高考文科数学复习:夯基提能作业本 (18)

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高考文科数学复习:夯基提能作业本 (18)

第八节 解三角形 A组 基础题组 ‎1.如图,两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40°方向上,灯塔B在观察站南偏东60°方向上,则灯塔A在灯塔B的(  )‎ A.北偏东10°方向上 B.北偏西10°方向上 C.南偏东80°方向上 D.南偏西80°方向上 ‎2.一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是(  )‎ A.10‎2‎ 海里 B.10‎3‎ 海里 C.20‎3‎ 海里 D.20‎2‎ 海里 ‎3.(2016江西联考)某位居民站在离地20 m高的阳台上观测到对面楼房房顶的仰角为60°,楼房底部的俯角为45°,那么这栋楼房的高度为(  )‎ A.20‎1+‎‎3‎‎3‎m B.20(1+‎3‎)m C.10(‎2‎+‎6‎)m D.20(‎2‎+‎6‎)m ‎4.某人向正东方向走x km后,向右转150°,然后朝新方向走3 km,结果他离出发点恰好是‎3‎ km,那么x的值为(  )‎ A.‎3‎ B.2‎3‎ C.‎3‎或2‎3‎ D.3‎ ‎5.如图,一条河的两岸平行,河的宽度d=0.6 km,一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB=1 km,水的流速为2 km/h,若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min,则客船在静水中的速度为(  )‎ A.8 km/h B.6‎2‎ km/h C.2‎34‎ km/h D.10 km/h ‎6.如图,为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上的B,D两点,测出四边形ABCD各边的长度(单位:km):AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,且∠B与∠D互补,则AC的长为    km. ‎ ‎7.某同学骑电动车以24 km/h的速度沿正北方向的公路行驶,在点A处测得电视塔S在电动车的北偏东30°方向上,15 min后到点B处,测得电视塔S在电动车的北偏东75°方向上,则点B与电视塔的距离是 ‎    km. ‎ ‎8.如图,在山顶上有一座铁塔BC,在塔顶B处测得地面上一点A的俯角α=60°,在塔底C处测得A处的俯角β=45°,已知铁塔BC的高为24‎3‎ m,则山高CD=    m. ‎ ‎9.隔河看两目标A与B,但不能到达,在岸边选取相距‎3‎千米的C、D两点,测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°(A、B、C、D在同一平面内),求两目标A、B之间的距离.‎ ‎10.为扑灭某着火点,现场安排了两支水枪,如图,D是着火点,A、B分别是水枪位置,已知AB=15‎2‎ m,在A处看着火点的仰角为60°,∠ABC=30°,∠BAC=105°(其中C为D在地面上的射影),求两支水枪的喷射距离至少是多少.‎ B组 提升题组 ‎11.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方的点A处测得水柱顶端的仰角为45°,从点A向北偏东30°方向前进100 m到达点B,在B点处测得水柱顶端的仰角为30°,则水柱的高度是(  )‎ A.50 m B.100 m C.120 m D.150 m ‎12.如图,航空测量组驾驶飞机飞行的航线和山顶在同一铅直平面内,已知飞机的飞行高度为10 000 m,速度为50 m/s,某一时刻飞机看山顶的俯角为15°,经过420 s后看山顶的俯角为45°,则山顶的海拔为    m.(取‎2‎=1.4,‎3‎=1.7) ‎ ‎13.如图,一栋建筑物AB的高为(30-10‎3‎)m,在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD.在它们之间的地面上的点M(B,M,D三点共线)处测得楼顶A,塔顶C的仰角分别是15°和60°,在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°,则通信塔CD的高为    m. ‎ ‎14.如图,在海岸A处发现北偏东45°方向上,距A处(‎3‎-1)海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向上,距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10‎3‎ 海里/时的速度追截走私船,此时走私船正以10海里/时的速度,从B处向北偏东30°方向逃窜.问:缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间.‎ ‎15.(2016辽宁沈阳二中月考)在一个特定时段内,以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A,某时刻测得一艘匀速直线行驶的船位于点A的北偏东45°且与点A相距40‎2‎海里的位置B,经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ其中θ满足sinθ=‎26‎‎26‎,0°<θ<90°‎且与点A相距10‎13‎海里的位置C.‎ ‎(1)求该船的行驶速度(单位:海里/时);‎ ‎(2)若该船不改变航行方向继续行驶,判断它是否会进入警戒水域,并说明理由.‎ 答案全解全析 A组 基础题组 ‎1.D 由条件及题图可知,∠A=∠ABC=40°,因为∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,所以∠DBA=10°,因此灯塔A在灯塔B南偏西80°方向上.‎ ‎2.A 如图所示,易知,在△ABC中,AB=20海里,∠CAB=30°,∠ACB=45°,根据正弦定理得BCsin30°‎=ABsin45°‎,‎ 解得BC=10‎2‎(海里).‎ ‎3.B 如图,设AB为阳台的高度,CD为楼房的高度,AE为水平线.由题意知AB=DE=20 m, ∠DAE=45°,∠CAE=60°,故AE=20 m,则CE=20‎3‎ m.所以CD=20(1+‎3‎)m.故选B.‎ ‎4.C 由题意作出示意图,如图所示,由余弦定理得(‎3‎)2=x2+32-2x·3·cos 30°,整理得x2-3‎3‎x+6=0,解得x=‎3‎或2‎3‎.故选C.‎ ‎5.B 连接AB,设AB与河岸线所成的锐角为θ,客船在静水中的速度为v km/h,由题意知,sin θ=‎0.6‎‎1‎=‎3‎‎5‎,从而cos θ=‎4‎‎5‎,结合已知及余弦定理可得‎1‎‎10‎v‎2‎=‎1‎‎10‎‎×2‎‎2‎+12-2×‎1‎‎10‎×2×1×‎4‎‎5‎,解得v=6‎2‎.选B.‎ ‎6.答案 7‎ 解析 ∵82+52-2×8×5×cos(π-D)=32+52-2×3×5×cos D,∴cos D=-‎1‎‎2‎,∴在△ACD中,由余弦定理可计算得AC=‎49‎=7.则AC的长为7 km.‎ ‎7.答案 3‎‎2‎ 解析 由题意知AB=24×‎15‎‎60‎=6 km,在△ABS中,∠BAS=30°,AB=6 km,∠ABS=180°-75°=105°,∴∠ASB=45°,由正弦定理知BSsin30°‎=ABsin45°‎,∴BS=AB·sin30°‎sin45°‎=3‎2‎(km).‎ ‎8.答案 (36+12‎3‎)‎ 解析 tan∠BAD=BDAD,tan∠CAD=CDAD,则tan∠BAC=tan(∠BAD-∠CAD)=BDAD‎-‎CDAD‎1+BDAD·‎CDAD=BC·ADAD‎2‎+BD·CD=‎24‎3‎·CDCD‎2‎+(24‎3‎+CD)·CD=‎12‎‎3‎‎12‎3‎+CD,‎ 又tan∠BAC=tan(60°-45°)=2-‎3‎,‎ ‎∴‎12‎‎3‎‎12‎3‎+CD=2-‎3‎,‎ 解得CD=(36+12‎3‎)m.‎ ‎9.解析 在△ACD中,∠ACD=120°,∠CAD=∠ADC=30°,‎ 所以AC=CD=‎3‎ 千米.‎ 在△BCD中,∠BCD=45°,∠BDC=75°,∠CBD=60°,‎ 由正弦定理知BC=‎3‎sin75°‎sin60°‎=‎6‎‎+‎‎2‎‎2‎ 千米.‎ 在△ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=(‎3‎)2+‎6‎‎+‎‎2‎‎2‎‎2‎-2×‎3‎×‎6‎‎+‎‎2‎‎2‎×‎ cos 75°=3+2+‎3‎-‎3‎=5,所以AB=‎5‎ 千米,‎ 所以两目标A,B之间的距离为‎5‎ 千米.‎ ‎10.解析 在△ABC中,可知∠ACB=45°,‎ 由正弦定理得ABsin∠ACB=ACsin∠ABC,‎ 解得AC=15 m.‎ 又∵∠CAD=60°,∴AD=30 m,CD=15‎3‎ m,‎ 在△ABC中,由正弦定理得ABsin∠ACB=BCsin∠BAC,解得BC=‎15(‎6‎+‎2‎)‎‎2‎ m.‎ 由勾股定理可得BD=BC‎2‎+CD‎2‎=15‎5+‎‎3‎ m.‎ 综上可知,两支水枪的喷射距离至少分别为30 m,15‎5+‎‎3‎ m.‎ B组 提升题组 ‎11.A 如图,设水柱高度是h m,水柱底端为C,则在△ABC中,∠BAC=60°,AC=h m,AB=100 m,BC=‎3‎h m,根据余弦定理得(‎3‎h)2=h2+1002-2·h·100·cos 60°,即h2+50h-5 000=0,即(h-50)(h+100)=0,解得h=50(舍负),故水柱的高度是50 m.‎ ‎12.答案 2 650‎ 解析 如图,作CD垂直于直线AB于点D,∵∠A=15°,∠DBC=45°,∴∠ACB=30°,‎ 又在△ABC中,BCsinA=ABsin∠ACB,AB=50×420=21 000,‎ ‎∴BC=‎21 000‎‎1‎‎2‎×sin 15°=10 500(‎6‎-‎2‎).‎ ‎∵CD⊥AD,∴CD=BC·sin∠DBC=10 500×(‎6‎-‎2‎)×‎2‎‎2‎=10 500×(‎3‎-1)=7 350.‎ 故山顶的海拔h=10 000-7 350=2 650(m).‎ ‎13.答案 60‎ 解析 如图,在Rt△ABM中,AM=ABsin∠AMB=‎30-10‎‎3‎sin15°‎=‎30-10‎‎3‎sin(45°-30°)‎=‎30-10‎‎3‎‎6‎‎-‎‎2‎‎4‎=20‎6‎.‎ 易知∠MAN=∠AMB=15°,‎ 所以∠MAC=30°+15°=45°,‎ 又∠AMC=180°-15°-60°=105°,‎ 所以∠ACM=30°.‎ 在△AMC中,由正弦定理得MCsin45°‎=‎20‎‎6‎sin30°‎,‎ 解得MC=40‎3‎.‎ 在Rt△CMD中,CD=40‎3‎×sin 60°=60,‎ 故通信塔CD的高为60 m.‎ ‎14.解析 如图,设缉私船应沿CD方向行驶t小时,才能最快截获(在D点)走私船,‎ 则CD=10‎3‎t海里,BD=10t海里,‎ 在△ABC中,由余弦定理,有 BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC ‎=(‎3‎-1)2+22-2(‎3‎-1)·2·cos 120°=6,‎ 解得BC=‎6‎(海里).‎ ‎∵BCsin∠BAC=ACsin∠ABC,‎ ‎∴sin∠ABC=AC·sin∠BACBC=‎2·sin120°‎‎6‎=‎2‎‎2‎,‎ 可知∠ABC=45°,∴B点在C点的正东方向上,‎ ‎∴∠CBD=90°+30°=120°,‎ 在△BCD中,由正弦定理,得BDsin∠BCD=CDsin∠CBD,‎ ‎∴sin∠BCD=BD·sin∠CBDCD=‎10t·sin120°‎‎10‎3‎t=‎1‎‎2‎.‎ 可知∠BCD=30°.‎ ‎∵在△BCD中,∠CBD=120°,∠BCD=30°,‎ ‎∴∠D=30°,∴BD=BC,即10t=‎6‎.‎ ‎∴t=‎6‎‎10‎,易知‎6‎‎10‎小时≈15分钟.‎ ‎∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶,才能最快截获走私船,大约需要15分钟.‎ ‎15.解析 (1)如图,AB=40‎2‎海里,AC=10‎13‎海里,∠BAC=θ.‎ 由于0°<θ<90°,sin θ=‎26‎‎26‎,‎ 所以cos θ=‎1-‎‎26‎‎26‎‎2‎=‎5‎‎26‎‎26‎.‎ 由余弦定理得BC=AB‎2‎+AC‎2‎-2AB·AC·cosθ=10‎5‎(海里).‎ 所以该船的行驶速度为‎10‎‎5‎‎2‎‎3‎=15‎5‎(海里/时).‎ ‎(2)该船会进入警戒水域.理由如下:‎ 如图所示,设直线AE与直线BC相交于点Q.‎ 在△ABC中,由余弦定理得,‎ cos∠ABC=‎AB‎2‎+BC‎2‎-AC‎2‎‎2AB·BC ‎=‎4‎0‎‎2‎×2+1‎0‎‎2‎×5-1‎0‎‎2‎×13‎‎2×40‎2‎×10‎‎5‎=‎3‎‎10‎‎10‎.‎ 从而sin∠ABC=‎1-cos‎2‎∠ABC=‎1-‎‎9‎‎10‎=‎10‎‎10‎.‎ 在△ABQ中,由正弦定理得,‎ AQ=ABsin∠ABCsin(45°-∠ABC)‎=‎40‎2‎×‎‎10‎‎10‎‎2‎‎2‎‎×‎‎2‎‎10‎‎10‎=40(海里).‎ 由于AE=55海里>40海里=AQ,所以点Q位于点A和点E之间,且QE=AE-AQ=15(海里).‎ 过点E作EP⊥BC于点P,‎ 在Rt△QPE中,PE=QE·sin∠PQE,则PE=QE·sin∠AQC=QE·sin(45°-∠ABC)=15×‎5‎‎5‎=3‎5‎(海里),又3‎5‎海里<7海里,所以该船会进入警戒水域.‎
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