‎ ‎14.已知，若的最小正周期为____，若对任意的实数都成立，则____.‎ ‎【答案】(1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用周期公式求解周期，利用函数取最大值得值 ‎【详解】由题，若对任意的实数都成立，则函数在取最大值，故，又 ‎ 故答案为：， ‎ ‎【点睛】本题考查余弦函数的周期性，考查函数的最值，熟记函数性质是关键，是基础题 ‎15.已知函数 ‎①当时，函数的值域是________；‎ ‎②若函数的图象与直线只有一个公共点，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】(1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分段求值域，再求并集可得f（x）的值域；‎ ‎（2）转化为f（x）＝在上与直线只有一个公共点，分离a求值域可得实数a的取值范围．‎ ‎【详解】（1）当a＝1时，即当x≤1时，f（x）＝，‎ 当x＞1时，f（x）＝2-x<1，‎ 综上所述当a＝1时，函数f（x）的值域是，‎ ‎（2）由无解，故f（x）＝在上与直线只有一个公共点，则有一个零点，即实数的取值范围是 故答案为：；‎ ‎【点睛】本题考查了分段函数的应用，同时考查了数形结合解决数学问题的能力，属于中档题，‎ ‎16.已知矩形中，，当每个取遍时，的最小值是_____，最大值是_______．‎ ‎【答案】 (1). 0 (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立直角坐标系，向量坐标化求模长的最值即可 ‎【详解】建立如图所示坐标系： ,‎ 则 由题意若使模长最大，则 ‎ 不妨设为 则 当时模长最大为 当时模长最小值为0‎ 故答案为：0； ‎ ‎【点睛】本题考查向量坐标化的应用，建立坐标系是关键，考查推理能力，考查计算与推理能力，是难题 三、解答题共6题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。‎ ‎17.如图，在平面四边形中，，，，，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求，的值.‎ ‎【答案】（1）；（2），‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由同角三角函数基本关系得，利用两角和的正弦及内角和定理展开求解即可 ‎（2）利用正弦定理得，再利用余弦定理求解 ‎【详解】（1）∵，，∴‎ 在△中，，‎ ‎∴‎ ‎（2）在△中，由正弦定理得，即 解得，∵，，∴，‎ 在△中，，根据余弦定理，‎ 解得 ‎【点睛】本题主要考查了余弦定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．‎ ‎18.某贫困县在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展养茶业．该县农科所为了对比A，B两种不同品种茶叶的产量，在试验田上分别种植了A，B两种茶叶各亩，所得亩产数据（单位：千克）如下：‎ A：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，； ‎ B：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；‎ ‎（1）从A，B两种茶叶亩产数据中各任取1个，求这两个数据都不低于的概率；‎ ‎（2）从B品种茶叶的亩产数据中任取个，记这两个数据中不低于的个数为，求的分布列及数学期望；‎ ‎（3）根据以上数据，你认为选择该县应种植茶叶A还是茶叶B？说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）分布列见解析，；（3）答案不唯一，见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用古典概型结合独立事件的概率求解 ‎（2）利用超几何分布求解 ‎（3）利用平均数和中位数大小比较即可 ‎【详解】（1）从A种茶叶亩产数据中任取一个，不低于55的有11个，从B种茶叶亩产数据中任取一个，不低于55的有4个，‎ 设“所取两个数据都不低于‎55”‎为事件，则 ‎（2）的所有可能取值为 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 期望 ‎（3）如果选择A，可以从A的亩产数据的中位数或平均值比B高等方面叙述理由．如果选择B，可以从B的亩产数据比A的方差小，比较稳定等方面叙述理由．‎ ‎【点睛】本题考查古典概型及独立事件的概率，考查超几何分布，理解平均数中位数及方差的意义是关键，是中档题 ‎19.如图，在四棱锥中，平面，△为等边三角形，，，，分别为棱，的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；‎ ‎（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值，若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）；（3）存在，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）证明和即可证明 ‎（2）取的中点，连结，得，以为原点，以所在直线分别为轴如图建系，求得两平面的法向量，利用二面角向量公式求解 ‎（3）假设棱上存在点，使得平面，且设，求得平面的法向量，利用得 ‎【详解】（1）因为平面，平面，平面，所以，．‎ 又因为△为等边三角形，为的中点，所以．，‎ 所以平面．‎ ‎（2）取的中点，连结，则易知，，．因为△为等边三角形，所以．‎ 以为原点，以所在直线分别为轴如图建系，‎ ‎，，，‎ 设平面的法向量，则：，即，‎ 令，得平面的一个法向量，易知平面的一个法向量为 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．‎ ‎（3）假设棱上存在点，使得平面，且设，则，‎ ‎，则，‎ ‎，要使得平面，则，得，‎ 所以线段上存在点，使得平面，．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面垂直的判定，考查向量法求解二面角及线面平行问题，考查计算能力，是中档题 ‎20.已知椭圆：的右焦点为，且经过点．‎ ‎（1）求椭圆的方程以及离心率；‎ ‎（2）若直线与椭圆相切于点，与直线相交于点．在轴是否存在定点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1），；（2）存在定点，为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用，，求解方程 ‎（2）设直线方程为，与椭圆联立利用判别式等于0得，并求得切点坐标及，假设存在点 ，利用化简求值 ‎【详解】（1）由已知得，，，，椭圆的方程为，离心率为；‎ ‎（2）在轴存在定点，为使，证明：设直线方程为 代入得，化简得 由，得，，‎ 设，则，，‎ 则，设，则，则 假设存在点 ‎ 解得 ‎ 所以在轴存在定点使．‎ ‎【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查切线的应用，利用判别式等于0得坐标是解决问题的关键,考查计算能力,是中档题 ‎21.已知函数.‎ ‎（1）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）求证：.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求导得直线的斜率利用点斜式得方程 ‎(2)求导构造新函数证明即可 ‎【详解】（1）由，得，‎ 则切线方程为.‎ ‎（2），令，‎ ‎，故在上单调递增. ‎ 又，又在上连续，‎ 使得，即，.（*）‎ 随的变化情况如下：‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎. 由（*）式得，代入上式得 ‎. 令，‎ ‎，故在上单调递减.，又，.‎ 即.‎ ‎【点睛】本题考查导数的集合意义,考查导数证明不等式,转化为求函数最值是解题的关键,考查推理及变形能力,是中档题 ‎22.设为给定不小于的正整数，考察个不同的正整数，，，构成的集合，若集合的任何两个不同的非空子集所含元素的总和均不相等，则称集合为“差异集合”．‎ ‎（1）分别判断集合，集合是否是“差异集合”；（只需写出结论）‎ ‎（2）设集合是“差异集合”，记，求证：数列的前项和；‎ ‎（3）设集合是“差异集合”，求的最大值．‎ ‎【答案】（1）集合不是，集合是；（2）见解析；（3）最大值为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用定义直接判断 ‎（2）利用定义得，则 ‎ 即可证明 ‎（3）不妨设，变形 结合， 即可证明 ‎【详解】（1）集合不是，因为，即子集与子集元素之和相等；‎ 集合是，因为集合的任何两个不同的非空子集所含元素的总和均不相等.‎ ‎（2）由集合是“差异集合”知：的个非空子集元素和为互不相等的个正整数，‎ 于是，所以 ‎（3）不妨设，考虑 而，所以 当时，；‎ 综上，的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查集合新定义问题，考查变形推理能力，准确理解题意进行转化是关键，是难题