高考数学倒计时20天正能量第1辑金题强化卷08文解析版

高考数学倒计时20天正能量第1辑金题强化卷08文解析版

普通高等学校招生全国统一考试金题强化卷 数学文（8） 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，第 I 卷第 1 至 2 页，第 II 卷第 3 至第 4 页。满分 150 分，考试时间 120 分钟。 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴 的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2.第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第 II 卷用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上 书写作答，在试题卷上作答，答题无效。 3.考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。 参考公式： 锥体体积公式 V= 1 3 Sh，其中 S 为底面积，h 为高。 第 I 卷 一．选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1. 【河南省三门峡市2013届高三第一次大练习】i 是虚数单位， 12 3 3 i i 等于 A. 1 3 4 12 i B.3 3i C. 3 3i D. 1 3 4 12 i 2. 【改编题】若集合 A＝｛－1，0，1｝，B＝｛y｜y＝cosx，x∈A｝，则 A∩B＝ A．｛0｝ B．｛1｝ C．｛0，1｝ D．｛－1，0，1｝ 3. 【广州市 2013 届高三年级 1 月调研测试】已知函数   2 0 3 0x x xf x x log , ,     , 则 1 4f f         的值是 A．9 B． 1 9 C． 9 D． 1 9  【答案】 B 【解析】 2 2 2 1 1log log 2 24 4f         ，   21 12 34 9f f f            4.【山东省日照市 2012 届高三下学期 5 月份模拟训练】要得到函数 )42cos(3  xy 的图 象，可以将函数 xy 2sin3 的图象 （A）沿 x 轴向左平移 8  个单位 （B）沿 x 向右平移 8  个单位 （C）沿 x 轴向左平移 4  个单位 （D）沿 x 向右平移 4  个单位 5. 【2013 届安徽省示范高中高三 9 月模底考试】样本中共有 5 个个体，其中四个值分别为 0，1，2，3，第五个值丢失，但该样本的平均值为 1，则样本方差为＝（ ） A、 30 5 B、 6 5 C、 2 D、2 6. 【2012 年河南郑州高中毕业年级第一次质量预测】 若实数 yxz x yx yx yx 23 0 0 01 ,        则满足 的最小值是 A．0 B. 1 C. 3 D. 9 【答案】B 【解析】可行域如图，可知 B(0,1),O(0,0),由 1=0 1 1( ),=0 2 2 x y Ax y     ， ， 显然当目标函数 2z x y   过点 O 是取得最小值为 0，故 23x yz  的最小值 为 1. 7. 【广东省珠海市 2013 届高三 9 月摸底一模考试】如图是 某几何体的三视图，则此几何体的体积是 A．36 B．108 C．72 D．180 x y BA B O -1 x-y+1=0 x+y=0x+2y=0 【答案】B 【解析】由三视图可知，该几何体是一个有正四棱柱和上面的一个正四棱锥，其体积为 16 6 2+ 6 6 3=108.3      8. 【山东省泰安市 2012 届高三第一次模拟考试】F1、F2 为双曲线 C： 12 2 2 2  b y a x （ a ＞0， b＞0）的焦点，A、B 分别为双曲线的左、右顶点，以 F1F2 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一 象限的交点为 M，且满足 MAB=30°，则该双曲线的离心率为（ ） A 21 2 B 21 3 C 19 3 D 19 2 9.【 河南省开封市高考数学一模试卷】已知直线 ax﹣by﹣2=0 与曲线 y=x3 在点 P（1，1） 处的切线互相垂直，则 为（ ） A． B． C． D． 10. 【2012 年临沂市高三教学质量检测考试】已知函数 ( )f x 满足 ( 1) ( )f x f x   ，且 ( )f x 是偶函数，当 [0,1]x 时， 2( )f x x ，若在区间[ 1,3] 内，函数 ( ) ( )g x f x kx k   有 4 个零点，则实数 k 的取值范围是 (A) (0, ) (B) 1(0, ]2 (C) 1(0, ]4 (D) 1 1[ , ]4 3 第Ⅱ卷共 2 页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。 二。填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 11. 【潮州市 2012-2013 学年度第一学期期末质量检测】某校有 4000 名学生，各年级男、 女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到高一男生的概率是 0.2 ，则高二的学生人数为______． 高一 高二 高三 女生 600 y 650 男生 x z 750 12. 【山东省临沂市 2012 届高三第二次模拟试题】在 ABC 中，已知 D 是边 AB 上的一 点，若 2AD DB  ， 1 3CD CA CB    ，则   ___________； 13. 【湖北省黄冈市 2012 高三五月模拟考试】 已知如下等式：  2 213 4 3 47    ，  2 2 3 313 3 4 4 3 47      ，  3 2 2 3 4 413 3 4 3 4 4 3 47        ，  4 3 2 2 3 4 5 513 3 4 3 4 3 4 4 3 47          ，  则由上述等式可归纳得到  1 2 23 3 4 3 4 1 4nn n n n         ____（ *Nn  ）. 【答案】 )]()4(3[7 1 *11 Nnnn   【解析】由归纳推理，可得原式= )]()4(3[7 1 *11 Nnnn   ． 14. 【安徽省示范高中 2013 届高三 9 月摸底考试】已知 O 为坐标原点，圆 C：x2＋y2＋x－ 6y＋3＝0 与直线 l：x＋2y－3＝0 的两个交点为 P，Q，则∠POQ＝ 。 【答案】90 【解析】      032 03622 yx yxyx )3,3(),1,1(  QP , 0OQOP  90POQ . 15. 【原创题】右图所示的是根据输入的 x 值计算 y 的值的程序框图，若 x 依次取数列 )(162         Nnn n 中的项，则所得 y 值的最小值为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤。 16【吉林市普通中学 2012-2013 学年度高中毕业班摸底测试】 设锐角△ABC 的三内角 A B C、 、 的对边长分别为 a、b、c，已知 b 是 a、c 的等比中项，且 3sin sin 4A C  . (1) 求角 B的大小； (2) 若 [0, )x  ，求函数 ( ) sin( ) sinf x x B x   的值域. 解:（Ⅰ）因为 a、b、c 成等比数列，则 2b ac . 由正弦定理得 2sin sin sinB A C . 又 3sin sin 4A C  ，所以 2 3sin 4B  . 而 sinB＞0，则 3sin 2B  .因 (0, ) 2 B  ， 故 B＝ 3  . ----------------------------------------------------------6 分 17.【山东省兖州市 2013 届高三 9 月入学诊断检测数学】设等比数列{ }na 的前 n 项和为 nS ， 已知 1 2 2(n na S n   N * ）. （1）求数列{ }na 的通项公式； （2）在 na 与 1na  之间插入 n 个数，使这 n+2 个数组成公差为 nd 的等差数列，求数列 1 nd     的前 n 项和 nT . 【思路分析】本题考查数列的通项公式和数列求和问题，考查学生的利用递推关系的解题能 力和转化化归能力.(1)利用消掉 Sn 的思路求解通项公式；（2）借助第一问的结论和等差数 列的通项公式求解 1 nd     的通项公式，然后利用错位相减法求解数列的和. 解析：（1）由 1 2 2(n na S n    Z*） 得 12 2(n na S n   Z*， 2n  ），………………………………2 分 两式相减得： 1 2n n na a a   ， 即 1 3 (n na a n   Z*， 2n  ），………………………………4 分 ∵{ }na 是等比数列，所以 2 13a a ； 又 2 12 2,a a  则 1 12 2 3a a  ，∴ 1 2a  ， ∴ 132  n na …………………………6 分 18. （江门市 2013 届高三上学期期末）某班几位同学组成研究性学习小组，从[25，55]岁 的人群随机抽取 n 人进行了一次日常生活中是否具有环保意识的调查．若生活习惯具有较强 环保意识的称为“环保族”，否则称为“非环保族”。得到如下统计表： 组数 分组 环保族人数 占本组的频率 本组占样本的频率 第一组 [25，30) 120 0.6 0.2 第二组 [30，35) 195 p q 第三组 [35，40) 100 0.5 0.2 第四组 [40，45) a 0.4 0.15 第五组 [45，50) 30 0.3 0.1 第六组 [50，55) 15 0.3 0.05 ⑴求 q 、 n 、 p 、 a 的值； ⑵从年龄段在[40，50)的“环保族”中采用分层抽样法抽取 6 人参加户外环保活动，其中选 取 2 人作为领队，求选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在 [40，45)的概率 解：⑴第二组的频率为： 3.0)05.01.015.02.02.0(1 q ……2 分， 第一组的人数为 2006.0 120  ，第一组的频率为 0.2，所以 10002.0 200 n ……4 分， 第二组人数为 3001000  q ，所以 65.0300 195 p ……6 分， 第四组人数 15015.01000  ，所以 604.0150 a ……8 分， ⑵[40，45)年龄段“环保族”与[45，50)年龄段“环保族”人数比值为 60︰30=2︰1， 采用分层抽样法从中抽取 6 人，[40，45)年龄段有 4 人，[45，50)年龄段有 2 人……9 分； 设[40，45)年龄段的 4 人为 a、b、c、d，[45，50)年龄段的 2 人为 m、n，则选取 2 人 作为领队的有（a,b）、( a,c)、(a,d)、(a,m)、(a,n)、(b,c)、(b,d)、(b,m) 、(b,n)、 (c,d)、(c,m)、(c,n)、(d,m)、(d,n)、(m,n)，共 15 种……11 分；其中恰有 1 人年龄在[45， 50)的有(a,m)、(a,n)、(b,m)、 (b,n)、(c,m)、(c,n)、(d,m)、(d,n)，共 8 种……13 分； 所以选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在[40，45)的概率为 15 8 ……14 分． 19. 【江西师大附中、鹰潭一中 2013 届高三数学联考试卷】（本小题满分 12 分） 如图，在边长为 4 的菱形 ABCD 中， 60DAB   ．点 E F、 分别在边 CD CB、 上，点 E 与 点 C D、 不重合， ,EF AC EF AC O  ．沿 EF 将 CEF 翻折到 PEF 的位置，使平面 PEF  平面 ABFED ． （1）求证： BD  平面 POA ； （2）当 PB 取得最小值时，求四棱锥 P BDEF 的体积． 解：（1）证明：∵ 菱形 ABCD 的对角线互相垂直，∴ BD AC ，∴ BD AO ， ∵ EF AC ，∴ PO EF ． ∵ 平面 PEF ⊥平面 ABFED ，平面 PEF  平面 ABFED EF ，且 PO  平面 PEF ， ∴ PO  平面 ABFED , ∵ BD  平面 ABFED ，∴ PO BD ． ∵ AO PO O ，∴ BD  平面 POA．……………………………… 4 分 20. 【2012 宁夏石嘴山市第二次联考数学】已知圆C 的圆心为 ( ,0), 3C m m ，半径为 5 ， 圆C 与椭圆 E ： 2 2 2 2 1x y a b   （ 0a b  ）有一个公共点 A (3，1)， 21 FF、 分别是椭圆的左、 右焦点。 （1）求圆 C 的标准方程； （2）若点 P 的坐标为(4，4)，试探究斜率为 k 的直线 1PF 与圆C 能否相切，若能，求出椭 圆 E 和直线 1PF 的方程；若不能，请说明理由。 【思路分析】本题考圆的方程、椭圆的定义、直线和圆的位置和探索性问题，考查考查学生 考查数形结合、化归与转化、方程的思想方法，考查数学探究能力以及运算求解能力.（1） 利用待定系数法求解圆的方程；（2）利用直线与圆相切，求解直线的斜率，然后借助椭圆 的定义求解椭圆的方程. （2）直线 1PF 能与圆 C 相切。 依题意，设直线 1PF 的方程为 4)4(  xky ，即 044  kykx 。 若直线 1PF 与圆 C 相切，则 5 1 440 2    k kk ， ∴ 011244 2  kk ，解得 2 1 2 11  kk ，或 。 当 2 11k 时，直线 1PF 与 x 轴的交点横坐标为 11 36 ，不合题意，舍去； 当 2 1k 时，直线 1PF 与 x 轴的交点横坐标为 4 ，∴ )0,4()0,4(4 21 FFc ，，  。 ∴由椭圆的定义得： 262251)43(1)43(2 2222 21  AFAFa ， ∴ 23a ，即 182 a ， ∴ 2222  cab ， 直线 1PF 能与圆 C 相切，直线 1PF 的方程为 042  yx ，椭圆E 的方程为 1218 22  yx 。 21. 【原创题】（本小题共 14 分）已知函数 1( ) x axf x e  . （Ⅰ）当 1a  时，求 ( )f x 的单调区间； （Ⅱ）若对任意 1 ,22t      ， ( )f t t 恒成立，求实数 a 的取值范围． 【思路分析】本题考查函数的单调性、不等式的恒成立等问题，考查分类讨论思想、等价转 化思想和构造函数法.(1)明确函数的定义域，然后利用导数法，探求函数的单调性；（2） 将问题转化为 1xa e x   恒成立，利用构造函数的技巧，借助求导求解函数的值域达到证明 目的. （II）若对任意 1 ,22t      ， 使得 ( )f t t 恒成立， 则 1 ,22x      时， 1 x ax xe  > 恒成立， 即 1 ,22x      时， 1xa e x   恒成立………………………………6 分 设 1( ) xg x e x   ， 1[ ,2]2x  ，则 2 1( ) xg x e x    ， 1[ ,2]2x  设 2 1( ) xh x e x   ， Q 3 2( ) 0xh x e x     在 1[ ,2]2x  上恒成立  ( )h x 在 1[ ,2]2x  上单调递增 即 2 1( ) xg x e x    在 1[ ,2]2x  上单调递增………………8 分 1 21( ) 4 02g e   Q ， 2 1(2) 04g e   Q  2 1( ) xg x e x    在 1[ ,2]2 有零点 m  2 1( ) xg x e x    在 1[ , ]2 m 上单调递减，在 ( ,2]m 上单调递增……………10 分  1( )2 (2) a g a g     ，即 2 2 1 2 a e a e      ， 2 1 2a e  ……………………14 分