2018届二轮复习四、转化与化归思想课件（全国通用）

2018届二轮复习四、转化与化归思想课件（全国通用）

四、转化与化归思想 思想解读 思想解读 应用类型 　　转化与化归思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而解决问题的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题,将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题,将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题. 正与反的相互转化; 一般与特殊的转化; 常量与变量的转化; 数与形的转化. 总纲目录 应用一   正与反的相互转化 应用二 一般与特殊的转化 应用三 常量与变量的转化 应用四 数与形的转化 应用一    正与反的相互转化 例1 　若对于任意 t ∈[1,2],函数 g ( x )= x 3 +   x 2 -2 x 在区间( t ,3)上总不为 单调函数,则实数 m 的取值范围是 　　　　　     . 答案 　-   < m <-5 解析 　由题意得 g '( x )=3 x 2 +( m +4) x -2,若 g ( x )在区间( t ,3)上总为单调函数, 则① g '( x ) ≥ 0在( t ,3)上恒成立,或② g '( x ) ≤ 0在( t ,3)上恒成立. 由①得3 x 2 +( m +4) x -2 ≥ 0,即 m +4 ≥   -3 x 在 x ∈( t ,3)上恒成立,∴ m +4 ≥   -3 t 恒成立,则 m +4 ≥ -1,即 m ≥ -5; 由②得 m +4 ≤   -3 x 在 x ∈( t ,3)上恒成立,则 m +4 ≤   -9,即 m ≤ -   . ∴函数 g ( x )在区间( t ,3)上总不为单调函数的 m 的取值范围为-   < m <-5. 【 技法点评 】 　题目若出现多种成立的情形 , 则不成立的情形相对很 少 , 从反面考虑比较简单 , 因此 , 间接法多用于含有“至多”“至少”及 否定性命题情形的问题中 . 如本例中由于不为单调函数有多种情况 , 直 接求解较难,故用“正难则反”的方法求解. 跟踪集训 　若二次函数 f ( x )=4 x 2 -2( p -2) x -2 p 2 - p +1在区间[-1,1]内至少存在一个值 c , 使得 f ( c )>0,则实数 p 的取值范围是 　　　     . 答案        解析 　如果在[-1,1]内没有值满足 f ( c )>0,则   ⇒   ⇒ p ≤ -3或 p ≥   ,取补集为-3< p <   ,即为满足条件的 p 的取值范围.故实数 p 的取值范围为   . 应用二    一般与特殊的转化 例2 　设四边形 ABCD 为平行四边形,|   |=6,|   |=4.若点 M , N 满足   =3   ,   =2   ,则   ·   =   (　　) A.20　    B.15　    C.9　    D.6 答案     C 解析 　若四边形 ABCD 为矩形,建系如图. 由   =3   ,   =2   , 知 M (6,3), N (4,4), ∴   =(6,3),   =(2,-1),   ·   =6 × 2+3 × (-1)=9.故选C. 【技法点评】 　(1)常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特 殊图形、特殊角、特殊位置等. (2)对于选择题,当题设在普通条件下都成立时,用特殊值进行探求,可快 捷地得到答案. 跟踪集训 　如果 a 1 , a 2 , … , a 8 为各项都大于零的等差数列,公差 d ≠ 0,那么   (　　) A. a 1 a 8 > a 4 a 5 　    B. a 1 a 8 < a 4 a 5 C. a 1 + a 8 > a 4 + a 5 　    D. a 1 a 8 = a 4 a 5 答案     B　取特殊数列1,2,3,4,5,6,7,8,显然只有1 × 8<4 × 5成立. 应用三    常量与变量的转化 例3 　已知函数 f ( x )= x 3 +3 ax -1, g ( x )= f '( x )- ax -5,其中 f '( x )是 f ( x )的导函数.对 满足-1 ≤ a ≤ 1的一切 a 的值,都有 g ( x )<0,则实数 x 的取值范围为 　　　     . 答案        解析 　由题意,知 g ( x )=3 x 2 - ax +3 a -5, 令 φ ( a )=(3- x ) a +3 x 2 -5,-1 ≤ a ≤ 1. 对-1 ≤ a ≤ 1,恒有 g ( x )<0,即 φ ( a )<0, ∴   即   解得-   < x <1. 故当 x ∈   时,对满足-1 ≤ a ≤ 1的一切 a 的值,都有 g ( x )<0. 【 技法点评 】 　 在处理多变元的数学问题时 , 我们可以选取其中的常数 ( 或参数 ), 将其看作是“主元” , 而把其他变元看作是常量 , 从而达到减 少变元简化运算的目的 . 跟踪集训 　设 y =(log 2 x ) 2 +( t -2)log 2 x - t +1,若 t 在[-2,2]上变化时, y 恒取正值,则 x 的取值 范围是 　　　     . 答案        ∪ (8,+ ∞ ) 解析 　设 y = f ( t )=(log 2 x -1) t +(log 2 x ) 2 -2log 2 x +1, 则 f ( t )是一次函数,当 t ∈[-2,2]时, f ( t )>0恒成立, 则   即   解得log 2 x <-1或log 2 x >3, 即0< x <   或 x >8, 故 x 的取值范围是   ∪ (8,+ ∞ ). 应用四    数与形的转化 例4     (2017北京,6,5分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积 为   (　　)   A.60　    B.30　    C.20　    D.10 答案     D 解析 　根据三视图将三棱锥 P - ABC 还原到长方体中,如图所示,∴ V P - ABC =   ×   × 3 × 5 × 4=10.故选D. 【技法点评】　 数与形转化问题,特别是空间转化问题,往往在解决空 间几何体问题的过程中将某些空间几何体问题进行特殊化处理,转化为 平面几何问题来处理,降低维度,简化求解过程,降低难度. 跟踪集训 　在△ ABC 中, M 是 BC 的中点, AM =1,点 P 在 AM 上,且满足   =-2   ,则   ·(   +   )= 　　　     . 答案 　-   解析 　如图所示,∵ AM =1,点 P 在 AM 上,且满足   =-2   ,∴|   |=   |   | =   , ∵ M 是 BC 的中点,∴   +   =2   , ∴   ·(   +   )=-2   ·2   =-4   =-4 ×   =-   .