2020届二轮复习放缩法在证明中的应用教案（全国通用）

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文档介绍

2020届二轮复习放缩法在证明中的应用教案（全国通用）

微专题七　放缩法在证明中的应用 ‎[解题策略]‎ 放缩法是不等式证明的重要方法，其中的放缩技巧既有模式可循但更有创意之变，如何灵活运用放缩法解题是衡量解题者思维好坏的标杆．‎ 常见的放缩形式有：‎ ‎(1)的放缩：‎ <＝－(n≥2)，‎ >＝－，‎ <＝－；‎ ‎(2)的放缩：‎ ＝< ‎＝－(n≥2)，‎ ＝< ‎＝(n≥2)；‎ ‎(3)的放缩：‎ ＝>＝2(－)，‎ ＝<＝2(－)；‎ ‎(4)真分式的放缩：‎ 若a>b>0，m>0，则<.‎ 另外，利用重要不等式放缩、导数应用中有关lnx型的放缩(如：ln(1＋x)0)等也是常见的放缩方式．‎ 利用放缩法证明不等式的难点是放缩的“度”不好把握，放大了或放小了都得不出所证不等式，这样需要回头调整，留一项或几项不放缩逐步试验向所证结论靠扰，下面举例说明．‎ 例1　设n∈N*，求证：<.‎ 分析　当n≥2时，<＝－，‎ 所以＋＋＋…＋ ‎<1＋＋＋…＋ ‎＝1＋＋…＋＝2－<2，‎ 而2>，放大了，若从第三项开始放缩如何呢？‎ 当n≥3时，‎ ＋＋＋…＋ ‎<1＋＋＋＋…＋ ‎＝1＋＋＋＋…＋ ‎＝1＋＋－＝－<，‎ 而>，仍放大了，若从第四项开始放缩呢？‎ 当n≥4时，‎ ＋＋＋…＋ ‎<1＋＋＋＋…＋ ‎＝1＋＋＋＋…＋ ‎＝1＋＋＋－＝－<，恰好证得结果．‎ 又易知当n＝1,2,3时，不等式显然成立．‎ 因此，<.‎ 例2　设n∈N*，求证：<<.‎ 分析　因为>＝k，‎ 所以>＝，左边得证．‎ 又因为<＝k＋1，‎ 所以<(k＋1)＝，≥，放大了，得不到所证结论，于是应该作调整．‎ 事实上，<＝k＋，‎ 所以< ‎＝＋＝<.‎ 故<<.‎ 例3　求证：16<<17.‎ 证明　因为＝<＝2(－)，‎ 所以<1＋2(－1)＋2(－)＋…＋2(－)＝2－1<2－1＝17.‎ 又＝>＝2(－)，所以 >2(－1)＋2(－)＋…＋2(－)‎ ‎＝2－2＝16.‎ 故16<<17.‎ 评注　在证明<17时，对第一项没有进行放缩．‎
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