黑龙江省大庆市第四中学2020届高三4月月考数学（理）试题

黑龙江省大庆市第四中学2020届高三4月月考数学（理）试题

大庆四中 2019～2020 学年度高三年级第三次校内检测 数学（理科）试题 考试时间：120 分钟 分值：150 分 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.若集合 }03|{ 2  xxxA ，集合 }1|{  xxB ，则 )( BCA U 等于（ ） A． ]1,3( B． ]1,( C． )3,1[ D． )(3, 2.若 iz 21 ，则复数 zz 1 在复平面上对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3.已知 nS 是等差数列 na 的前 n 项和，     3632 108531  aaaaa ，则 S11=( ) A.66 B.55 C.44 D.33 4. 在 中ABC , BCBDACAB 2 1,2,3  ,则 BDAD 的值为( ) A． 2 5 B． 4 5 C． 2 5 D． 4 5 5.函数   x xxf cos 的图象大致为( ) 6. 已知点 P 是抛物线 2 2y x 上的一个动点，则点 P 到点（0，2）的距离与 P 到该抛物线准 线的距离之和的最小值为 （ ） A． 17 2 B．3 C． 5 D． 9 2 7. 已知 3 2 4 log 0.3 log 3.4 log 3.6 15 , 5 , 5a b c        则 （ ） A． a b c  B．b a c  C． c a b  D． a c b  8.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得 开立方除之，即立圆径。“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径 d 的一个近似 公式 3 16 9d V 。人们还用过一些类似的近似公式。根据 3.14159   判断，下列近似公 式中最精确的一个是( ) 3 33 316 21 300. . 2 . D.9 11 157A d V B d V C d V d V    9.已知数列{an}的前 n 项和 Sn，且满足 an＋Sn＝1，则S1 a1 ＋S2 a2 ＋S3 a3 ＋…＋S9 a9 ＝( ) A．1 013 B．1 022 C．2 036 D．2 037 10.已知函数    0cos3sin   xxxf ，若方程   1xf 在  ，0 上有且只有四个 实数根，则实数 的取值范围为( ) A.     2 7,6 13 B.     6 25,2 7 C.     2 11,6 25 D.     6 37,2 11 11.已知O 为坐标原点，双曲线 2 2 2 2 1x y a b   ( 0, 0)a b  的右焦点 F，以 OF 为直径作圆交双 曲线的渐近线于异于原点的两点 A、B，若 ( ) 0AO AF OF     ，双曲线的离心率 e 为( ) A．2 B．3 C． 2 D． 3 12.设函数    022 3 2  aaxxxf 与   bxaxg  ln2 有公共点，且在公共点处的切线方程 相同，则实数 b 的最大值为( ) A. 22 1 e B. 2 2 1 e C. e 1 D. 22 3- e 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分. 13.已知    1,,1,-1a tb   ，若    baba   // ，则实数 t= 14.已知点 P(x，y)在不等式组 1 0 0 3 x y x y x    ＋ － ≥ － ≥ ≤ 表示的平面区域内运动，则 3 4z x y  的最 小值为________ 15.已知圆 O：x2 + y2 = 1，直线 x - 2y + 5 = 0 上动点 P，过点 P 作圆 O 的一条切线，切点为 A， 则 PO PA  的最小值为_________ 16.如图（1），在等腰直角 △ ABC 中，斜边 AB=4，D 为 AB 的中点，将 △ ACD 沿 CD 折叠得到 如图（2）所示的三棱锥 C-A'BD，若三棱锥 C-A'BD 的外接球的半径为 5 ，则 ∠ A'DB=______． 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤. 17．（本小题 12 分） 如图，在 ABC 中， 030 , 2 5,B AC D   是边 AB 上一点． （1）求 ABC 面积的最大值； （2）若 2,CD ACD  的面积为 4， ACD 为锐角，求 BC 的长． 18．（本小题 12 分） 如图，在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，CA=CB=AA1，∠BAA1=∠BAC=60°，点 O 是线段 AB 的 中点． （1）证明：BC1∥平面 OA1C； （2）若 AB=2，A1C= ，求二面角 A﹣BC﹣A1 的余弦值． 19．（本小题 12 分） 某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元），如图所示： （1）现从去年的消费金额超过 3200 元的消费者中随机抽取 2 人，求至少有 1 位消费者其去 年的消费者金额在 (3200,4000]的范围内的概率； （2）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制，详情如下表： 预计去年消费金额在 (0,1600]内的消费者今年都将会申请办理普通会员，消费金额在 (1600,3200]内的消费者都将会申请办理银卡会员，消费金额在 (3200,4800]内的消费者都将 会申请办理金卡会员，消费者在申请办理会员时，需一次性缴清相应等级的消费金额，该健 身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利活动，现有如下两种预设方案： 方案 1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取 25 位“幸运之星”给予奖 励： 普通会员中的“幸运之星”每人奖励 500 元；银卡会员中的“幸运之星”每人奖励 600 元； 金卡会员中的“幸运之星”每人奖励 800 元. 方案二：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有 3 个白球、2 个红球（球只 有颜色不同）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球，若摸到红球的总数为 2，则 可获得 200 元奖励金；若摸到红球的总数为 3，则可获得 300 元奖励金；其他情况不给予奖励. 规定每位普通会员均可参加 1 次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加 2 次摸奖游戏；每位金卡 会员均可参加 3 次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立） 请你预测哪一种返利活动方案该健身机构的投资较少？并说明理由. 20．（本题满分12分） 已知椭圆 C: 2 2 2 2 1x y a b   的两个焦点为 F1,F2，焦距为 2 2 ，直线 ： 1y x  与椭圆 C 相 交于 A，B 两点，P 3 1( , )4 4  为弦 AB 的中点 (1)求椭圆的标准方程； (2) 若 直 线 :l y kx m  与 椭 圆 C 相 交 于 不 同 的 两 点 M ， N ， 点 Q(0 ， m) ， 若 OQONOM 3  (O 为坐标原点)，求 m 的取值范围． 21．（本题满分12分） 已知函数      ln , 1 .f x x g x ax a R    (1)讨论函数      h x f x g x  的单调性； （2）若函数  f x 与  g x 的图象有两个不同的交点     1 1 2 2 1 2, , , .A x y B x y x x 求实数 a 的取值范围； 请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。 22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位，以原点为极点，以 x 轴正半轴为极轴，曲线 1C 的极坐标方程为 4sin  ，曲线 2C 的参数方程为 cos sin x m t y t       （t 为参数，0    ）， 射线 , ,4 4            与曲线 1C 交于（不包括极点O ）三点 , ,A B C ． （1）求证： 2OB OC OA  ； （2）当 5 12   时， ,B C 两点在曲线 2C 上，求 m 与 的值． 23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数   3 2f x a x x    ． （1）若 2a  ，解不等式   3f x  ； （2）若存在实数 x ，使得不等式   1 2 2f x a x    成立，求实数 a 的取值范围． 大庆四中 2019～2020 学年度高三年级第三次校内检测 数学（理科）试题答案 一、选择题： CDDBD ADCAB CA 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分. -1,-3,4, 2 3  三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤. 17.解：（1）∵在 ABC 中， 030 , 2 5B AC   ， ∴由余弦定理，得 2 2 220 2 cosAC AB BC AB BC ABC       2 2 3 2 3AB BC AB BC AB BC      ， ∴  20 20 2 3 2 3 AB BC     ， 当且仅当 AB BC 时，取等号， ∴  1 sin 5 2 32ABCS AB BC B    , ∴ ABC 的面积的最大值为  5 2 3 ； （2）设 ACD   ，在 ACD 中， ∵ 2,CD ACD  的面积为 4， ACD 为锐角， ∴ 1 1sin 2 5 2sin 42 2ACDS AC CD         ， ∴ 2 5sin 5   ， ∴ 5cos 5   ， 由余弦定理，得 2 2 2 52 cos 20 4 8 5 165AD AC CD AC CD          ， ∴ 4AD  ． 由正弦定理，得 sin sinA AD CD   ，∴ 4 2 sin sin A  ， ∴ 5sin 5A  ， 此时 sin sin BC AC A B  ， ∴ sin 4sin AC ABC B   ， ∴ BC 的长为 4． 18. 19．（1）去年的消费金额超过 3200 元的消费者 12 人，随机抽取 2 人，消费在 3200,4000 的 范围内的人数为 X，可能取值为 1，2; P（X≥1）＝1﹣P（X＝0）＝1 2 4 2 12 10 11 C C   ， 去年的消费者金额在 3200,4000 的范围内的概率为 10 .11 （2）方案 1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取 25 位“幸运之星”， 则“幸运之星”中的普通会员，银卡会员，金卡会员的人数分别为 28 100  25＝7， 60 100  25＝ 15， 12 100  25＝3， 按照方案 1 奖励的总金额为ξ1＝7×500+15×600+3×800＝14900（元）； 方案 2：设η表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，则η的可能取值为 0，200，300； 由摸到红球的概率为 P 1 2 1 5 2 5 C C   ， ∴P（η＝0） 0 3C • 02 5      • 3 1 3 3 5 C     • 2 5 • 23 81 5 125      ，P（η＝200） 2 3C • 22 5      • 3 36 5 125  ， P（η＝300） 3 3C • 32 8 5 125      ， η的分布列为： η 0 200 300 P 81 125 36 125 8 125 数学期望为 Eη＝0 81 125   200 36 125   300 8 125   76.8（元）， 按照方案 2 奖励的总金额为 ξ2＝（28+2×60+3×12）×76.8＝14131.2（元）， 由ξ1＞ξ2 知，方案 2 投资较少． 20.【解析】（1） 1 1 2 22 ( ) ( )c A x y B x y ，设 ， ， ， ， 1 2 1 2 3 1 2 2x x y y    ， ， 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 b x a y a b b x a y a b      ， ， ∴ 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2( )( ) ( )( ) 0b x x x x a y y y y      ， ∴ 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 ( ) 3 1( )AB y y b x x bk x x a y y a        ， ∴ 2 23 .a b ∵ 2 2 2a b c  ，∴ 2 2 3 1 a b    ， ， ∴ 2 2 1.3 x y 椭圆的标准方程为 （2）∵M，Q，N 三点共线， 1 3 3OQ OM ON    ， ∴ 1 13 3   ， 2  . 1 1 2 2 1 2 1 2( ) ( ) + 03 3M x y N x y x x 设 ， ， ， ，则 ， ∴ 1 22 .x x  2 2 2 2 2 (1 3 ) 6 3 3 0 3 3 y kx m k x kmx m x y           ， ， 2 20 3 1 0k m      ①， 2 1 2 1 22 2 6 3 3 1 3 1 3 km mx x x xk k      ， ， 1 22x x 代入 ，∴ 2 2 2 22 2 6 3 321 3 1 3 km mx xk k     ， ， ∴ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 36 3 32 (9 1) 3 =1 .(1 3 ) 1 3 k m m m k mk k       ，即 ∵ 2 2 19 1 0 9m m  ， ， ∴ 2 2 2 13 09 1 mk m   ≥ ②， 2 2 2 1 1 09 1 m mm     代入①式得 ， 2 2 2 1 (1 ) 09 1 m mm     即 ， ∴ 2 2 2( 1)(9 1) 0m m m   ，∴ 21 19 m  满足②式， ∴ 1 11 1 .3 3m m     或 21. 22.解：（1）依题意 4sinOA  ， 4sin , 4sin4 4OB OC               ， 则    4sin 4sin 2 2 sin cos 2 2 sin cos4 4OB OC                         4 2 sin 2 OA  ； （2）当 5 12   时， ,B C 两点的极坐标分别为 22 3, , 2,3 6             ，化为直角坐标为    3,3 , 3,1B C ， 曲线 2C 是经过点  ,0m ，且倾斜角为 的直线，又因为经过点 ,B C 的直线方程为 3 23y x   ， 所以 52 3, 6m   ． 23.解：（1）不等式   3f x  ，化为 2 3 2 3x x    ， 则 2 2 3 2 3 x x x        或 22 3 2 3 2 3 x x x          或 2 3 3 2 2 3 x x x        ， 解得 3 7 4 2x   ， ∴不等式   3f x  的解集为 3 7| 4 2x x      ； （2）不等式   1 2 2f x a x    等价于 3 3 2 1a x x a     ， 即 3 3 6 1x a x a     ，又    3 3 6 3 3 6 6x a x x a x a         ， 若存在实数 x ，使得不等式   1 2 2f x a x    成立， 则 6 1a a   ，解得 5 2a   ， ∴实数 a 的取值范围是 5 ,2     ． 高考资