【数学】西南名校联盟2020届高三“333”高考备考诊断性联考卷（三）试题（理）（解析版）

【数学】西南名校联盟2020届高三“333”高考备考诊断性联考卷（三）试题（理）（解析版）

西南名校联盟2020届高三“3 3 3”高考备考诊断性联考卷（三）数学试题（理）‎ 一、 选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.若复数z满足,则在复平面上复数z所对应的点所在象限是（ ）‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎2.已知集合,集合 (其中z表示整数集),则（ ）‎ A. {1，2, 3} B. {-1, 1} C. {1, 2} D. {1}‎ ‎3.已知数列既是等差数列又是等比数列，首项a1=1,则它的前2020项的和等于（ ）‎ A. B. C.2020 D.0‎ ‎4.任取满足的一对实数x，y，下列选项中，事件“x2+y2≥‎1”‎发生的概率最接近的百分数是（ ）‎ A.20% B.30% C.70% D.80%‎ ‎5. (1+2x2)(1-x)5 的展开式中x的系数等于（ ）‎ A.3 B. ‎4 C. -5 D. -6‎ ‎6.函数的图象在点T(0, f(0))处的切线l与坐标轴围成的三 角形面积等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.方程 的图形大致形状为（ ）‎ ‎8.已知.其中a，b表示直线，、β表示平面,给出如下5个命题:①若//,则//②若a⊥b，则⊥:③与不垂直，则a⊥b不可能成立:④若.则⊥β;⑤⊥β, ∩β=l, a⊥l,则a⊥b.其中真命题的个数是（ ）‎ A. 0 B. ‎1 C. 2 D. 3‎ ‎9.已知非负实数x，y满足: ,则2x-3y的取值范围是（ ）‎ A. [-2, B. C. [-3, 0] D. [-2, 0]‎ ‎10.已知O是线段KF的中点，|KF|=4. 直线l经过点K且与KF垂直，PH⊥l(垂足是H), PO=PF=PH,则∆POF的外接圆半径等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.已知函数，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎12.已知函数,对∈[0, π]，都有,满足f(x2)=0的实数x有且只有3个，给出下述四个结论:‎ ‎①满足题目条件的实数x0有且只有1个; ②满足题目条件的实数x1有且只有1个;‎ ‎③f(x)在上单调递增; ④的取值范围是 其中所有正确结论的编号是（ ）‎ A.①③ B.②④ C.①②④ D.①③④‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13.如图1,在∆MBC中，D, E是BC的两个三等分点，若，则.‎ ‎14.已知等差数列|满足: 表示的前n项之和，则.‎ ‎15.设F1，F2是双曲线C: 的左、右焦点，M是C上的第一象限的一点，若∆MF‎1F2为直角三角形，则M的坐标为_____________.‎ ‎16.如图2的几何体，是在用密度等于‎8g/cm3的钢材铸成的底面直径和高都等于cm的圆维内部挖去一个正方体后的剩余部分(正方体四个顶点在圆锥母线上，另四个顶点在圆锥底面上)，这个几何体的质量等于_____g (对小数部分四舍五入进行取整). ‎ 三、解答题(共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎17. (本小题满分12分)‎ ‎2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在武汉出现并很快地传染开来(已有证据表明2019年10月、11月国外已经存在新冠肺炎病毒)，人传人，传播快，传播广，病亡率高，对人类生命形成巨大危害。在中华人民共和国，在中共中央、国务院强有力的组织领导下，全国人民万众一心抗击、防控新冠肺炎，疫情早在3月底已经得到了非常好的控制(累计病亡人数3869人)。然而，国外因国家体制、思想观念与中国的不同，防控不力，新冠肺炎疫情越来越严重。据美国约翰斯·霍普金斯大学每日下午6时公布的统计数据，选取‎5月6日至‎5月10日的美国的新冠肺炎病亡人数如下表(其中t表示时间变量，日期“‎5月6日”、“‎5月7日”对应于“t=6"、“t=7"， 依次下去):‎ 由上表求得累计病亡人数与时间的相关系数r=0.98.‎ ‎(1) 在‎5月6日~10日,美国新冠肺炎病亡人数与时间(日期)是否呈现线性相关性?‎ ‎(2)选择对累计病亡人数四舍五入后个位、十位均为0的近似数，求每日累计病亡人数y随时间t变化的线性回归方程;‎ ‎(3)请估计美国‎5月11日新冠肺炎病亡累计人数，请初步预测病亡人数达到9万的日期 附:回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为 ‎18. (本小题满分12分)‎ 已知∆ABC的内角A, B, C的对边长分别等于a, b, c,列举如下五个条件: ‎ ①②;③cosA+cos‎2A=0; ④a=4;⑤∆ABC的面积等于.‎ ‎(1)请在五个条件中选择一个(只需选择一个)能够确定角A大小的条件来求角A;‎ ‎(2)在(1)的结论的基础上，再在所给条件中选择一个(只需选择一个)，求∆ABC周长的取值范围.‎ ‎19. (本小题满分12分)‎ 如图3甲，E是边长等于2的正方形的边CD的中点，以AE、BE为折痕将∆ADE与△BCF折起，使D，C重合(仍记为D),如图乙。‎ ‎(1) 探索:折叠形成的几何体中直线DE的几何性质(写出一条即可，不含DE⊥DA, DE⊥ DB，说明理由);‎ ‎ (2)求二面角D-BE-A的余弦值 ‎20. (本小题满分12分)‎ 已知函数 ‎ ‎(1) 若f(x)在[0, 2]上是单调函数，求a的值;‎ ‎(2) 已知对∈[1, 2], f(x)≤1均成立，求a的取值范围 ‎21. ( 本小题满分12分)‎ 已知椭圆C关于x轴、y轴都对称，并且经过两点4(0, ), B(1, )‎ ‎(1)求椭圆C的离心率和焦点坐标;‎ ‎(2) D是椭圆C上到点A最远的点，椭圆C在点B处的切线l与y轴交于点E,求△BDE外接圆的圆心坐标.‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22. (本小题满分10分) [选修4-4:坐标系与参数方程]‎ 在极坐标系中，方程C: 表示的曲线被称作“四叶玫瑰线”( 如图4). :‎ ‎(1)求以极点为圆心的单位圆与四叶玫瑰线交点的极坐标和直角坐标; .‎ ‎(2)直角坐标系的原点与极点重合，x轴正半轴与极轴重合.求直线l:上的点M与四叶攻瑰线上的点N的距离的最小值 ‎23. (木小题满分10分) [选修4-5:不等式选讲]‎ 已知函数.‎ ‎(1)若,解不等式f(x)≤1;‎ ‎(2)已知当x>0时，的最小值等于m,若使不等式成立，求实数a的取值范围.‎ 参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B D C A C D A C B B A D ‎1．，故选B．‎ ‎2．，，，则，故选D．‎ ‎3．既是等差数列又是等比数列，，则(常数数列)，前2020项的和 等于2020，故选C．‎ ‎4．考虑用几何概型，如图，表示边长等于2的正方形区域，表示半 径等于1的单位圆的外部，两个区域的中心重合，事件“”发生的概率 ‎21.5%，对比四个选项，故选A．‎ ‎5．其中的展开式中含的项是 ‎，的展开式中没有含的项，故选C．‎ ‎6．则切线的方程为 取解得切线在轴上的截距取解得切线在轴上 的截距则直线与坐标轴围成的三角形面积，故选D．‎ ‎7．取得，图形在轴上的截距等于；取得，图形在轴上 的截距等于；取得，则点在图形上，排除B，C，D，故选A．‎ 另解：当时，，将抛物线弧（凹的）上移2个单位得到的图象，再因的图形关于两条坐标轴对称，选A，或者排除B，C，D，故选A．‎ ‎8．命题①⑤是真命题，其它是假命题，故选C．‎ ‎9．设作出四个不等式，，，组合后 表示的可行域（四边形），解得可行域的四个顶点：，，，，‎ 一一代入计算，比较得，，所以的取值范围是，故选B．‎ ‎10．已知则点位于以为焦点、直线为准线的抛物线上，以的中点为 原点、直线为轴建立直角坐标系（在正半轴上），依据，求得抛物线方程为 ‎，焦点，作轴(是垂足)，由知平分，求得 ‎，由对称性，只需取，设外接圆的方程为 ‎，将点，，的坐标代入求得，，‎ ‎，所以外接圆的半径，故选B．‎ ‎11．设，求得，当时，，则在 上递增，易知是上的偶函数，且在上递减，‎ ‎，，故选A．‎ ‎12．，，设进行替换，作的图 象如图，在上满足的实数有且只有3个，即函数在 上有且只有3个零点，由图象可知，，结论④正确；由图象知，‎ 在上只有一个极小值点，有一个或两个极大值点，结论①正确，结 论②错误；当时，，由知 ‎，所以在上递增，则在上 单调递增，结论③正确，故选D．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ 题号 ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 答案 或 ‎【解析】‎ ‎13．已知是的两个三等分点，则，已知 ‎，则，．‎ ‎14．已知是等差数列，设其公差为 则的前项和 ‎．‎ ‎15．设当是的直角顶点时，联立与 解得；当是的直角顶点时，轴，‎ 代入解得，所以的坐标是或．‎ ‎16．如图3，设被挖去的正方体的棱长为，由（半）轴截面中的直角三角形相似，得 该模型的体积，‎ 所以制作该模型所需材料质量约为．（因四舍五入误差，考生答171，172，173时都给满分）‎ 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 解：（1）每日累计病亡人数与时间的相关系数，……………………（1分）‎ ‎（建议，或者比0.75大的也可给分，没有说明的但是答案正确扣一分）‎ 所以每日病亡累计人数与时间呈现强线性相关性，……………………（2分）‎ ‎（可以建立线性回归方程来进行估计）可以删掉．‎ ‎（2）5天5个时间的均值． ………………………………（3分）‎ ‎5天5个病亡累计人数的均值．‎ ‎……………………（4分）‎ 计算5个时间与其均值的差，计算5个累计病亡人数与其均值的差，制作下表：‎ 日 期 ‎5月6日 ‎5月7日 ‎5月8日 ‎5月9日 ‎5月10日 均值 时间 ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 新冠肺炎 累计病亡人数 ‎72300‎ ‎75500‎ ‎76900‎ ‎78500‎ ‎80000‎ ‎−2‎ ‎−1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎−4340‎ ‎−1140‎ ‎260‎ ‎1860‎ ‎3360‎ 用公式进行计算：‎ ‎（可以不用列表，照样给分）‎ ‎，…………………（6分）‎ ‎．…………………（7分）‎ 所以每日累计病亡人数随时间变化的线性回归方程是．‎ ‎………………………………………………………（8分）‎ ‎（3）日期‎5月11日对应时间，，‎ 所以，估计‎5月11日累计病亡人数是82160．‎ ‎………………………………………………………………………………………（10分）‎ 令，解得，…………………………（11分）‎ 病亡人数要达到或超过9万，必须且只需，对应于‎5月16日，‎ 因此预测‎5月16日美国新冠肺炎病亡人数超过9万人．‎ ‎…………………………………………………………………………………（12分）‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 解：（1）选择①作为依据，‎ 由正弦定理得，……………………………（2分）‎ 由得，……………………………（3分）‎ ‎……………………………（4分）‎ ‎，……………………………（5分）‎ ‎，．………………………………………………（6分）‎ ‎（2）选择添加条件⑤的面积等于，‎ 则，．……………………………（8分）‎ 由余弦定理和基本不等式：周长 ‎，……………………………（9分）‎ 当且仅当时取等号，……………………………（10分）‎ 所以的周长的最小值等于12．……………………………（11分）‎ ‎，，可以让，此时周长．‎ 的周长的取值范围是．……………………………………………（12分）‎ 若选择添加“④”作为条件，用余弦定理和基本不等式，‎ ‎，‎ ‎……………………………（9分）‎ 则，时取等号．……………………………（10分）‎ 又，则．……………………………（11分）‎ 所以的周长的取值范围是．（与选择⑤结果不同）‎ ‎………………………………………………………………………………………（12分）‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 解：（1）性质1：平面．………………………………………（2分）‎ 证明如下：翻折前，，‎ 翻折后仍然，………………………………………（3分）‎ 且，………………………………………（4分）‎ 则平面.………………………………………（5分）‎ 性质2：．………………………………………（2分）‎ 证明如下：‎ 与性质1证明方法相同，得到平面．………………………………………（4分）‎ 又因平面，则．………………………………………（5分）‎ 性质3：与平面内任一直线都垂直．…………………………（2分）‎ 证明如下：‎ 与性质1证明方法相同，得到平面，………………………（4分）‎ 从而与平面内任一直线都垂直．………………………………………（5分）‎ 性质4：直线与平面所成角等于．………………………（2分）‎ 证明如下：‎ 如图4，取的中点，连接，，‎ 图4‎ 由得，‎ 与性质2证明相同，得，…………（3分）‎ 再因，则平面，进而平面平面．‎ 作于，则平面，‎ 即就是直线与平面所成的角．……………………………（4分）‎ ‎，，，．‎ ‎………………………………………………………………………………………（5分）‎ 说明：写出一条并且只需写出一条正确的性质（允许在以上4条之外），给3分，完成正确的证明后合计给5分．‎ ‎（2）与（1）之性质4证明相同，得到，平面，，平面内，则平面平图5‎ 面．以为坐标原点、为轴建立如图5所示的空 间直角坐标系．………………………………………（6分）‎ ‎，，则平面的一个法向量，‎ ‎，，，………………………………………（7分）‎ ‎，．设是平面的法向量，‎ 则………………………………………（8分）‎ 取，求得一个法向量……………………………（9分）‎ 记二面角的大小为，则与相等或互补，‎ ‎，…………………（11分）‎ 因是锐角，则．…………………………………………………………（12分）‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 解：（1），‎ ‎………………………………………（1分）‎ 令解得，．………………………………………（2分）‎ 若即，‎ 则对成立，函数在上单调，符合题目要求；……………（3分）‎ 若即，‎ 当时，，当时，，‎ 函数在上不单调，不符合题目要求；……………………………（4分）‎ 若即，‎ 当时，，当时，，‎ 函数在上不单调，不符合题目要求．……………………………（5分）‎ 综上，若在上是单调函数，则取唯一值：．‎ ‎…………………………………………………………………………………（6分）‎ ‎（2）解法一：已知“对，均成立”，‎ 取得，………………………………………（7分）‎ 则，，则时，，在上增，……………（8分）‎ ‎“对，均成立”等价于，………………………………………（9分）‎ ‎，………………………………………（10分）‎ 与取交集，仍然得，所求的取值范围是 ………（12分）‎ 解法二：根据（1），‎ 若，则在上单减，‎ ‎“在区间上，恒成立”等价于，不成立；‎ ‎………………………………………（7分）‎ 若即，则时，，函数在上单减，‎ 在区间上，，“在区间上，恒成立”不成立；‎ ‎………………………………………（8分）‎ 若即，则时，，函数在上单增，‎ 在区间上，，………………………………………（9分）‎ ‎“在区间上，恒成立” ，‎ 解得，与相交取交集，得；…………………………（10分）‎ 若即，则时，，时，，函数在上递增，在上递减，‎ 在区间上，，‎ ‎“在区间上，恒成立”．‎ ‎………………………………………（11分）‎ 构造辅助函数处理，设，‎ 则，在上递增，，‎ 则函数在上递增，，‎ 因此时，均不成立．‎ 综上，所求的取值范围是 ‎……………………………………………………………………………（12分）‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 解：（1）已知椭圆C关于轴、轴都对称，设其方程为（这样设可回避焦点在哪条轴上的分类讨论）．…………………………………………（1分）‎ 由在椭圆上，得，联立解得，，………………（3分）‎ 得椭圆C的方程是．…………………………………………………………（4分）‎ 用依次表示椭圆的长半轴、短半轴、半焦距，‎ 则，，则，，．…………………（5分）‎ 所以，椭圆C的离心率，焦点坐标为 ‎…………………………………………………………………………………（6分）‎ ‎（2）设，则，即，‎ ‎．…………………………………………（7分）‎ 函数在区间上递减，‎ 则取最大时，，此时，‎ 所以，椭圆C上到点最远的点是……………………………（8分）‎ 设椭圆C在点处的切线的方程为，即，‎ 与联立消去后整理得，‎ 判别式，‎ 由相切条件得，，……………………………………（9分）‎ 所以椭圆C在点处的切线的方程是，‎ 令得，得切线与轴的交点坐标．……………………（10分）‎ 设外接圆的方程为，‎ 由三点都在圆上，‎ 得解得…………………………………（11分）‎ ‎，，‎ 所以外接圆的圆心坐标是 ‎………………………………………………………………………（12分）‎ ‎22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】‎ 解：（1）‎ ‎……………………………………（2分）‎ 所以，，…………………………………………（3分）‎ 取，得，…………………………………………（4分）‎ 从而得到单位圆与四叶玫瑰线交点的极坐标为，‎ 化成直角坐标就是 ‎………………………………………………………………………………………（5分）‎ ‎（2）直观发现，四叶玫瑰线关于直线对称．‎ 事实上，将极坐标方程化作直角坐标方程得，‎ 将互换后方程不变，说明四叶玫瑰线关于直线对称； ………（6分）‎ 将换作，换作后方程不变，说明四叶玫瑰线关 于直线对称；………………………………………（7分）‎ 直线的普通方程是，………………………………（8分）‎ 直线与直线垂直，且玫瑰线在直线的同侧，‎ 故的最小值等于点到直线的距离：………………（9分）‎ ‎．……………………………………………………（10分）‎ ‎23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】‎ 解：（1）当时，………………………（1分）‎ 或或………………（3分）‎ 或，……………………………（4分）‎ 所以，当时，不等式的解集是．‎ ‎………………………………………………………………………………………（5分）‎ ‎（2）当时，利用柯西不等式，‎ ‎，‎ ‎………………………………………（6分）‎ 当且仅当时取等号，所以．………………………………………（7分）‎ ‎.‎ ‎………………………………………（8分）‎ ‎，时取等号，‎ 则．………………………………………（9分）‎ 所以，“使成立”等价于，‎ 解得所以的取值范围是………………………………（10分）‎