安徽省合肥市庐阳区第六中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

安徽省合肥市庐阳区第六中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

合肥六中2019-2020学年第一学期 高二年级期中考试理科数学试卷 ‎（考试时间：120分钟试卷分值：150分）‎ 一.选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）‎ ‎1.在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 纵竖坐标不变，横坐标变为相反数．‎ ‎【详解】点关于平面对称的点的坐标为．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查空间直角坐标系，属于基础题．‎ ‎2.下列关于棱柱的说法中，错误的是（ ）‎ A. 三棱柱的底面为三角形 B. 一个棱柱至少有五个面 C. 五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形 D. 若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据棱柱的概念逐一判断选择.‎ ‎【详解】三棱柱的底面为三角形，所以A正确；‎ 因为三棱柱有五个面，所以棱柱至少有五个面，B正确；‎ 五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形，所以C正确；‎ 若棱柱的底面边长相等，它的各个侧面为平行四边形，即边长对应相等，但夹角不一定相等，所以D错误；‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查棱柱的概念，考查基本分析判断能力，属基础题.‎ ‎3.某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先还原几何体，再确定最长的侧棱长.‎ ‎【详解】还原几何体为：其中,因此，所以最长的一条侧棱的长度为，‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查三视图以及四棱锥棱长，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎4.若圆截直线所得弦长为6，则实数m的值为（ ）‎ A. -31 B. -4 C. -2 D. -1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化圆的标准方程，再根据垂径定理列方程，解得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为圆截直线所得弦长为6，‎ 所以 故选：B ‎【点睛】本题考查圆的弦长，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎5.如图，平行四边形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，.则下列叙述正确的是（ ）‎ A. 原图形是正方形 B. 原图形是非正方形的菱形 C. 原图形的面积是 D. 原图形的面积是 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先还原平面图形，再根据图形数量确定形状以及面积.‎ ‎【详解】还原平面图形为平行四边形，,之间距离为， ,所以平面图形为非菱形的平行四边形，因此原图形的面积是，‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查直观图及其相关计算，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎6.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是 ‎①若则;②若则;‎ ‎③若,则;④若则 A. ①②④ B. ②③ C. ①④ D. ②④‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据选项利用判定定理、性质定理以及定义、举例逐项分析.‎ ‎【详解】①当都在平面内时，显然不成立，故错误；②因为，则过的平面与平面的交线必然与平行；又因为，所以垂直于平面内的所有直线，所以交线，又因为交线，则，故正确；③正方体上底面的两条对角线平行于下底面，但是两条对角线不平行，故错误；④因为垂直于同一平面的两条直线互相平行，故正确；‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查判断立体几何中的符号语言表述的命题的真假，难度一般.处理立体几何中符号语言问题，一般可采用以下方法：（1）根据判定、性质定理分析；（2）根据定义分析；（3）举例说明或者作图说明.‎ ‎7.已知直线l过定点，且与以，为端点的线段（包含端点）没有交点，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图象以及斜率公式确定直线l的斜率k的取值范围.‎ ‎【详解】如图，要使直线l以，为端点的线段（包含端点）没有交点，则或,因为，所以直线l的斜率k的取值范围是；‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查斜率公式以及直线交点，考查基本分析判断求解能力，属基础题.‎ ‎8.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍”的五面体（如图）面为矩形，棱.若此几何体中，，，和都是边长为的等边三角形，则此几何体的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用勾股定理求出梯形的高，再计算出各个面的面积，相加可得出该几何体的表面积.‎ ‎【详解】‎ 过作平面，垂足为，取的中点，连结，‎ 过作，垂足为，连结.‎ 和都是边长为的等边三角形，‎ ‎，，.‎ ‎，，‎ ‎，‎ 又，，‎ 几何体的表面积，故选B.‎ ‎【点睛】本题考查多面体表面积计算，解题的关键就是要分析各面的形状，并计算出各个面的面积，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎9.在三棱柱中，，，平面ABC，则该三棱柱的外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知此三棱柱为直三棱柱，直三棱柱求解外接圆可将直三棱柱还原成对应的圆柱，再采用圆柱的外接球半径公式，结合几何关系进行求解即可 ‎【详解】‎ 由题意可知，底面外接圆的半径，三棱柱的高，外接球的半径 ‎，所以外接球的表面积为.‎ 答案选C ‎【点睛】求解直三棱柱的外接球半径一般的方法是：先将直三棱柱还原成对应的圆柱，找出底面圆的半径，再找出高的一半，通过构造直角三角形，求解外接球的半径即可 ‎10.已知a，b是异面直线，给出下列结论：‎ ‎①一定存在平面，使直线平面，直线平面；‎ ‎②一定存在平面，使直线平面，直线平面；‎ ‎③一定存在无数个平面，使直线b与平面交于一个定点，且直线平面.‎ 则所有正确结论的序号为（ ）‎ A. ②③ B. ①③ C. ①② D. ①②③‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据异面直线位置关系作出满足条件图形就可证明②③正确，再举例说明①不正确.‎ ‎【详解】因为如果直线平面，直线平面，则必有，而a，b不一定垂直，所以①不正确；‎ 设为a，b公垂线段,取中点,过作，因为a，b异面直线，所以为相交直线，则确定平面，且直线平面，直线平面；所以②正确；‎ 设为a，b公垂线段, ，过作，过作平面，使直线b与平面交于一个定点B，则直线平面.此时存在无数个平面，所以③正确；‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查异面直线及其相关概念，考查基本分析判断能力，属基础题.‎ ‎11.在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx-y+4=0与直线l2：x+ky-3=0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线4x-3y+10=0的距离的最大值为（　　）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得直线l1，直线l2，恒过定点，以及两直线垂直，可得交点P的轨迹，再由直线和圆的位置关系，即可得到所求最大值．‎ ‎【详解】解：∵直线l1：kx-y+4=0与直线l2：x+ky-3=0的斜率之积：，‎ ‎∴直线l1：kx-y+4=0与直线l2：x+ky-3=0垂直，‎ ‎∵直线l1：kx-y+4=0与直线l2：x+ky-3=0分别过点M（0，4），N（3，0），‎ ‎∴直线l1：kx-y+4=0与直线l2：x+ky-3=0的交点P在以MN为直径的圆上，‎ 即以C（，2）为圆心，半径为的圆上，‎ 圆心C到直线4x-3y+10=0的距离为d==2，‎ 则点P到直线4x-3y+10=0的距离的最大值为d+r=+2=．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查直线恒过定点的求法和两直线垂直的条件，以及点到直线的距离公式的运用，考查化简运算能力，属于中档题．‎ ‎12.已知矩形，，，将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，在翻折过程中，则（ ）．‎ A. 当时，存在某个位置，使得 B. 当时，存在某个位置，使得 C. 当时，存在某个位置，使得 D. 时，都不存在某个位置，使得 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎∵，∴若存在某个位置，使得直线，则平面，则，在中，，，则由直角边小于斜边可知，，即，结合选项可知只有选项中时，存在某个位置，使得，故选．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查翻折问题、线面垂直与线线垂直转换的应用以及空间想象能力，属于难题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理，本题中，先根据线线垂直得到线面垂直，在根据线面垂直得到线线垂直，从而得到，进而得到结果.‎ 二.填空题（本大题工4小题，每题5分，共20分）‎ ‎13.命题“，都有成立”的否定是______‎ ‎【答案】，使得成立 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题的否定直接写结果.‎ ‎【详解】因为的否定为，‎ 所以命题“，都有成立”的否定是：，使得成立 故答案为：，使得成立 ‎【点睛】本题考查全称命题的否定，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎14.过点且与圆相切的直线方程为______‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先考虑斜率不存在的情况，再考虑斜率存在的情况，利用圆心到直线距离等于半径求解.‎ 详解】‎ 因为直线到圆心的距离等于，即半径，所以直线与圆相切；‎ 当所求切线斜率存在时，设，‎ 由圆心到直线距离为，‎ 即方程为 故答案为：或 ‎【点睛】本题考查求圆的切线，考查基本分析求解判断能力，属基础题.‎ ‎15.已知正方体的体积为1，点M在线段BC上（点M异于B、C两点），点N为线段的中点，若平面AMN截正方体所得的截面为五边形，则线段BM的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据截面作法确定线段BM的取值范围 ‎【详解】当时,截面为五边形，如图，‎ 当时, 截面为四边形，如图，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查正方体中截面问题，考查基本分析判断能力，属基础题.‎ ‎16.在平面直角坐标系中，过点作圆的两条切线，切点分别为、，且，则实数a的值是______.‎ ‎【答案】ￚ2或3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取中点，设，则利用斜率公式转化条件得，再结合圆的切线性质得，即得,最后根据三点共线求结果.‎ ‎【详解】,‎ 取中点，设，由题意得，‎ 因此，从而三点关系，即或3，‎ 故答案为：ￚ2或3‎ ‎【点睛】本题考查圆的切线性质以及斜率公式，考查综合分析判断求解能力，属较难题.‎ 三.解答题（本大题工6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.（1）求证：两条平行直线与的距离为：；‎ ‎（2）在x轴上求一点P，使以点，和P为顶点的三角形的面积为10.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据点到直线距离公式进行证明；‎ ‎（2）先根据两点间距离公式求，再根据两点式求方程，利用点到直线距离公式得高，最后根据面积公式列式求结果.‎ ‎【详解】（1）法一：当时，在直线上取一点.‎ 由点到直线的距离公式得：；‎ 当时，式子也成立；‎ 法二：在直线上任取一点，则.‎ 由点到直线的距离公式得：.‎ ‎（2）设，AB的直线方程为，‎ 点P到直线AB的距离为 由三角形的面积为得或 综上：或.‎ ‎【点睛】本题考查点到直线距离公式的应用，考查基本分析判断求解能力，属中档题.‎ ‎18.己知直线2x﹣y﹣1=0与直线x﹣2y+1=0交于点P．‎ ‎（Ⅰ）求过点P且平行于直线3x+4y﹣15=0的直线的方程；（结果写成直线方程的一般式）‎ ‎（Ⅱ）求过点P并且在两坐标轴上截距相等的直线方程（结果写成直线方程的一般式）‎ ‎【答案】(Ⅰ)3x+4y﹣7=0；(Ⅱ)x+y﹣2=0或x﹣y=0．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎（1）联立方程组，求得点，根据题意设直线的方程为，代入点，求得的值，即可得到直线的方程；‎ ‎（2）①当直线过原点时，可得方程为；‎ ‎②当直线不过原点时，设的方程为，代入点，求得，即可得到直线的方程.‎ 试题解析：‎ 联立，解得，∴P（1，1）．‎ ‎（Ⅰ）设平行于直线3x+4y﹣15=0的直线l1的方程为3x+4y+m=0，把P（1，1）代入可得：3+4+m=0，解得m=-7．‎ ‎∴过点P且平行于直线3x+4y﹣15=0的直线l1的方程为3x+4y﹣7=0．‎ ‎（Ⅱ）当直线l2经过原点时，可得方程为：y=x．‎ 当直线l2不过原点时，可设方程为：y+x=a，把P（1，1）代入可得1+1=a，可得a=2．‎ ‎∴直线l2的方程为x+y﹣2=0．‎ 综上可得：直线l2的方程为x+y﹣2=0或x﹣y=0．‎ ‎19.如图，在三棱柱中，，底面为正三角形，，D是BC中点，P是的中点.求证：‎ ‎（1）平面；‎ ‎（2）平面.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接交于点O，根据三角形中位线性质得，再根据线面平行判定定理得结论；‎ ‎（2）先根据平几知识得，再根据面面垂直判定定理与性质定理得，即得，最后根据线面垂直判定定理得结论.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）连接交于点O，连接OD，‎ 在正三棱柱中，，∴侧面是正方形，‎ ‎∴点O是的中点，又点D是BC的中点，故OD是的中位线.‎ ‎∴，又，，∴‎ ‎（2）由（1）知，侧面是正方形，又D、P分别为BC、的中点，‎ ‎∴，∴，∴，‎ 在正三棱柱中，D是BC的中点，∴，又，‎ 且，，∴，‎ 又，∴，又，∴‎ ‎【点睛】本题考查线面平行判定定理、线面垂直判定定理以及面面垂直判定定理与性质定理，考查综合分析论证能力，属中档题.‎ ‎20.已知直线l：，圆C：.‎ ‎（1）求证：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交于两点；‎ ‎（2）当直线l被圆C截得的线段最短时，求线段的最短长度及此时m的值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）线段的最短长度为，此时 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求直线过定点，再证定点在圆内部，即得证结果；‎ ‎（2）先确定直线l被圆C截得的线段最短时位置，再根据斜率公式以及垂径定理求结果.‎ ‎【详解】（1）直线l：，必过直线与直线的交点，联立方程，解得，所以直线过定点.‎ ‎∵，即点P在圆内，‎ ‎∴直线与圆C恒相交于两点.‎ ‎（2）当直线l被圆C截得的线段最短时，直线l垂直CP.‎ ‎∵，∴直线l的斜率，则，解得，‎ 此时，弦长.‎ ‎【点睛】本题考查直线过定点、直线与圆位置关系以及弦长问题，考查综合分析论证与求解能力，属中档题.‎ ‎21.如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，，，，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）当AB的长为何值时，二面角的大小为60°.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先根据线面垂直判定定理得以及，即得，从而可得；‎ ‎（2）过B作交FE的延长线于G,根据线面垂直判定定理以及性质定理得，即得为所求二面角的平面角,最后根据平几知识解得结果.‎ ‎【详解】（1）∵，，，∴，‎ ‎∵，∴，又，，∴，‎ ‎∴，故.（其他证法也可）‎ ‎（2）过B作交FE的延长线于G，连AG， ‎ 由得，又，故，为所求二面角的平面角.‎ 由，，梯形BEFC为直角梯形，，，由平面几何知识得 设，若，则，中，，，得 当时，二面角的大小为60°.‎ ‎【点睛】本题考查根据二面角求参数、线面垂直判定定理与性质定理以及利用面面平行证线面平行，考查综合分析论证与求解能力，属中档题.‎ ‎22.已知动点P与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离的比值为2，点P的轨迹为曲线C．‎ ‎（1）求曲线C的轨迹方程 ‎（2）过点（﹣1，0）作直线与曲线C交于A，B两点，设点M坐标为（4，0），求△ABM面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设点，运用两点的距离公式，化简整理可得所求轨迹方程；‎ ‎（2）由题意可知，直线的斜率存在，设直线方程为，求得到直线的距离，以及弦长公式，和三角形的面积公式，运用换元法和二次函数的最值可得所求．‎ ‎【详解】（1）设点，,即，‎ ‎，即，‎ 曲线的方程为．‎ ‎（2）由题意可知，直线的斜率存在，设直线方程为，‎ 由（1）可知，点是圆的圆心，‎ 点到直线的距离为，由得，即，‎ 又，‎ 所以，‎ 令，所以，，‎ 则，‎ 所以，‎ 当，即，此时，符合题意，‎ 即时取等号，所以面积的最大值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求法，直线和圆的位置关系，以及弦长公式和点到直线的距离公式的运用，考查推理与运算能力，试题综合性强，属于中档题．‎ ‎ ‎