上海市华东师范大学第二附属中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

上海市华东师范大学第二附属中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

华二附中高二期中数学卷 一.填空题 ‎1.方程组的增广矩阵是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据增广矩阵的定义即可写出。‎ ‎【详解】方程可以转化成，所以增广矩阵为．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了增广矩阵的概念，属于基础题。增广矩阵阵，是在线性代数中系数矩阵的右边添上线性方程组等号右边的常数列得到的矩阵。‎ ‎2.已知，，若向量与共线，则实数λ的值为_____‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据，计算出，再根据向量的共线定理即可得出λ的值。‎ ‎【详解】因为，，所以（5，λ+2）；又因为向量与共线，所以5×8﹣10（λ+2）＝0，解得λ＝2．‎ 故答案为：2‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量的线性运算以及向量的共线定理，属于基础题。‎ ‎3.过点A（1，4）且与直线垂直的直线的点法向式方程为_____．‎ ‎【答案】5（x﹣1）+2（y﹣4）＝0，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线的点法向式方程公式即可得出答案。‎ ‎【详解】因为与直线垂直的直线的法向量为（5，2），所以则直线的点法向式方程为：5（x﹣1）+2（y﹣4）＝0。‎ 故答案为：5（x﹣1）+2（y﹣4）＝0‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线的点法向式，属于基础题。就是由直线上一点的坐标和与这条直线的法向向量确定的直线方程。(为直线上一点，为直线的法向向量，则且不全为零的方程，称为点法向式方程。‎ ‎4.计算：_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据矩阵乘法的计算法则即可计算出来。‎ ‎【详解】根据矩阵乘法的计算法则，可知 ‎．‎ ‎【点睛】本题主要考查了矩阵乘法的计算法则，属于基础题。‎ ‎5.已知向量、的夹角为120°，，，则_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据模的计算公式：即可计算出结果。‎ ‎【详解】向量、的夹角为120°，，，‎ 所以44•4×1+4×1×3×cos120°+9＝7，‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量模的计算，属于基础题。‎ ‎6.将直线2x+y+3＝0绕着它与x轴的交点，按顺时针方向旋转，得到直线l，则直线l的方程为_____．‎ ‎【答案】6x﹣2y+9＝0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求出直线与x轴的交点，再利用到角公式计算出斜率，即可写出直线方程。‎ ‎【详解】在方程2x+y+3＝0中，取y＝0，可得直线与x轴的交点A（，0），‎ 按顺时针方向旋转，设所得直线的斜率为k，‎ 则有tan1，求得k＝3，故所得直线l的方程为y＝3（x），‎ 化简可得6x﹣2y+9＝0，‎ 故答案为：6x﹣2y+9＝0‎ ‎【点睛】本题主要考查了到角公式，属于基础题。‎ ‎7.一直线过点P（1，0），且点Q（﹣1，1）到该直线的距离等于2，则该直线的倾斜角为_____．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先讨论当直线的斜率存在与不存在时两种情况，当斜率存在时，设斜率为，写出直线方程，根据点到直线的距离公式计算出k,当斜率不存在时，倾斜角直接为 ‎【详解】设该直线的斜率为k，倾斜角为θ，θ∈[0，π），则k＝tanθ．‎ 直线的方程为y﹣0＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k＝0．‎ 根据点Q（﹣1，1）到该直线的距离等于2，可得 2，求得k＝tanθ，∴θ=arctan．‎ 当直线的斜率不存在时，方程为x＝1，检验满足条件，此时直线的倾斜角为，‎ 故答案为：或 ‎【点睛】本题主要考查了直线的方程，点到直线的距离公式，属于基础题。‎ ‎8.在△ABC中，AB＝4，AC＝3，角A的平分线与AB边上的中线交于点O，，则的值为_____．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据内角平分线定理把转化成关系，带入，即可整体计算出 ‎【详解】在△ABC中，AB＝4，AC＝3，‎ 设角A的平分线与AB边上的中线CD交于点O，‎ 由内角平分线定理可得，，‎ ‎∴（）；‎ ‎∴••6；‎ ‎∴•（6）（642）＝3．‎ ‎【点睛】本题主要考查了内角平分线定理以及向量的三角形法则，属于基础题 ‎9.已知，，，若0≤λ≤1≤μ≤2时，（m＞0，n＞0）的最大值为1，则m+n的最小值为_____．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据找出的关系，再利用基本不等式即可求出m+n的最小值 ‎【详解】∵（1，2），（0，1），‎ ‎∴（x，y）＝λ（1，2）+μ（0，1），‎ ‎∴x＝λ，y＝2λ+μ；‎ ‎∵0≤λ≤1≤μ≤2，所以1（m＞0，n＞0）‎ 故（m+n）（）≥（1+2）2＝9，当且仅当m时，等号成立）．‎ 此时，所以m+n的最小值为9‎ 故答填：9‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算以及基本不等式，再利用基本不等式时一定要考虑什么时候取到等号，属于中等题。‎ ‎10.已知△ABC满足，点D为线段AB上一动点，若的最小值为﹣1，则△ABC的面积S＝_____．‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据题目作出图像，再根据题目计算化简即可。‎ ‎【详解】由题意可得图像如图 设，，，‎ 则AM∥EN，AN∥ME，四边形AMEN平行四边形，‎ ‎，，，．‎ ‎∴cos∠EMA，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴，‎ ‎1，‎ 当且仅当时，取等号，‎ ‎∴，，‎ ‎∴△ABC的面积s12，‎ 故答案为：12‎ ‎【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算和平面向量的数量积，属于中等题。‎ 二.选择题 ‎11.下列命题中，正确的是（ ）‎ A. 直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B. 直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tanα C. 直线的斜率为tanα，则直线的倾斜角是α D. 直线倾斜角时，直线的斜率分别在这两个区间上单调递增 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直线的倾斜角与斜率的关系，即倾斜角存在斜率不一定存在，斜率存在倾斜角一定存在。‎ ‎【详解】A.直线的倾斜角 时，直线的斜率分别在这两个区间上单调递增,故错误，B.当时斜率不存在。C.只有当时，直线的倾斜角才是α 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了倾斜角与斜率的关系，属于基础题。‎ ‎12.向量（a1，a2）与（b1，b2）平行是二元一次方程组存在无穷多解的（ ）‎ A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量（a1，a2）与（b1，b2）平行可得，根据方程组存在无穷多解，可得可得 ‎【详解】根据向量（a1，a2）与（b1，b2）平行可得，根据方程组存在无穷多解，可得，所以向量（a1，a2）与（b1，b2）平行是二元一次方程组存在无穷多解必要不充分条件。‎ 故选择B ‎【点睛】本题主要考查了利用行列式判断二元一次方程解的问题，属于基础题 ‎13.已知直线l1的方程是ax﹣y+b＝0，l2的方程是x+by﹣a＝0（ab≠0，a≠b），则下列各示意图中，正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由直线l1方程是ax﹣y+b＝0，l2的方程是x+by﹣a＝0（ab≠0，a≠b）可得，直接带答案，看截距和斜率即可。‎ ‎【详解】由直线l1的方程是ax﹣y+b＝0，l2的方程是x+by﹣a＝0（ab≠0，a≠b）可得 对于A答案：，，故选择A;对于B答案：矛盾;对于C答案矛盾;对于D答案矛盾 ‎ 故选择：A ‎【点睛】本题考查了直线的斜率和截距的意义，数学结合的思想，属于基础题。‎ ‎14.设，，O为坐标原点，动点P（x，y）满足，，则x+y的最大值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量的线性运算得出，再利用线性规划即可计算出x+y的最值。‎ ‎【详解】由题意可得表示的区域如图 根据线性规划的最优解可得到当时x+y的最大值为 故选择：C ‎【点睛】本题主要考查了向量的线性运算以及线性规划，属于基础题。‎ 三.解答题 ‎15.利用二阶行列式，讨论两条直线的位置关系．‎ ‎【答案】m＝﹣1时，两直线重合；m＝﹣8时，两直线平行；m≠﹣1或者m≠﹣8时，两直线相交．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先写出二阶行列式，在D＝0和D≠0，讨论即可。‎ ‎【详解】D（m+1）（m+8）， ‎ ‎（3m+10）（m+1）‎ 当D＝0时，m＝﹣1或者m＝﹣8，m＝﹣1时，D＝Dx＝Dy＝0，两直线重合．m＝﹣8时，，两直线平行．‎ 当D≠0，即m≠﹣1或者m≠﹣8时，两直线相交．‎ 综上所述m＝﹣1时，两直线重合；m＝﹣8时，两直线平行；m≠﹣1或者m≠﹣8时，两直线相交．‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用行列式判断两直线的位置关系，属于基础题。‎ ‎16.已知向量，向量是与向量夹角为的单位向量．‎ ‎（1）求向量；‎ ‎（2）若向量与向量共线，且与的夹角为钝角，求实数x的取值范围．‎ ‎【答案】(1)（0，1）或；(2) （﹣∞，﹣2）∪（﹣2，）∪（0，2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设向量，由题意可得，解方程组即可。‎ ‎(2)由（1）和向量与向量共线，可知，因为与的夹角为钝角，所以，且两个向量不共线，即可解出的范围。‎ ‎【详解】（1）向量，向量是与向量夹角为的单位向量，‎ 则（，）＝（cos，sin），‎ 所以（cos（），sin（））＝（cos，sin）＝（0，1）；‎ 或（cos（），sin（））＝（cos，sin）＝（，）；‎ 所以向量（0，1）或；‎ ‎（2）由向量与向量共线，得（，）；‎ 又与的夹角为钝角，‎ 则，‎ 即，‎ 解得，‎ 所以实数x的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，）∪（0，2）．‎ ‎【点睛】本题主要考查平面向量基本定理以及坐标表示和平面向量数量积，属于中等题。‎ ‎17.某学校在平面图为矩形的操场ABCD内进行体操表演，其中AB＝40，BC＝15，O为AB上一点，且BO＝10，线段OC、OD、MN为表演队列所在位置（M、N分别在线段OD、OC上），△OCD内的点P为领队位置，且P到OC、OD的距离分别为、，记OM＝d，我们知道当△OMN面积最小时观赏效果最好．‎ ‎（1）当d为何值时，P为队列MN的中点；‎ ‎（2）怎样安排M的位置才能使观赏效果最好？求出此时△OMN的面积．‎ ‎【答案】(1)．(2) M，N，P 三点共线，面积为．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎1）以O为坐标原点，AB所在直线为x轴，过O垂直于AB的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，OC：y＝1.5x；OD：y＝﹣0.5x，设P（a，b），M（﹣2m，m），N（n，1.5n ‎），（m＞0，n＞0），求解即可 ‎（2）通过推出，利用基本不等式以及三角形面积公式即可 ‎【详解】（1）以O为坐标原点，AB所在直线为x轴，过O垂直于AB的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．则C（10，15），B（10，0），D（﹣30，15），P（﹣4，4）．OC：y＝1.5x；OD：y＝﹣0.5x，‎ 设P（a，b），M（﹣2m，m），N（n，1.5n），（m＞0，n＞0），‎ P到OC、OD的距离分别为、，联立解方程组，得，‎ ‎∵P为MN的中点，所以，得m，n，所以，‎ ‎∴d＝|OM|．‎ ‎（2）由M，N，P 三点共线，得，5m+6.5n＝4mn，即，‎ S△OMN，‎ ‎（2m+n），当且仅当5n2＝13m2成立，‎ 所以△OMN面积最小为．‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线的方程，基本不等式以及三角形面积公式的综合应用，属于中等题，‎ ‎18.如图，O坐标原点，从直线yx+1上的一点作x轴的垂线，垂足记为Q1，过Q1作OP1的平行线，交直线yx+1于点，再从P2作x轴的垂线，垂足记为Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1，P2，Q2，…，Pn，Qn，记Pk点的坐标为，k＝1，2，3，…，n，现已知x1＝2．‎ ‎（1）求Q2、Q3的坐标；‎ ‎（2）试求xk（1≤k≤n）的通项公式；‎ ‎（3）点Pn、Pn+1之间的距离记为|PnPn+1|（n∈N*），是否存在最小的正实数t，使得t对一切的自然数n恒成立？若存在，求t的值，若不存在，请说明理由 ‎【答案】(1) Q2（6，0），Q3（14，0）；(2)，1≤k≤n； (3)存在，．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先根据OP1∥P2Q1，计算出Q2的坐标，再根据OP1∥P3Q2即可计算出Q3的坐标。‎ ‎（2）由Pk（xk，xk+1），Qk﹣1（xk﹣1，0），OP1∥PkQk﹣1，可得1，化为xk＝2xk﹣1+2，利用配凑法即可计算出通项式，‎ ‎（3）利用|PnPn+1||xn+1﹣xn||2n+2﹣2n+1|•2n，可得（）•‎ ‎（1）。‎ ‎【详解】（1）x1＝2，即有P1（2，2），，Q1（2，0），P2（x2，x2+1），OP1∥P2Q1，‎ 可得1，解得x2＝6，则Q2（6，0），由P2（6，4），P3（x3，x3+1），‎ OP1∥P3Q2，可得1，解得x3＝14，Q3（14，0）；‎ ‎（2）由Pk（xk，xk+1），Qk﹣1（xk﹣1，0），‎ OP1∥PkQk﹣1，可得 ‎1，化为xk＝2xk﹣1+2，‎ 即为xk+2＝2（xk﹣1+2），‎ 可得数列{xk+2}为首项是4，公比为2的等比数列，‎ 则xk+2＝4•2k﹣1，‎ 可得，1≤k≤n；‎ ‎（3）|PnPn+1|‎ ‎|xn+1﹣xn||2n+2﹣2n+1|•2n，‎ ‎（）•（1），‎ 假设存在最小的正实数t，使得t对一切的自然数n恒成立，‎ 可得t，故存在这样的t，且t的最小值为．‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线与数列的综合应用，属于较难的题目。‎ ‎ ‎