四川省宜宾市叙州区第二中学校2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理）试题

四川省宜宾市叙州区第二中学校2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理）试题

‎2020年春四川省叙州区第二中学高二期中考试 理科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知复数(为虚数单位)，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知命题，则为 A． B． C． D．‎ ‎3．设是函数的导函数，则的值为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎4．设随机变量服从正态分布，若，则实数等于 ‎ A． B． C． D．‎ ‎5．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中正确的是 ‎ A．若，且，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，且，则 ‎6．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门决定派出五位相关专家对三个贫困地区进行调研，每个地区至少派遣一位专家，其中甲、乙两位专家需要派遣至同一地区，则不同的派遣方案种数为 A．18 B．24 C．28 D．36‎ ‎7．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是 ‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ 8． 设抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛 物线的准线方程为 A． B． C． D．‎ ‎9．已知函数，则函数的大致图象是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎10．在长为的线段上任取一点现作一矩形,领边长分别等于线段的长,则该矩形面积小于的概率为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知函数，那么下列结论中错误的是 ‎ A．若是的极小值点，则在区间上单调递减 B．函数的图像可以是中心对称图形 C．，使 D．若是的极值点，则 ‎12．设函数在区间上有两个极值点，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．二项式的展开式中含项的系数为____‎ ‎14．已知等比数列是函数的两个极值点，则____‎ ‎15．已知正三棱柱的所有棱长都相等,则与平面所成角的余弦值为 ‎ ‎16．已知函数fx=ex+alnx的定义域是D，关于函数fx给出下列命题：‎ ‎①对于任意a∈‎‎0,+∞‎，函数fx是D上的减函数；②对于任意a∈‎‎−∞,0‎，函数fx存在最小值；‎ ‎③存在a∈‎‎0,+∞‎，使得对于任意的x∈D，都有fx>0‎成立；④存在a∈‎‎−∞,0‎，使得函数fx有两个零点．其中正确命题的序号是________．(写出所有正确命题的序号)‎ 三、 解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）已知函数 ‎（1）若在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值；‎ ‎（2）若函数有三个不同零点，求的取值范围.‎ ‎18．（12分）大型综艺节目《最强大脑》中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方，盲拧在外人看来很神奇，其实原理是十分简单的，要学会盲拧也是很容易的.根据调查显示，是否喜欢盲拧魔方与性别有关.为了验证这个结论，某兴趣小组随机抽取了50名魔方爱好者进行调查，得到的情况如下表所示：‎ 喜欢盲拧 不喜欢盲拧 总计 男 ‎22‎ ‎ ▲ ‎ ‎30‎ 女 ‎ ▲ ‎ ‎12‎ ‎▲‎ 总计 ‎ ▲ ‎ ‎ ▲ ‎ ‎50‎ 表1‎ 并邀请这30名男生参加盲拧三阶魔方比赛，其完成情况如下表所示：‎ 成功完成时间（分钟）‎ ‎[0，10)‎ ‎[10，20)‎ ‎[20，30)‎ ‎[30，40]‎ 人数 ‎10‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎5‎ 表2‎ ‎（1）将表1补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关？‎ ‎（2）根据表2中的数据，求这30名男生成功完成盲拧的平均时间（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；‎ ‎（3）现从表2中成功完成时间在[0，10)内的10名男生中任意抽取3人对他们的盲拧情况进行视频记录，记成功完成时间在[0，10)内的甲、乙、丙3人中被抽到的人数为，求的分布列及数学期望. 附参考公式及数据：，其中.‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎19．（12分）如图①，在等腰梯形中，，，分别为，的中点，，为中点现将四边形沿折起,使平面平面，得到如图②所示的多面体在图②中，‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎20．（12分）已知以坐标原点为圆心的圆与抛物线：相交于不同的两点，与抛物线的准线相交于不同的两点，且.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）若不经过坐标原点的直线与抛物线相交于不同的两点，且满足.证明直线过轴上一定点，并求出点的坐标.‎ ‎21．（12分）已知函数.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）当时，证明：．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，抛物线C的方程为，以点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，l与x轴交于点M．‎ 求l的直角坐标方程，点M的极坐标；‎ 设l与C相交于A，B两点，若、、成等比数列，求p的值．‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数的最大值为3，其中．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，，，求证：‎ ‎2020年春四川省叙州区第二中学高二期中考试 理科数学参考答案 ‎1．D 2．C 3．C 4．B 5．C 6．D 7．A 8．D 9．A 10．C 11．A 12．D ‎13． 14．或 15． 16．②④‎ ‎17． (1)因为 所以函数的单调减区间为 又 由 ‎ ‎，，‎ ‎18．（1）依题意，补充完整的表1如下：‎ 喜欢盲拧 不喜欢盲拧 总计 男 ‎22‎ ‎8‎ ‎30‎ 女 ‎8‎ ‎12‎ ‎20‎ 总计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 由表中数据计算得的观测值为 所以能在犯错误的概率不超过的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关。‎ ‎（2）依题意，所求平均时间为（分钟）‎ ‎（3）依题意，X的可能取值为0，1，2，3，故 ‎ 故X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 故 ‎19．（1）由题意，可知在等腰梯形中，，‎ ‎∵，分别为，的中点，∴，. ∴折叠后，，. ‎ ‎∵，∴平面.又平面，∴. ‎ ‎（2）∵平面平面，平面平面，且，‎ ‎∴平面，∴，∴，，两两垂直.‎ 以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.∵，∴.‎ ‎∴，，，.‎ ‎∴，，.‎ 设平面，平面的法向量分别为 ‎，.‎ 由，得.取，则.‎ 由，得.取，则.‎ ‎∵， ∴二面角的余弦值为.‎ ‎20．（1）由已知，，则两点所在的直线方程为则，故 ‎∴抛物线的方程为.‎ ‎（2）由题意，直线不与轴垂直，设直线的方程为，‎ ‎.联立消去，得.‎ ‎∴，，，‎ ‎∵，∴‎ 又，∴‎ ‎∴解得或 而，∴（此时）‎ ‎∴直线的方程为，故直线过轴上一定点.‎ ‎21．解： (1)∵y＝f(x)－g(x)＝ln(ax＋1)－，‎ y′＝－＝， ‎ 当a≥1时，y′≥0，所以函数y＝f(x)－g(x)是[0，＋∞)上的增函数；‎ 当00得x>2，所以函数y＝f(x)－g(x)在上是单调递增函数，函数y＝f(x)－g(x)在上是单调递减函数； ‎ ‎(2)当a≥1时，函数y＝f(x)－g(x)是[0，＋∞)上的增函数．‎ 所以f(x)－g(x)≥f(0)－g(0)＝1，‎ 即不等式f(x)≥g(x)＋1在x∈[0，＋∞)时恒成立，‎ 当0g(x)＋1在x∈(0，＋∞)时恒成立，‎ 即ln(x＋1)>，所以，‎ 即< [ln(k＋1)－lnk]．所以< (ln2－ln1)，‎ ‎< (ln3－ln2)，< (ln4－ln3)，…，< [ln(n＋1)－lnn]．‎ 将上面各式相加得到，＋＋＋…＋< [(ln2－ln1)＋(ln3－ln2)＋(ln4－ln3)＋…＋(ln(n＋1)－lnn)]＝ln(n＋1)＝f(n)．∴原不等式成立．‎ ‎22．解：由得，，‎ 的直角坐标方程．‎ 令得点M的直角坐标为，点M的极坐标为 ．‎ 由知l的倾斜角为，参数方程为,为参数,代入，‎ 得，．‎ ‎，，．，．‎ ‎23．（1）∵，‎ ‎∴. ‎ ‎∴当时，取得最大值. ∴. ‎ ‎（2）由（Ⅰ），得，‎ ‎. ‎ ‎∵，当且仅当时等号成立，∴. ‎ 令，.则在上单调递减.∴. ‎ ‎∴当时，.∴.‎