【数学】四川省棠湖中学2020届高三第一次高考适应性考试试题（文）

【数学】四川省棠湖中学2020届高三第一次高考适应性考试试题（文）

四川省棠湖中学 2020 届高三第一次高考适应性考试 数学试题（文） 第 I 卷 选择题（60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1．若集合 A＝{x|log2x＜3}，B＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}，则 A∪B＝ ( ) A．{x|x＜8} B．{x|﹣2≤x≤4} C．{x|﹣2≤x＜8} D．{x|0＜x≤4} 2．复数 的虚部为 ( ) A．﹣ i B．﹣ C． i D． 3．已知 ，则( ) A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b 4．如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．n≡N（modm） 表示正整数 n 除以正整数 m 的余数为 N，例如 10≡4（mod6）．执行该程序框图，则 输出的 n 等于( ) A．11 B．13 C．14 D．17 5.新冠肺炎期间某商场开通三种平台销售商品，收集一月内的数据如图 1；为了解消费者对 各平台销售方式的满意程度，该商场用分层抽样的方法抽取 4%的顾客进行满意度调查，得 到的数据如图 2．下列说法错误的是( ) i iz + +−= 2 1 A．样本容量为 240 B．若样本中对平台三满意的人数为 40，则 m＝40% C．总体中对平台二满意的消费者人数约为 300 D．样本中对平台一满意的人数为 24 人 6．设不同直线 l1：x﹣my+1＝0，l2：（m﹣1）x﹣2y﹣2＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的 ( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．如图．四边形 是正方形，点 ， 分别在边 ， 上， 是等边三角 形，在正方形 内随机取一点，则该点取自 内的概率为( ) A． B． C． D． 8．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a6＝2，（a2+a10）（2a3+a9）＝12，则 S5＝ ( ) A．5 B．3 C．﹣3 D．﹣5 9．已知 ， 是单位向量，且 + ＝（ ，﹣1），则| ﹣ |＝( ) A．1 B． C． D．2 10．已知圆 x2+y2﹣2x+4y＝0 关于双曲线 的一条渐近线对称，则 m ＝ ( ) ABCD E F AD CD BEF ABCD BEF 2 3− 1 3 2 3 3− 3 3 A． B． C． D． 11．已知函数 f（x）＝2x+log2x，且实数 a＞b＞c＞0，满足 f（a）f（b）f（c）＜0，若实数 x0 是函数 y＝f（x）的一个零点，那么下列不等式中不可能成立的是 ( ) A．x0＜a B．x0＞a C．x0＜b D．x0＜c 12．已知三棱锥 ，面 面 ， ， ， ， 则三棱锥 外接球的表面积( ) A． B． C． D． 第 II 卷 非选择题（90 分） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．若变量 x，y 满足 ，则 x+y 的最小值为　 　． 14．已知{an}是等差数列，公差 d 不为零，若 a2，a3，a7 成等比数列，且 2a1+a2＝1，则 a1 ＝　 　，d＝　 　． 15．已知 y＝f（x）的定义域为 R 的偶函数，当 x≥0 时，f（x）＝ ， 若关于 x 的方程[f（x）]2+af（x）+b＝0（a，b∈R）有且仅有 6 个不同的实数根，在实数 a 的取值范围是　 　． 16．△ABC 中，（3 +2 ）• ＝0，且对于 t∈R，| ﹣t |最小值为 |BC|，则∠BAC ＝　 　． 三．解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分 17．（12 分）△ABC 为直角三角形，斜边 BC 上一点 D，满足 ． P ABC− PAB ⊥ ABC 4PA PB= = 4 3AB = 90ACB∠ =  P ABC− 20π 32π 64π 80π （I）若∠BAD＝30°，求∠C； （II）若 ，AD＝2，求 BC． 18．（12 分）某省即将实行新高考，不再实行文理分科．某校为了研究数学成绩优秀是否 对选择物理有影响，对该校 2018 级的 1000 名学生进行调查，收集到相关数据如下： （I）根据以上提供的信息，完成 2×2 列联表，并完善等高条形图； 选物理 不选物理 总计 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 260 总计 600 1000 （II）能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为数学成绩优秀与选物理有关？ 附： 临界值表： P（K2≥k0） 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19．（12 分）22．如图 1，已知菱形 的对角线 交于点 ，点 为线段 的中点， ， ，将三角形 沿线段 折起到 的位置， ，如图 2 所示． （Ⅰ）证明：平面 平面 ； （Ⅱ）求三棱锥 的体积． 20．（12 分）已知函数 f（x）＝a（x+1）2，g（x）＝xex． （I）若 g（x）的切线过（﹣4，0），求该切线方程； （II）讨论 f（x）与 g（x）图象的交点个数． AECD ,AC DE F E AB 2AB = 60BAD∠ = ° ADE DE PDE 6 2PC = PBC ⊥ PCF E PBC− 21．（12 分）已知圆 ，圆 ，如图，C1，C2 分别交 x 轴正半 轴于点 E，A．射线 OD 分别交 C1，C2 于点 B，D，动点 P 满足直线 BP 与 y 轴垂直，直线 DP 与 x 轴垂直． （I）求动点 P 的轨迹 C 的方程； （II）过点 E 作直线 l 交曲线 C 与点 M，N，射线 OH⊥l 与点 H，且交曲线 C 于点 Q．问 的值是否是定值？如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请说明理 由． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 为参数），以坐标 原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ＝2cosθ． （I）求曲线 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程； （II）已知曲线 C3 的极坐标方程为 θ＝α（0＜α＜π，ρ∈R），点 A 是曲线 C3 与 C1 的交点， 点 B 是曲线 C3 与 C2 的交点，A、B 均异于原点 O，且|AB|＝2 ，求实数 α 的值． 23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 已知函数 f（x）＝|2x﹣4|+|x+1|，x∈R． （I）解不等式 f（x）≤9； （II）若方程 f（x）＝﹣x2+a 在区间[0，2]有解，求实数 a 的取值范围． 参考答案 1-5：CBCDB 6-10:CDDAD 11-12:DC 13.-3 14. 15. 16. 17．解：（1）∵△ABC 为直角三角形， ，∠BAD＝30°， ∴由正弦定理： ，即 ＝ ， ∴ ，可得∠ADB＝∠C+∠DAC＝120°， ∵∠BAD＝30°，∠C 为直角，可得∠DAC＝60°，∴∠C＝60°． （2）设 BD＝ CD＝a， ∴AB＝ a， ，BC＝3a，∴cosC＝ ＝ ，∵AD＝2， ∴ 由 余 弦 定 理 得 ： cosC ＝ ＝ ＝ ， 得 ， ∴ ． 18．解：（1）根据题意填写列联表如下， 选物理 不选物理 总计 数学成绩优秀 420 320 740 数学成绩不优秀 180 80 260 总计 600 400 1000 完善等高条形图，如图所示； 1,3 2 − )1,4 9()4 9,2 5( −−−−  4 π （2）由表中数据，计算 K2＝ ≈12.474＞3.841， 所以能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为数学成绩优秀与选物理有关． 19．解：（Ⅰ）折叠前，因为四边形 为菱形，所以 ； 所以折叠后， ， , 又 ， 平面 ， 所以 平面 因为四边形 为菱形，所以 ． 又点 为线段 的中点，所以 ． 所以四边形 为平行四边形． 所以 ． 又 平面 ，所以 平面 ． 因为 平面 ，所以平面 平面 ． （Ⅱ）图 1 中，由已知得 ， ， 所以图 2 中， ，又 所以 ，所以 又 平面 ，所以 又 ， 平面 ， 所以 平面 ， 所以 ． AECD AC DE⊥ DE PF⊥ DE CF⊥ PF CF F∩ = ,PF CF ⊂ PCF DE ⊥ PCF AECD / / ,AE DC AE DC= E AB / / ,EB DC EB DC= DEBC / /CB DE DE ⊥ PCF BC ⊥ PCF BC ⊂ PBC PBC ⊥ PCF 3 2AF CF= = 1BC BE= = 60CBE∠ = ° 3 2PF CF= = 6 2PC = 2 2 2PF CF PC+ = PF CF⊥ BC ⊥ PCF BC ⊥ PF BC CF C∩ = ,BC CF ⊂ BCDE PF ⊥ BCDE 1 1 1 3 11 1 sin603 3 2 2 8E PBC P BCE BCEV V S PF− − ∆= = × × = × × × × × = 所以三棱锥 的体积为 ． 20.解：（1）g（x）＝xex 的导数为 g′（x）＝（x+1）ex， 设切点为（x0，y0），则 ， 化简得 x0＝x02+5x0+4，所以 x0＝﹣2，k＝﹣e﹣2， 切线方程为 y＝﹣e﹣2（x+4）； （2）设 F（x）＝g（x）﹣f（x），即讨论 F（x）的零点个数． F′（x）＝（1+x）ex﹣2a（1+x）＝（1+x）（ex﹣2a）， a＝0 时，F（x）只有一个零点； a＜0 时，F（x）在（﹣∞，﹣1）↓，（﹣1，+∞）↑， F（﹣1）＝﹣ ＜0，x→﹣∞，x→+∞时，F（x）均→+∞，此时，F（x）有两个零点； a＞0 时，x→﹣∞时，F（x）→﹣∞，x→+∞时，F（x）→+∞， 由 F'（x）＝0 得 x＝﹣1，x＝ln（2a）， 若 时，F（x）在 R 上递增，只有一个零点； 若 a≠ 时，F（﹣1）＝﹣ ＜0，F（ln（2a））＝﹣a﹣aln2（2a）＜0， 极大值、极小值均小于 0，从而也只有一个零点． 综上，a≥0 时，f（x）与 g（x）的图象只有一个交点；a＜0 时，有两个交点． 21．解：方法一：（1）如图设∠BOE＝α，则 ，D（2cosα， 2sinα），所以 xP＝2cosα， ．所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 ． 方法二：（1）当射线 OD 的斜率存在时，设斜率为 k，OD 方程为 y＝kx， 由 得 ，同理得 ，所以 ， 即有动点 P 的轨迹 C 的方程为 ． 当射线 OD 的斜率不存在时，点 也满足． （2）由（1）可知 E 为 C 的焦点，设直线 l 的方程为 （斜率不为 0 时）， 且设点 M（x1，y1），N（x2，y2），由 ， E PBC− 1 8 得 ， 所以 ，所以 ， 又射线 OQ 方程为 y＝﹣mx，代入椭圆 C 的方程得 x2+2（my）2＝4， 即 ， ， ， 所以 ， 又当直线 l 的斜率为 0 时，也符合条件．综上， 为定值，且为 ． 22.解：（1）由曲线 C1 的参数方程 为参数），得曲线 C1 的普通方程 为 ，由曲线 C2 的极坐标方程 ρ＝2cosθ，得 C2 的直角坐标方程为（x﹣1） 2+y2＝1； （2）曲线 C1 化为极坐标方程为 ， 设 A（ρ1，α），B（ρ2，α），则 ， ∴ ， 由 知， ， ∵ ，∴ 或 ，∴ 或 ． 23．解：（1）f（x）≤9 可化为|2x﹣4|+|x+1|≤9， 故 ，或 ，或 ；…（2 分） 解得：2＜x≤4，或﹣1≤x≤2，或﹣2≤x＜﹣1； …（4 分） 不等式的解集为[﹣2，4]；…（5 分） （2）由题意：f（x）＝﹣x2+a⇔a＝x2﹣x+5，x∈[0，2]． 故方程 f（x）＝﹣x2+a 在区间[0，2]有解⇔函数 y＝a 和函数 y＝x2﹣x+5，图象在区间[0，2] 上有交点 ∵当 x∈[0，2]时，y＝x2﹣x+5∈[ ，7] ∴实数 a 的取值范围是[ ，7]…………………（10 分）