2019-2020学年安徽省滁州市民办高中高二上学期期末考试数学（文）试题
滁州市民办高中2019-2020学年度上学期期末试卷
高二（文科）数学
考生注意：
1、本试卷分为选择题和非选择题。考试时间：120分钟，满分150分。
2、本卷命题范围：选修1-1。
第I卷 选择题(60分)
一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1.已知条件p：x<－3或x>1，条件q：x>a，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是( )
A．a≥－1 B．a≤1 C．a≥1 D．a≤－3
2.已知命题p：5≥3；命题q：若x2＝4，则x＝2，则下列判断正确的是( )
A．p∨q为真，p∧q为真，¬p为假
B．p∨q为真，p∧q为假，¬p为真
C．p∨q为假，p∧q为假，¬p为假
D．p∨q为真，p∧q为假，¬p为假
3.下列命题错误的是( )
A． 命题“若p，则q”与命题“若q，则p”互为逆否命题
B． 命题“∃x0∈R，x－x0>0”的否定是“∀x∈R，x2－x≤0”
C． ∀x>0且x≠1，都有x＋>2
D． “若am2
b>0)的离心率为，直线y＝
x被椭圆C截得的线段长为，则椭圆C的方程为________．
三、解答题(共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. (10分) 给定两个命题p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1＞0恒成立；q：关于x的方程x2－x＋a＝0有负实数根．如果p或q为真命题，p且q为假命题，求实数a的取值范围．
18. (12分)已知椭圆＋＝1(a>b>0)上的点P到左，右两焦点F1，F2的距离之和为2，离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，若y轴上一点M(0，)满足|MA|＝|MB|，求直线l的斜率k的值．
19. (12分)过双曲线－＝1的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点．
(1)求|AB|；
(2)求△AOB的面积．
20. (12分)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，－2)．
(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；
(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
21. (12分)设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求证曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.
22. (12分)货车欲以xkm/h的速度行驶，去130 km远的某地，按交通法规，限制x的允许范围是50≤x≤100，假设汽油的价格为2元/升，而汽车耗油的速率是
升/小时．司机的工资是14元/小时，试问最经济的车速是多少？这次行车往返的总费用最低是多少？
参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
D
D
B
B
B
A
B
A
C
A
B
13.②③
14.1
15. 48
16. ＋y2＝1
17.对于命题p：当a＝0，不等式ax2＋ax＋1＞0变为1＞0，对任意实数x恒成立；
当a≠0时，对任意实数x都有ax2＋ax＋1＞0恒成立，必需
解得0＜a＜4，∴0≤a＜4.
对于命题q：关于x的方程x2－x＋a＝0有负实数根，需a＜0，
∴当a＜0时，命题q为真命题．
∵p或q为真命题，p且q为假命题，
∴p与q必然一真一假．
若p真q假，则解得0≤a＜4；
若p假q真，则解得a＜0.
∴实数a的取值范围是a＜4.
18.解 (1)由题意知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，
所以a＝.
又因为e＝＝，
所以c＝×＝1，
所以b2＝a2－c2＝2－1＝1，
所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)已知F2(1,0)，直线斜率显然存在，
设直线的方程为y＝k(x－1)，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立直线与椭圆的方程得
化简得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，
所以x1＋x2＝，
y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝.
所以AB的中点坐标为(，)．
①当k≠0时，AB的中垂线方程为y－＝－ (x－)，
因为|MA|＝|MB|，
所以点M在AB的中垂线上，
将点M的坐标代入直线方程得，
＋＝，
即2k2－7k＋＝0，
解得k＝或k＝；
②当k＝0时，AB的中垂线方程为x＝0，满足题意．
所以斜率k的取值为0，或．
19.(1)由双曲线的方程得a＝，b＝，
∴c＝＝3，F1(－3,0)，F2(3,0)．
直线AB的方程为y＝(x－3)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得5x2＋6x－27＝0.
∴x1＋x2＝－，x1x2＝－.
∴|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝·＝.
(2)直线AB的方程变形为x－3y－3＝0.
∴原点O到直线AB的距离为
d＝＝.
∴S△AOB＝|AB|·d＝××＝.
∴△AOB的面积为.
20.(1)将(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·1，
∴p＝2，故所求的抛物线方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.
(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝－2x＋t，由得y2＋2y－2t＝0，
∵直线l与抛物线C有公共点，
∴Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－.
另一方面，由直线OA与直线l的距离等于，
可得＝，∴t＝±1，
由于－1∉[－，＋∞)，1∈[－，＋∞)，
∴符合题意的直线l存在，其方程为y＝－2x＋1.
21.(1)解 7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，
当x＝2时，y＝.
又f′(x)＝a＋，所以解得
故f(x)＝x－.
(2)证明 设点P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋可知，曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线方程为
y－y0＝(x－x0)，
即y－＝(x－x0).
令x＝0，得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为(0，－).
令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0).
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为··|2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x围成的三角形的面积为定值，此定值为6.
22.单程行驶：汽车运行的时间为小时，耗油量为·升，耗油费用为2··元，司机的工资为14×元，
故这次行车的单程费用为
y＝2··＋14·＝130·.
所以y′＝130·.
令y′＝0得，x＝18≈57(km/h)，
当50≤x＜18时，y′＜0，y单调递减；
当18≤x≤100时，y′＞0，y单调递增，
当x＝18时，y取得最小值，
即所以y＝130×≈82.2(元)．
所以最经济的车速是57 km/h，这次行车往返的总费用最低约为2×82.2＝164.4(元)．
