【数学】2019届一轮复习人教A版（文）11-2参数方程教案

【数学】2019届一轮复习人教A版（文）11-2参数方程教案

参数方程 ‎[必备知识]‎ 考点1　参数方程的概念 在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数(*)，如果对于t的每一个允许值，由方程组(*)所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组(*)就叫做这条曲线的参数方程，变数t叫做参数．‎ 考点2　直线、圆、椭圆的参数方程 曲线 参数方程 过点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l (t为参数)‎ 圆心在点M(x0，y0)，半径为R的圆 (θ为参数)‎ 圆心在原点，半径为R的圆 (θ为参数)‎ 椭圆＋＝1(a>b>0)‎ (φ为参数)‎ ‎ [双基夯实]‎ 一、疑难辨析 ‎　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎1．参数方程(t≥1)表示的曲线为直线．(　　)‎ ‎2．直线y＝x与曲线(α为参数)的交点个数为1.(　　)‎ ‎3．直线(t为参数)的倾斜角α为30°.(　　)‎ ‎4．参数方程表示的曲线为椭圆．(　　)‎ 答案　1.×　2.×　3.√　4.×‎ 二、小题快练 ‎1．[课本改编]曲线(θ为参数)的焦距是(　　)‎ A．3 B．6 ‎ C．8 D．10‎ 答案　B 解析　由曲线(θ为参数)，知该椭圆a＝5，b＝4，所以c＝＝3，椭圆的焦距为6，选B.‎ ‎2．[2017·苏州模拟]已知点P(3，m)在以F为焦点的抛物线(t为参数)上，则|PF|等于(　　)‎ A．4 B．3 ‎ C．2 D．5‎ 答案　A 解析　由(t为参数)，得y2＝4x，则焦点为(1,0)，准线x＝－1，故|PF|＝3＋1＝4.故选A.‎ ‎3．[课本改编]在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(θ为参数)相交于A、B两点，则线段AB的长为________．‎ 答案　4‎ 解析　曲线C1是直线2x＋y－5＝0，曲线C2是圆x2＋y2＝9，圆心到直线的距离d＝＝，所以弦长为2＝2＝4.‎ ‎4．设P(x，y)是曲线C：(θ为参数，θ∈[0,2π))上任意一点，则的取值范围是________．‎ 答案　 解析　表示的是圆上的点和原点连线的斜率，设＝ ，则原问题转化为y＝ x和圆有交点的问题，即圆心到直线的距离d≤r，所以≤1，解得－≤ ≤ .‎ 考向　参数方程与普通方程的互化 例1　[2015·福建高考]在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(t为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，直线l的方程为ρsin＝m(m∈R)．‎ ‎(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．‎ ‎[解]　(1)消去参数t，得到圆C的普通方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9.‎ 由ρsin＝m，得ρsinθ－ρcosθ－m＝0.‎ 所以直线l的直角坐标方程为x－y＋m＝0.‎ ‎(2)依题意，圆心C到直线l的距离等于2，‎ 即＝2，解得m＝－3±2.‎ 触类旁通 将参数方程化为普通方程的方法 ‎(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin2θ＋cos2θ＝1等．‎ ‎(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．‎ ‎【变式训练1】　在《圆锥曲线论》中，阿波罗尼奥斯第一次从一个对顶圆锥(直或斜)得到所有的圆锥曲线，并命名了椭圆(ellipse)、双曲线(hyperboler)和抛物线(parabola)，在这本晦涩难懂的书中有一个著名的几何问题：“在平面上给定两点A，B设P点在同一平面上且满足＝λ(λ>0且λ≠1)，P点的轨迹是个圆”．这个圆我们称之为“阿波罗尼奥斯圆”．已知点M与长度为3的线段OA两端点的距离之比为＝，建立适当坐标系，求出M点的轨迹方程并化为参数方程．‎ 解　由题意，以OA所在直线为x轴，过O点作OA的垂线为y轴，建立直角坐标系，设M(x，y)，则O(0,0)，A(3,0)．因为＝，即＝，化简得(x＋1)2＋y2＝4，所以M的轨迹是以(－1,0)为圆心，2为半径的圆．‎ 由圆的参数方程可得 考向　直线的参数方程 例2　[2016·江苏高考]在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的参数方程为(θ为参数)．设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．‎ ‎[解]　椭圆C的普通方程为x2＋＝1.‎ 将直线l的参数方程代入x2＋＝1，得2＋＝1，即7t2＋16t＝0，解得t1＝0，t2＝－.所以AB＝|t1－t2|＝.‎ 触类旁通 直线的参数方程的标准形式 过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为(t为参数)，t的几何意义是直线上的点P到点P0(x0，y0)的数量，即t＝|PP0|时为距离．使用该式时直线上任意两点P1、P2对应的参数分别为t1、t2，则|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2的中点对应的参数为(t1＋t2)．‎ ‎【变式训练2】　在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为(t为参数)，在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝.‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；‎ ‎(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．‎ 解　(1)由曲线C的极坐标方程ρ＝，得ρ2sin2θ＝2ρcosθ，所以曲线C的直角坐标方程是y2＝2x.由直线l的参数方程得t＝3＋y，代入x＝1＋t中，消去t得x－y－4＝0，所以直线l的普通方程为x－y－4＝0.‎ ‎(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2＝2x，得t2－8t＋7＝0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝8，t1t2＝7，‎ 所以|AB|＝|t1－t2|＝×＝×＝6，因为原点到直线x－y－4＝0的距离d＝＝2，所以△AOB的面积是|AB|·d＝×6×2＝12.‎ 考向　极坐标、参数方程的综合应用 例3　[2016·全国卷Ⅲ]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.‎ ‎(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．‎ ‎[解]　(1)由曲线C1：得即曲线C1的直角坐标方程为＋y2＝1.‎ 由曲线C2：ρsin＝2，得ρ(sinθ＋cosθ)＝2，即曲线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.‎ ‎(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cosα，sinα)．因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，‎ d(α)＝＝.‎ 当且仅当α＝2 π＋( ∈ )时，d(α)取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.‎ 触类旁通 极坐标与参数方程综合应用中注意的问题 ‎(1)在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、切线等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦时，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．转化时要注意两坐标系的关系，注意ρ，θ的取值范围，取值范围不同对应的曲线不同．‎ ‎(2)解答参数方程的有关问题时，首先要弄清参数是谁，代表的几何意义是什么；其次要认真观察方程的表现形式，以便于寻找最佳化简途径．‎ ‎【变式训练3】　[2015·全国卷Ⅱ]在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α<π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝2cosθ.‎ ‎(1)求C2与C3交点的直角坐标；‎ ‎(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB ‎|的最大值．‎ 解　(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.‎ 联立解得或 所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.‎ ‎(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α<π.因此A的极坐标为(2sinα，α)，B的极坐标为(2cosα，α)．所以|AB|＝|2sinα－2cosα|＝4.‎ 当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4.‎ 核心规律 参数方程与普通方程互化的方法 ‎(1)参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法．‎ ‎(2)普通方程化为参数方程：化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t，先确定一个关系x＝f(t)(或y＝φ(t))，再代入普通方程F(x，y)＝0，求得另一关系y＝φ(t)(或x＝f(t))．‎ 满分策略 参数方程应用中的注意事项 ‎(1)参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，要注意普通方程与原参数方程的取值范围保持一致．‎ ‎(2)普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的参数不同，所得的参数方程也不一样．一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标(或纵坐标)．‎ ‎(3)常见曲线的参数方程中的参数都有几何意义，注意利用几何意义常能够给解题带来方便.‎