四川省棠湖中学2020届高三上学期期中考试数学（文）试题

四川省棠湖中学2020届高三上学期期中考试数学（文）试题

‎2019-2020学年度秋四川省棠湖中学高三期中考试 文科数学试题 第I卷(选择题 共60分）‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）‎ ‎1.已知集合，，则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.若（，i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点所在的象限为 ‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎3.已知实数，满足不等式组，则的最大值为 ‎ A. 3 B. 9 C. 22 D. 25‎ ‎4.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示.为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为 ‎ A. 100，10 B. 100，20 C. 200，10 D. 200，20‎ ‎5.“”是“”的 ‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎6.已知在上有最小值，则实数t的取值范围可以是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.已知，，，则，，的大小关系为 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎8.已知圆,在圆中任取一点,则点的横坐标小于的概率为 ‎ A. B. C. D. 以上都不对 ‎9.已知函数为定义在上的奇函数，是偶函数，且当时，，则 ‎ A. -3 B. -2 C. -1 D. 0‎ ‎10.已知平面内的两个单位向量，，它们的夹角是60°，与、向量的夹角都为30°，且，若，则值为 ‎ A. B. C. 2 D. 4‎ ‎11.已知F是抛物线的焦点，点P在抛物线上，点，则的最小值是 ‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎12.已知函数，若方程有3个不同的实根，则实数的取值范围为 ‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13.某校有高一学生名，其中男生数与女生数之比为，为了解学生的视力情况，现要求按分层抽样的方法抽取一个样本容量为的样本，若样本中男生比女生多人，则 ‎_______．‎ ‎14.设向量，，且，则________.‎ ‎15.已知中，，，，则该三角形的面积是________.‎ ‎16.已知函数，，其中，若恒成立，则 当取最小值时，______.‎ 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）‎ ‎17.（本大题满分12分）‎ 某学校为调查高三年级学生的身高情况，按随机抽样的方法抽取100名学生，得到男生身高情况的频率分布直方图（图（1））和女生身高情况的频率分布直方图（图（2））.已知图（1）中身高在的男生人数有16人.‎ ‎（Ⅰ）试问在抽取的学生中，男，女生各有多少人？‎ ‎（Ⅱ）根据频率分布直方图，完成下列的列联表，并判断能有多大（百分之几）的把握认为“身高与性别有关”？‎ 总计 男生身高 女生身高 总计 ‎（III）在上述100名学生中，从身高在之间的男生和身高在 之间的女生中间按男、女性别分层抽样的方法，抽出6人，从这6人中选派2人当旗手，求2人中恰好有一名女生的概率.‎ 参考公式：‎ 参考数据：‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎18.（本大题满分12分）‎ 已知的内角，，的对边分别为，，，.‎ ‎（Ⅰ）求角；‎ ‎（Ⅱ）若，，求及的面积.‎ ‎19.（本大题满分12分）‎ 如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，在平面上的射影为的中点是边长为的正三角形，直线与平面所成角为.‎ ‎（I）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若，且，求该五面体的体积.‎ ‎20.（本大题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎21.（本大题满分12分）‎ 已知椭圆：的离心率为，椭圆：经过点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设点是椭圆上的任意一点，射线与椭圆交于点，过点的直线与椭圆 有且只有一个公共点，直线与椭圆交于，两个相异点，证明：面积为定值.‎ ‎（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的极坐标为.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）过作曲线的切线，切点为，过作曲线的切线，切点为，求.‎ ‎23.[选修4-5：不等式选讲] ‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，解不等式；‎ ‎（Ⅱ）若对于任意的实数恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎2019-2020学年度秋四川省棠湖中学高三期中考试 文科数学试题答案 ‎1.C 2.A 3.B 4.D 5.A 6.D 7.C 8.C 9.C 10.D 11.A 12.B ‎13. 14.1 15. 16.1‎ ‎17.（1）直方图中，因为身高在的男生的频率为0.4，‎ 设男生数为，则，得.‎ 由男生的人数为40，得女生的人数为.‎ ‎（2）男生身高的人数，‎ 女生身高的人数，‎ 所以可得到下列列联表：‎ 总计 男生身高 ‎30‎ ‎10‎ ‎40‎ 女生身高 ‎6‎ ‎54‎ ‎60‎ 总计 ‎36‎ ‎64‎ ‎100‎ ‎，‎ 所以能有的把握认为身高与性别有关；‎ ‎（3）在之间的男生有12人，在之间的女生人数有6人.‎ 按分层抽样的方法抽出6人，则男生占4人，女生占2人.‎ 设男生为，，，，女生为，.‎ 从6人任选2名有：，，，，，，，，，，，，，，共15种可能，‎ ‎2人中恰好有一名女生：，，，，，，，共8种可能，‎ 故所求概率为.‎ ‎18.（Ⅰ）由题意及正弦定理可得．‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 即，‎ 又，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴．‎ ‎（Ⅱ）由余弦定理可得，‎ 即，‎ 整理得，‎ 解得或（舍去）.‎ ‎∴．‎ ‎19.证明：（I）记的中点为，连接，，‎ 由在平面上的射影为中点，得平面，‎ ‎∴，，又，，‎ ‎∴，∴.‎ 由直线与平面所成角为，易得，‎ 又由，得，又，‎ 得.‎ 由，，，‎ 得平面，平面，‎ ‎∴.‎ ‎（Ⅱ）由（I），平面，‎ ‎∵，平面，平面，‎ ‎∴平面，平面平面，‎ ‎∴，，由题意，‎ ‎∴棱柱为直棱柱. ‎ ‎∵，‎ ‎，‎ ‎∴该五面体的体积为：.‎ ‎20.（1）对a分三种情况讨论求出函数的单调性；（2）对a分三种情况，先求出每一种情况下函数f(x)的最小值，再解不等式得解.‎ ‎（1），‎ 当时，，在上单调递增；‎ 当时，，，，，‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增；‎ 当时，，，，，‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增.‎ 综上：当时，在上单调递增；‎ 当时，在上单调递减，在上单调递增；‎ 当时，在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎（2）由（1）可知：‎ 当时，，∴成立.‎ 当时， ，‎ ‎，∴.‎ 当时，‎ ‎，‎ ‎，∴，即.‎ 综上.‎ ‎21.（1）解：因为的离心率为，所以，‎ 解得.①‎ 将点代入，整理得.②‎ 联立①②，得，，‎ 故椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）证明：①当直线的斜率不存在时，‎ 点为或，由对称性不妨取，‎ 由（1）知椭圆的方程为，所以有.‎ 将代入椭圆的方程得，‎ 所以 .‎ ‎②当直线的斜率存在时，设其方程为，‎ 将代入椭圆的方程 得，‎ 由题意得，‎ 整理得.‎ 将代入椭圆的方程，‎ 得.‎ 设，，‎ 则，，‎ 所以 .‎ 设，，，则可得，.‎ 因为，所以，‎ 解得（舍去），‎ 所以，从而.‎ 又因为点到直线的距离为，‎ 所以点到直线的距离为，‎ 所以 ，‎ 综上，的面积为定值.‎ ‎22.（1）由，得，‎ 即，‎ 故曲线的极坐标方程为.‎ ‎（2）由（1）知，曲线表示圆心为，半径为的圆.‎ 因为A（0，3），所以，‎ 所以.因为，‎ 所以.故.‎ ‎23.（Ⅰ）由可得，‎ 若，则或或，‎ 解得或或，‎ 所以不等式的解集为.‎ ‎（Ⅱ）不等式等价于.‎ 设，.‎ 由题意，的图象应在的图象上方（可以有交点），‎ 作图可判断，即实数的取值范围是.‎