贵州省毕节市梁才学校2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

贵州省毕节市梁才学校2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

www.ks5u.com 毕节梁才学校2019年秋期高2019级高一上期半期考试试题 数 学 第I卷（选择题 ，共60分）‎ 一、选择题：每小题5分，共60分 ‎1.设集合，，则集合中的元素共有（ ）‎ A. 1个 B. 5个 C. 6个 D. 8个 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据集合并集的运算性质，求出，即可选出答案.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以 所以集合中的元素共有6个.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查集合并集的运算及集合元素的个数，属于基础题。解本类题型需熟练掌握集合的交并补运算规律.‎ ‎2.函数的定义域是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分式函数分母不为零，偶次根式大于等于零，解出不等式即可选出答案.‎ ‎【详解】由题意知：.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查函数的定义域,属于基础题.解本类题型需牢记：未给取值范围的函数的定义域为：使函数表达式有意义的的取值范围.常见的几类为：①函数 的定义域为 ‎ ,②函数 的定义域为，③函数的定义域为,④函数的定义域为.‎ ‎3.在1859年，我国清代著名数学家李善兰在翻译《代数学》这一书时，把“function”翻译成中文“函数”，函数指一个量随着另一个量的变化而变化.下列函数中与具有相同图像的一个函数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两函数具有相同的图像，即定义域与对应法则都相同.即可判断出答案.‎ ‎【详解】函数的定义域为.‎ A. 函数定义域为 .不相同.‎ B. 函数的定义域为..不相同.‎ C. 函数的定义域为.不相同.‎ D. 函数的定义域为，.相同.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查函数相等，属于基础题.函数相等需考虑两个问题:定义域相同、对应法则相同.‎ ‎4.若函数在区间上是单调递减的,则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出对称轴，根据二次函数的单调性即可选出答案.‎ ‎【详解】函数开口向上.且对称轴为 .‎ 因为函数在区间上是单调递减.‎ 所以.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查二次函数的单调区间，属于基础题.解本类题型需熟练掌握二次函数单调区间的判断.‎ ‎5.已知函数，则的值等于（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数的定义代值求解即可.‎ ‎【详解】‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的求值问题,属于基础题.解本类题型需熟练掌握分段函数的定义.‎ ‎6.下列函数既是偶函数又是幂函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对选项中的函数逐一分析，由此确定函数既是偶函数又是幂函数的正确选项.‎ ‎【详解】对于A，函数是奇函数，不合题意；‎ 对于B，函数是偶函数且是幂函数，符合题意；‎ 对于C，函数不是偶函数，不合题意；‎ 对于D，函数不是幂函数，不合题意.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查幂函数的定义，属于基础题.‎ ‎7.函数的图象恒过定点（ ）‎ A. （2，2） B. （2，1） C. （3，2） D. （2，0）‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：函数恒过（1,0）点，即在它的范围内不论取什么值，x=1,y=0恒成立.类似令x-1=1,即x=2,f(2)=2,所以恒过（2,2）.故选A.‎ 考点：过定点的问题，就是要让参数不起作用，由恒过（1,0）点类似可得结论.‎ ‎8.函数，则的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将与0,1比较大小后即可选出答案.‎ ‎【详解】因为 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查指数式对数式比较大小.属于基础题,本类题型一般将所给数与0、1比较大小.即可得出答案.‎ ‎9.对数函数且与二次函数在同一坐标系内的图象可能是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数函数的单调性，分类讨论，结合二次函数的图象与性质，利用排除法，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，若，则在上单调递减，‎ 又由函数开口向下，其图象的对称轴在轴左侧，排除C，D.‎ 若，则在上是增函数，‎ 函数图象开口向上，且对称轴在轴右侧，‎ 因此B项不正确，只有选项A满足.‎ ‎【点睛】本题主要考查了对数函数与二次参数的图象与性质，其中解答中熟记二次函数和对数的函数的图象与性质，合理进行排除判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎10.已知函数对于任意都有成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知函数在上单调递减，再由分段函数的单调性质列出不等式，即可解出的取值范围.‎ ‎【详解】因对于任意都有,‎ 所以函数在上单调递减.‎ 即 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的单调性,属于中档题.分段函数单调递减：函数在各分段上单调递减，左界点大于等于右界点. 分段函数单调递增：函数在各分段上单调递增，左界点小于等于右界点.‎ ‎11.已知光通过一块某种玻璃，强度要损失10%.那么要使光的强度减弱到原来的以下，则至少需要通过这样的玻璃（参考数据：）（ ）‎ A. 6块 B. 7块 C. 8块 D. 9块 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知： ，再解出即可.‎ ‎【详解】由题意知：经过块玻璃的光的强度减弱符合等比数列，‎ 要使光的强度减弱到原来的以下，即即.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的应用,属于中档题.解本题需将实际问题抽象出等比数列问题.再利用等比数列的相关性质解决实际问题.‎ ‎12.函数满足，且，当时，，若存在时，使得成立，则的取值范围为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，求出当时，，由于在在上单调递减，即.‎ ‎【详解】当时，所以.‎ 又因为，即.‎ 当时，所以.‎ 又因为，即.‎ 所以当时,‎ 存时，使得成立，即当时.‎ 又函数在单调递减，‎ 所以.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题综合考察函数与不等式的存在性问题，属于难题.解本题的思路是：首先根据题意求出目标区间的函数表达式，再利用存在性问题判断出求最大值还是最小值,再利用单调性求出所在区间的最值，即可得出答案.‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上）‎ ‎13.已知全集，，则A在U中的补集为______________ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由补集的定义求出即可.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以 ‎ 故填：.‎ ‎【点睛】本题考查集合的补集运算，属于基础题.熟练掌握集合的补集定义是解本题的关键.‎ ‎14.若函数是奇函数，则实数的值是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数是奇函数，得到，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，函数是奇函数，所以，解得，‎ 当时，函数满足，‎ 所以.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解参数问题，其中解答中熟记奇函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎15.函数的单调增区间是_______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出函数的定义域，再由复合函数的单调性判断出单调递增区间.‎ ‎【详解】函数的定义域为： ,‎ 令 ，则在上单调递增，在上单调递减.‎ 由单调递增.‎ 所以函数的单调增区间为.‎ 故填：.‎ ‎【点睛】本题考查复合函数的单调性，属于基础题.‎ 解本类题型需注意要首先考虑函数的定义域.再利用同增异减判断复合函数的单调性.‎ ‎16.下列说法： ‎ ‎①函数的图象和直线的公共点个数是，则的值可能是；‎ ‎②若函数定义域为且满足，则它图象关于轴对称； ‎ ‎③函数的值域为；‎ ‎④若函数在上有零点，则实数的取值范围是.‎ 其中正确的序号是_________.‎ ‎【答案】①③④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①：画出函数图像即可得出答案.‎ ‎②：的函数关于轴对称.‎ ‎③：讨论的正负号，利用函数的单调性分别求出函数的值域.再求并集即可.‎ ‎④：讨论二次函数的对称轴的位置，再利用函数的零点分布性质列出不等式，解出即可.‎ ‎【详解】①画出函数的图象，如图所示：‎ 则的值可能是.正确.‎ ‎②若函数定义域为且满足，则它的图象关于对称,错误.‎ ‎③函数，‎ 当时，在单调递增，所以 当时，在单调递增，‎ 所以函数的值域为.‎ ‎④当时函数在上单调递减，在上单调递增.‎ 函数在上有零点等价于： 或 即.‎ 所以.‎ 当时函数在上单调递减。‎ 函数在上有零点等价于：无解.‎ 综上所述：.正确.‎ 故填：①③④‎ ‎【点睛】本题综合考查函数图像的交点个数、函数的对称性、函数的值域、根据函数的零点个数求参数的取值范围.属于难题.解本类题型需识记函数对称性的表述，常常借助函数图像来理解两函数的交点问题.‎ 三、解答题：6小题，共70分 ‎17.求值．‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎【答案】（1）；（2）4.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用分式指数幂的运算性质化简计算即可.‎ ‎（2）利用同底对数的运算性质化简计算即可.‎ ‎【详解】（1）原式=‎ ‎（2）原式=‎ ‎【点睛】本题考查分数指数幂的运算与同底对数式的运算，属于基础题,解本类题需熟练掌握其运算性质.‎ ‎18.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，.‎ ‎（1）在下列坐标系中作出函数在上的部分图象并写出函数的解析式；‎ ‎（2）写出函数的增区间和值域；‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）增区间，值域.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据当时，，画出的函数图像，再利用对称性画出的即可.‎ ‎（2）根据图像写出函数的增区间和值域即可.‎ ‎【详解】（1）如图所示：‎ ‎ ‎ ‎（2）如图所示：函数的增区间为，值域为 ‎【点睛】本题考查指数函数的图像，偶函数的性质，根据图形写单调区间与值域.属于基础题.‎ ‎19.已知函数的定义域为A，函数的值域为B.‎ ‎（1）求 ‎（2）若集合，，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意分别求出集合.再求交集即可.‎ ‎（2）根据，分与，分别求出的取值范围，再求并集即可.‎ ‎【详解】（1）由得，‎ ‎，‎ ‎（2）当即时，，满足 当即时，‎ 由得解得 综上可知或 ‎【点睛】本题考查集合交集运算与集合的子集.属于基础题.其中正确求解集合是解本类题的首要条件.在第二问题不要遗忘讨论空集，空集的性质：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.‎ ‎20.已知定义在R上的函数满足,.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）判断的奇偶性；‎ ‎（3）判断并证明函数在区间上的单调性；求在上的值域.‎ ‎【答案】（1）；（2）奇函数；（3）单调递减，证明详见解析；值域为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将,，代入函数，解出即可.‎ ‎（2）首先求出函数的定义域为 ,再计算，即可得出结论.‎ ‎（3）利用函数单调性的定义，即可说明函数在区间上的单调递减,即可求出其值域.‎ ‎【详解】（1）由解得 ‎（2）的定义域为R,‎ 为奇函数.‎ ‎(3)函数在区间上单调递减 .‎ 设，则 ‎，‎ 又 ‎ 即 所以函数在区间上单调递减 .‎ 在上的值域为 ‎【点睛】本题考查函数奇偶性，利用函数单调性的定义证明函数的单调性,利用函数的单调性求函数的值域.属于中档题.函数的奇偶性判断：①定义域关于原点对称;②若则函数为偶函数、若则函数为奇函数.函数的单调性证明：取值-作差-化简变形-判断正负号-说明单调性.‎ ‎21.美国一贯推行强权政治，2018年3月22日，美国总统特朗普在白宫签署了对中国输美产品征收关税的总统备忘录，限制中国商品进入美国市场。中国某企业计划打入美国市场，决定从A、B两种产品中只选一种进行投资生产，已知投入生产这两种产品的有关数据如下表：（单位：万元）‎ 年固定成本 每件产品成本 每件产品销售价 每年最多可生产件数 A产品 ‎40‎ m ‎15‎ ‎200‎ B产品 ‎60‎ ‎10‎ ‎22‎ ‎150‎ 其中固定成本与年生产的件数无关，m是待定的常数，其值由生产A产品的原材料决定，预计，另外，年销售件B产品时需交0.05万元的附件关税，假设生产出来的产品都能在当年销售出去.‎ ‎(1)求该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润与生产相应产品的件数之间的函数关系，并求出其定义域；‎ ‎(2)如何投资才可获得最大年利润？请设计出投资方案.‎ ‎【答案】（1）且；且；（2）分类讨论，详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意写出函数表达式与定义域即可.‎ ‎（2）分别求出的最大值，再讨论的取值即可得出结论.‎ ‎【详解】（1）设年销售量件，则生产A、B两产品的年利润分别为：‎ 且 且 ‎（2），，为增函数 时，生产A产品有最大利润为万元;‎ 且,时的最大利润为660万元 当时，，；‎ 当时，，；‎ 当时，，；‎ 所以当时，选择投资生产A或B产品均可获得最大利润；‎ 当时，选择投资生产A产品均可获得最大利润；‎ 当时，选择投资生产B产品均可获得最大利润.‎ ‎【点睛】本题考查函数的应用，属于中档题.根据实际问题写出函数解析式是解本题的首要条件，再利用函数的相关性质，求解出相关结论，再返回实际问题.‎ ‎22.已知函数是偶函数.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)若函数的图像与的图像有交点，求的取值范围；‎ ‎(3)若函数，是否存在实数使得最小值为1，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）-1；（2）；（3）存在使得最小值为1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用函数为偶函数即对任意都有，即可解出的值.‎ ‎（2）函数图像与的图像有交点，即，参变分离即有解，求出函数的值域即可得出答案.‎ ‎（3）代入化简得，令，则,即讨论在区间的最值，即可得出答案.‎ ‎【详解】（1）为偶函数 即即，‎ 即对任意都成立，‎ ‎（2）由题知即有解，‎ 令，则与有交点，‎ ‎，‎ 的范围为.‎ ‎（3）‎ 令，‎ 则 对称轴，开口向上 当即时， 在上递增，，‎ 当即时，，此时无解 当即时，在上递减，，此时无解 ‎ 综上，存在使得最小值为1.‎ ‎【点睛】本题考查函数偶函数性质的应用，两函数的交点问题，根据函数的最小值求参数的值。属于难题.第三问中利用换元法将函数化为讨论二次函数的最值问题是解题的关键.其中利用换元法一定要注意新元的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎