2013大纲卷（文）数学试题
2013·全国卷(文科数学)
1． 设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2}，则∁UA＝( )
A．{1，2} B．{3，4，5}
C．{1，2，3，4，5} D．∅
1．B [解析] 所求的集合是由全集中不属于集合A的元素组成的集合，显然是{3，4，5}．
2． 已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α＝( )
A．－ B．－ C. D.
2．A [解析] cos α＝－＝－.
3． 已知向量＝(λ＋1，1)，＝(λ＋2，2)，若(＋)⊥(－)，则λ＝( )
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
3．B [解析] (＋)⊥(－)⇔(＋)·(－)＝0⇔＝，所以(λ＋1)2＋12＝(λ＋2)2＋22，解得λ＝－3.
4． 不等式|x2－2|<2的解集是( )
A．(－1，1) B．(－2，2)
C．(－1，0)∪(0，1) D．(－2，0)∪(0，2)
4．D [解析] |x2－2|<2等价于－2
0)的反函数f－1(x)＝( )
A.(x>0) B.(x≠0)
C．2x－1(x∈) D．2x－1(x>0)
6．A [解析] 令y＝log2，则y>0，且1＋＝2y，解得x＝，交换x，y得f－1(x)＝(x>0)．
7． 已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－，则{an}的前10项和等于( )
A．－6(1－3－10) B.(1－310)
C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10)
7．C [解析] 由3an＋1＋an＝0，得an≠0(否则a2＝0)且＝－，所以数列{an
}是公比为－的等比数列，代入a2可得a1＝4，故S10＝＝3×＝3(1－3－10)．
8． 已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为( )
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
8．C [解析] 设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，与直线x＝1联立得y＝±(c＝1)，所以2b2＝3a，即2(a2－1)＝3a，2a2－3a－2＝0，a>0，解得a＝2(负值舍去)，所以b2＝3，故所求椭圆方程为＋＝1.
9． 若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图像如图1－1所示，则ω＝( )
图1－1
A．5 B．4
C．3 D．2
9．B [解析] 根据对称性可得为已知函数的半个周期，所以＝2×，解得ω＝4.
10． 已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处切线的斜率为8，则a＝( )
A．9 B．6
C．－9 D．－6
10．D [解析] y′＝4x3＋2ax，当x＝－1时y′＝8，故8＝－4－2a，解得a＝－6.
11． 已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )
A. B.
C. D.
11．A [解析] 如图，联结AC，交BD于点O.由于BO⊥OC，BO⊥CC1，可得BO⊥平面OCC1，从而平面OCC1⊥平面BDC1，过点C作OC1的垂线交OC1于点E，根据面面垂直的性质定理可得CE⊥平面BDC1，∠CDE即为所求的线面角．设AB＝2，则OC＝，OC1＝＝3，所以CE＝＝＝，所以sin ∠CDE＝＝.
12．、 已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2，2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若·＝0，则k＝( )
A. B.
C. D．2
12．D [解析] 抛物线的焦点坐标为(2，0)，设直线l的方程为x＝ty＋2，与抛物线方程联立得y2－8ty－16＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－16，y1＋y2＝8t，x1＋x2＝t(y1＋y2)＋4＝8t2＋4，x1x2＝t2y1y2＋2t(y1＋y2)＋4＝－16t2＋16t2＋4＝4.
·＝(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2－2(y1＋y2)＋4
＝4＋16t2＋8＋4－16－16t＋4＝16t2－16t＋4＝4(2t－1)2＝0，解得t＝，所以k＝＝2.
13． 设f(x)是以2为周期的函数，且当x∈[1，3)时，f(x)＝x－2，则f(－1)＝________
13．－1 [解析] f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)＝1－2＝－1.
14．、 从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有____种．(用数字作答)
14．60 [解析] 从6人逐次选出1人，2人，3人分别给奖项即可，方法数为CCC＝60.
15． 若x，y满足约束条件则z＝－x＋y的最小值为________．
15．0 [解析] 已知不等式组表示区域如图中的三角形ABC及其内部，目标函数的几何意义是直线y＝x＋z在y轴上的截距，显然在点A取得最小值，点A(1，1)，故zmin＝－1＋1＝0.
16．、 已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，OK＝，且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O的表面积等于________．
16．16π [解析] 设两圆的公共弦AB的中点为D，则KD⊥DA，OD⊥DA，∠ODK
即为圆O和圆K所在平面所成二面角的平面角，所以∠ODK＝60°.由于O为球心，故OK垂直圆K所在平面，所以OK⊥KD.在直角三角形ODK中，＝sin 60°，即OD＝×＝，设球的半径为r，则DO＝r，所以r＝，所以r＝2，所以球的表面积为4πr2＝16π.
17．、 等差数列{an}中，a7＝4，a19＝2a9.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.
17．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
则an＝a1＋(n－1)d.
因为所以
解得a1＝1，d＝.
所以{an}的通项公式为an＝.
(2)因为bn＝＝＝－，所以
Sn＝－＋－＋…＋－
＝.
18．、 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac.
(1)求B；
(2)若sin Asin C＝，求C.
18．解：(1)因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，
所以a2＋c2－b2＝－ac.
由余弦定理得cos B＝＝－，
因此B＝120°.
(2)由(1)知A＋C＝60°，
所以cos (A－C)
＝cos Acos C＋sin Asin C
＝cos Acos C－sin Asin C＋2sin Asin C
＝cos(A＋C)＋2sinAsin C
＝＋2×
＝，
故A－C＝30°或A－C＝－30°，
因此C＝15°或C＝45°.
19．、 如图1－3所示，四棱锥P—ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是边长为2的等边三角形．
图1－3
(1)证明：PB⊥CD；
(2)求点A到平面PCD的距离．
19．解：(1)证明：取BC的中点E，联结DE，则四边形ABED为正方形．过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O.联结OA，OB，OD，OE.由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA＝PB＝PD，
所以OA＝OB＝OD，即点O为正方形ABED对角线的交点．故OE⊥BD，从而PB⊥OE.因为O是BD的中点，E是BC的中点，所以OE∥CD.
因此PB⊥CD.
(2)取PD的中点F，联结OF，则OF∥PB.
由(1)知，PB⊥CD，故OF⊥CD.
又OD＝BD＝，OP＝＝，
故△POD为等腰三角形，因此OF⊥PD.
又PD∩CD＝D，所以OF⊥平面PCD.
因为AE∥CD，CD⊂平面PCD，AE⊄平面PCD，所以AE∥平面PCD.
因此O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离，而OF＝PB＝1，
所以点A到平面PCD的距离为1.
20．、、 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．
(1)求第4局甲当裁判的概率；
(2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率．
20．解：(1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，
A2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，
A表示事件“第4局甲当裁判”．
则A＝A1·A2，
P(A)＝P(A1·A2)＝P(A1)P(A2)＝.
(2)记B1表示事件“第1局比赛结果为乙胜”，
B2表示事件“第2局乙参加比赛时，结果为乙胜”，
B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙胜”，
B表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判”．
则B＝B1·B3＋B1·B2·B3＋B1·B2，
P(B)＝P(B1·B3＋B1·B2·B3＋B1·B2)
＝P(B1·B3)＋P(B1·B2·B3)＋P(B1·B2)
＝P(B1)P(B3)＋P(B1)P(B2)P(B3)＋P(B1)P(B2)
＝＋＋
＝.
21．、 已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1.
(1)当a＝－时，讨论f(x)的单调性；
(2)若x∈[2，＋∞)时，f(x)≥0，求a的取值范围．
21．解：(1)当a＝－时，f(x)＝x3－3 x2＋3x＋1，
f′(x)＝3x2－6 x＋3.
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝＋1.
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，－1)上是增函数；
当x∈(－1，＋1)时，f′(x)<0，f(x)在(－1，＋1)上是减函数；
当x∈(＋1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(＋1，＋∞)上是增函数．
(2)由f(2)≥0得a≥－.
当a≥－，x∈(2，＋∞)时，
f′(x)＝3(x2＋2ax＋1)≥3＝
3(x－2)>0，
所以f(x)在(2，＋∞)上是增函数，于是当x∈[2，＋∞)时，f(x)≥f(2)≥0.
综上，a的取值范围是.
22．、、 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y＝2与C的两个交点间的距离为.
(1)求a，b；
(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．
22．解：(1)由题设知＝3，即＝9，故b2＝8a2.
所以C的方程为8x2－y2＝8a2.
将y＝2代入上式，并求得x＝±.
由题设知，2 ＝，解得a2＝1.
所以a＝1，b＝2 .
(2)证明：由(1)知，F1(－3，0)，F2(3，0)，C的方程为8x2－y2＝8.①
由题意可设l的方程为y＝k(x－3)，|k|<2，代入①并化简得(k2－8)x2－6k2x＋9k2＋8＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≤－1，x2≥1，x1＋x2＝，x1x2＝.
于是
|AF1|＝＝＝－(3x1＋1)，
|BF1|＝＝＝3x2＋1.
由|AF1|＝|BF1|得－(3x1＋1)＝3x2＋1，即x1＋x2＝－.
故＝－，解得k2＝，从而x1x2＝－.
由于|AF2|＝＝＝1－3x1，
|BF2|＝＝＝3x2－1，
故|AB|＝|AF2|－|BF2|＝2－3(x1＋x2)＝4，
|AF2|·|BF2|＝3(x1＋x2)－9x1x2－1＝16.
因而|AF2|·|BF2|＝|AB|2，
所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．
