2021届课标版高考文科数学一轮复习教师用书：第二章第五讲　对数与对数函数

2021届课标版高考文科数学一轮复习教师用书：第二章第五讲　对数与对数函数

第五讲　对数与对数函数 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ‎ ‎1.下列说法正确的是(　　)‎ ‎①若MN>0,则loga(MN)=logaM+logaN.‎ ‎②对数函数y=logax(a>0且a≠1)在(0,+∞)上是增函数.‎ ‎③函数y=ln ‎1+x‎1 - x与y=ln(1+x) - ln(1 - x)的定义域相同.‎ ‎④对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1),(‎1‎a, - 1),函数图象只在第一、四象限.‎ A.①③④ B.①③ C.③④ D.④‎ ‎2.[2019浙江,6,5分]在同一直角坐标系中,函数y=‎1‎ax,y=loga(x+‎1‎‎2‎)(a>0,且a≠1)的图象可能是 (　　)‎ ‎3.[2019全国卷Ⅰ,3,5分][文]已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则(　　)‎ A.ab>1.若logab+logba=‎5‎‎2‎,ab=ba,则a=　　　　,b=　　　　. ‎ 考法1 对数式的运算 ‎1(1)[2018全国卷Ⅲ,12,5分]设a=log0.20.3,b=log20.3,则　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.a+b0,b<0,所以ab<0,所以ab1时,函数y=logax的图象为选项B,D中过点(1,0)的曲线,此时函数y= - x+a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足a>1,选项B,D中的图象都不符合要求;‎ 当01时,如图2 - 5 - 1所示,要使在区间(1,2)上,f 1(x)=(x - 1)2的图象在f 2(x)=logax的图象的下方,只需f 1(2)≤f 2(2),即(2 - 1)2≤loga2,所以loga2≥1,解得1b>c B.b>a> c C.c>b>a D.c>a>b 解法一　因为a=log2e>1,b=ln 2∈(0,1),c=log‎1‎‎2‎‎1‎‎3‎=log23>log2e>1,所以c>a>b,故选D.‎ 图2 - 5 - 2‎ 解法二　log‎1‎‎2‎‎1‎‎3‎=log23,在同一平面直角坐标系中作出函数y=log2x,y=ln x的图象,如图2 - 5 - 2,由图可知c>a>b.‎ D 命题角度2　解对数不等式 ‎5[2020福建调研]已知函数f (x)是定义在R上的偶函数,当x≤0时,f (x)单调递减,则不等式f (log‎1‎‎3‎(2x - 5))>f (log38)的解集为 A.{x|‎5‎‎2‎‎13‎‎2‎}‎ C.{x|‎5‎‎2‎‎13‎‎2‎} D.{x|x<‎5‎‎2‎或‎41‎‎16‎f (log38)化为|log‎1‎‎3‎(2x - 5)|>|log38|,即log3(2x - 5)>log38或log3(2x - 5)< - log38=log3‎1‎‎8‎,即2x - 5>8或0<2x - 5<‎1‎‎8‎,解得x>‎13‎‎2‎或‎5‎‎2‎0,‎‎01.结合对数函数y=log5x在(0,+∞)‎ 上单调递增可知b=log521,则x=lgklg2‎,y=lgklg3‎,z=lgklg5‎.‎ 因为k>1,所以lg k>0,所以2x - 3y=‎2lgklg2‎‎-‎3lgklg3‎=lgk×(2lg3 - 3lg2)‎lg2×lg3‎=‎lgk×lg ‎‎9‎‎8‎lg2×lg3‎>0,故2x>3y,‎ ‎2x - 5z=‎2lgklg2‎‎-‎5lgklg5‎=lgk×(2lg5 - 5lg2)‎lg2×lg5‎=‎lgk×lg ‎‎25‎‎32‎lg2×lg5‎<0,故2x<5z.所以3y<2x<5z.‎ 解法二　(作商法)令2x=3y=5z=k,由x,y,z为正数,知k>1.‎ 则x=lgklg2‎,y=lgklg3‎,z=lgklg5‎.‎ 所以‎2x‎3y‎=‎2‎‎3‎×lg3‎lg2‎=‎lg9‎lg8‎>1,即2x>3y,‎ ‎5z‎2x‎=‎5‎‎2‎×lg2‎lg5‎=‎lg ‎‎2‎‎5‎lg ‎‎5‎‎2‎‎>1,即5z>2x.‎ 所以5z>2x>3y.‎ 解法三　 (中间值法)令2x=3y=5z=k,由x,y,z为正数,知k>1,‎ 则x=lgklg2‎,y=lgklg3‎,z=lgklg5‎.‎ 所以3y=lgklg‎3‎‎3‎,2x=lgklg‎2‎,5z=lgklg ‎‎5‎‎5‎.‎ 因为‎3‎‎3‎‎=‎6‎‎9‎>‎6‎‎8‎=‎‎2‎,‎2‎‎=‎10‎‎32‎>‎10‎‎25‎=‎‎5‎‎5‎,‎ 所以lg ‎3‎‎3‎>lg ‎2‎>lg ‎5‎‎5‎>0.‎ 又k>1,所以lg k>0,‎ 所以3y<2x<5z.‎ 解法四　 (函数法)令2x=3y=5z=k,由x,y,z为正数,知k>1,‎ 则x=lnkln2‎,y=lnkln3‎,z=lnkln5‎.‎ 设函数f (t)=tlnklnt(t>0,t≠1),‎ 则f (2)=‎2lnkln2‎=2x,f (3)=‎3lnkln3‎=3y,f (5)=‎5lnkln5‎=5z.‎ f '(t)=lnk·lnt - ‎1‎t·tlnk‎(lnt)‎‎2‎‎=‎‎(lnt - 1)lnk‎(lnt)‎‎2‎,‎ 易得当t∈(e,+∞)时,f '(t)>0,函数f (t)单调递增.‎ 因为e<3<4<5,所以f (3)0,则x‎2‎,y‎3‎,z‎5‎的大小关系不可能是(　　)‎ A.x‎2‎‎1,则y=‎1‎ax是减函数,而y=loga(x+‎1‎‎2‎)是增函数且其图象过点(‎1‎‎2‎,0),‎ 结合选项可知,没有符合的图象.故选D.‎ 解法二　分别取a=‎1‎‎2‎和a=2,在同一直角坐标系内画出相应函数的图象(图略),通过对比可知选D.‎ ‎3.B　∵a=log20.2<0,b=20.2>1,c=0.20.3∈(0,1),∴a0,所以ln x3>0,所以x3>1.又ln‎1‎‎2‎0时, - x<0,f( - x)= - e - ax.因为函数f(x)为奇函数,所以当x>0时,f(x)= - f( - x)=e - ax,所以f(ln 2)=e - aln 2=(‎1‎‎2‎)a=8,所以a= - 3.‎ ‎6. - 2　解法一　由f(a)=ln(‎1+‎a‎2‎ - a)+1=4,得ln(‎1+‎a‎2‎ - a)=3,所以f( - a)=ln(‎1+‎a‎2‎+a)+1= - ln‎1‎‎1+‎a‎2‎‎+a+1= - ln(‎1+‎a‎2‎ - a)+1= - 3+1= - 2.‎ 解法二　因为f(x)=ln(‎1+‎x‎2‎ - x)+1,‎ 所以f(x)+f( - x)=ln(‎1+‎x‎2‎ - x)+ln(‎1+‎x‎2‎+x)+2=2.‎ 故f(a)+f( - a)=2,所以f( - a)=2 - 4= - 2.‎ ‎7.4　2　因为a>b>1,所以logab∈(0,1).因为logab+logba=‎5‎‎2‎,即logab+‎1‎logab‎=‎‎5‎‎2‎,所以logab=‎1‎‎2‎或logab=2(舍去),所以a‎1‎‎2‎=b,即a=b2.所以ab=‎(b‎2‎)‎b=b2b=ba,所以a=2b,所以b2=2b,解得b=2或b=0(舍去),所以a=b2=4.‎ ‎1.(1)A　因为a=log520.51=‎1‎‎2‎,故alog0.50.25=2,c=0.50.2<0.50=1,故c0,所以x2 - 4x - 5<0,解得 - 10,接下来对k与1的大小关系加以讨论.‎ 若k=1,则x‎2‎=1,y‎3‎=1,z‎5‎=1,所以x‎2‎‎=y‎3‎=‎z‎5‎,所以选项C有可能成立.‎ 若03k - 1>5k - 1,所以z‎5‎‎1,则根据函数f(t)=tk - 1在(0,+∞)上单调递增可得2k - 1<3k - 1<5k - 1,所以x‎2‎‎0,则f(x)单调递增;②若a=0,则f(x)为常数函数;③若a<0,则f(x)单调递减.‎