2019届二轮复习第2讲　数列的求和问题课件（50张）（全国通用）

2019届二轮复习第2讲　数列的求和问题课件（50张）（全国通用）

第 2 讲　数列的求和问题 专题二　数　 列 板块三　专题突破核心考点 [ 考情考向分析 ] 高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求一般数列的和，体现了转化与化归的思想 . 热点分类突破 真题押题精练 内容索引 热点分类突破 有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并 . 热点一　分组转化法求和 解答 例 1 　 (2018· 西南名校联盟月考 ) 在各项均为正数的等比数列 { a n } 中， a 1 a 3 ＝ 4 ， a 3 是 a 2 － 2 与 a 4 的等差中项，若 a n ＋ 1 ＝ ( n ∈ N * ). (1) 求数列 { b n } 的通项公式； 解　 设等比数列 { a n } 的公比为 q ，且 q >0 ， 由 a n >0 ， a 1 a 3 ＝ 4 ，得 a 2 ＝ 2 ， 又 a 3 是 a 2 － 2 与 a 4 的等差中项， 故 2 a 3 ＝ a 2 － 2 ＋ a 4 ， ∴ 2·2 q ＝ 2 － 2 ＋ 2 q 2 ， ∴ q ＝ 2 或 q ＝ 0( 舍 ). ∴ a n ＝ a 2 q n － 2 ＝ 2 n － 1 ， ∴ a n ＋ 1 ＝ 2 n ＝ ， ∴ b n ＝ n ( n ∈ N * ). 解答 在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想 . 把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解 . 在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数 n 进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式 . 思维升华 解答 跟踪演练 1 　 (2018· 焦作模拟 ) 已知 { a n } 为等差数列，且 a 2 ＝ 3 ， { a n } 前 4 项的和为 16 ，数列 { b n } 满足 b 1 ＝ 4 ， b 4 ＝ 88 ，且数列 { b n － a n } 为等比数列 ( n ∈ N * ). (1) 求数列 { a n } 和 { b n － a n } 的通项公式； 解　 设 { a n } 的公差为 d ， 因为 a 2 ＝ 3 ， { a n } 前 4 项的和为 16 ， 解得 a 1 ＝ 1 ， d ＝ 2 ， 所以 a n ＝ 1 ＋ ( n － 1) × 2 ＝ 2 n － 1( n ∈ N * ). 设 { b n － a n } 的公比为 q ，则 b 4 － a 4 ＝ ( b 1 － a 1 ) q 3 ， 所以 b n － a n ＝ (4 － 1) × 3 n － 1 ＝ 3 n ( n ∈ N * ). 解答 (2) 求数列 { b n } 的前 n 项和 S n . 解　 由 (1) 得 b n ＝ 3 n ＋ 2 n － 1 ， 所以 S n ＝ (3 ＋ 3 2 ＋ 3 3 ＋ … ＋ 3 n ) ＋ ( 1 ＋ 3 ＋ 5 ＋ … ＋ 2 n － 1) 热点二　错位相减法求和 错位相减法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列 { a n · b n } 的前 n 项和，其中 { a n } ， { b n } 分别是等差数列和等比数列 . 解答 例 2 　 (2018· 百校联盟联考 ) 已知数列 { a n } 满足 a 1 ＝ a 3 ， a n ＋ 1 － ＝ ， 设 b n ＝ 2 n a n ( n ∈ N * ). (1) 求数列 { b n } 的通项公式； 所以 b n ＝ b 1 ＋ 3( n － 1) ＝ 3 n － 1( n ∈ N * ). 所以数列 { b n } 是公差为 3 的等差数列， 又 a 1 ＝ a 3 ， (2) 求数列 { a n } 的前 n 项和 S n . 解答 (1) 错位相减法适用于求数列 { a n · b n } 的前 n 项和，其中 { a n } 为等差数列， { b n } 为等比数列 . (2) 所谓 “ 错位 ” ，就是要找 “ 同类项 ” 相减 . 要注意的是相减后得到部分求等比数列的和，此时一定要查清其项数 . (3) 为保证结果正确，可对得到的和取 n ＝ 1,2 进行验证 . 思维升华 跟踪演练 2 　 (2018· 滨海新区七所重点学校联考 ) 已知数列 { a n } 的前 n 项和是 S n ，且 S n ＋ a n ＝ 1( n ∈ N * ). 数列 { b n } 是公差 d 不等于 0 的等差数列， 且 满足 ： b 1 ＝ a 1 ， b 2 ， b 5 ， b 14 成等比数列 . (1) 求数列 { a n } ， { b n } 的通项公式； 解答 b 1 ＝ 1 ， d 2 － 2 d ＝ 0 ，因为 d ≠ 0 ，解得 d ＝ 2 ， b n ＝ 2 n － 1( n ∈ N * ). (2) 设 c n ＝ a n · b n ，求数列 { c n } 的前 n 项和 T n . 解答 裂项相消法是指把数列和式中的各项分别裂开后，某些项可以相互抵消从而求和的方法，主要 适用于 或 ( 其中 { a n } 为等差数列 ) 等形式的数列求和 . 热点三　裂项相消法求和 解答 例 3 　 (2018· 天津市十二校模拟 ) 已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n 满足： S n ＝ a ( S n － a n ＋ 1) ( n ∈ N * )( a 为常数， a ≠ 0 ， a ≠ 1). (1) 求 { a n } 的通项公式； 解　 ∵ S n ＝ a ( S n － a n ＋ 1) ， ∴ n ＝ 1 时， a 1 ＝ a . n ≥ 2 时， S n － 1 ＝ a ( S n － 1 － a n － 1 ＋ 1) ， ∴ S n － S n － 1 ＝ a n ＝ a ( S n － S n － 1 ) － aa n ＋ aa n － 1 ， ∴ 数列 { a n } 是以 a 为首项， a 为公比的等比数列， ∴ a n ＝ a n ( n ∈ N * ). 解答 (2) 设 b n ＝ a n ＋ S n ，若数列 { b n } 为等比数列，求 a 的值； 解　 由 b n ＝ a n ＋ S n 得， b 1 ＝ 2 a ， b 2 ＝ 2 a 2 ＋ a ， b 3 ＝ 2 a 3 ＋ a 2 ＋ a . ∵ 数列 { b n } 为等比数列， 解答 (1) 裂项相消法的基本思想就是把通项 a n 分拆成 a n ＝ b n ＋ k － b n ( k ≥ 1 ， k ∈ N * ) 的形式，从而在求和时达到某些项相消的目的，在解题时要善于根据这个基本思想变换数列 { a n } 的通项公式，使之符合裂项相消的条件 . ( 2) 常用的裂项公式 思维升华 解答 跟踪演练 3 　 (2018· 华大新高考联盟质检 ) 已知数列 { a n } 为递增数列， a 1 ＝ 1 ，其前 n 项和为 S n ，且满足 2 S n ＝ a － 2 S n － 1 ＋ 1( n ≥ 2 ， n ∈ N * ). (1) 求数列 { a n } 的通项公式； 又数列 { a n } 为递增数列， a 1 ＝ 1 ， ∴ a n ＋ a n － 1 >0 ， ∴ a n － a n － 1 ＝ 2( n ≥ 3) ， a 2 － a 1 ＝ 2 ， 符合 a n － a n － 1 ＝ 2 ， ∴ { a n } 是以 1 为首项，以 2 为公差的等差数列， ∴ a n ＝ 1 ＋ ( n － 1) × 2 ＝ 2 n － 1( n ∈ N * ). 解答 又 n ∈ N * ， ∴ n 的最小值为 10. 真题押题精练 真题体验 答案 解析 解析　 设等差数列 { a n } 的公差为 d ， 2.(2017· 天津 ) 已知 { a n } 为等差数列，前 n 项和为 S n ( n ∈ N * ) ， { b n } 是首项为 2 的等比数列，且公比大于 0 ， b 2 ＋ b 3 ＝ 12 ， b 3 ＝ a 4 － 2 a 1 ， S 11 ＝ 11 b 4 . (1) 求 { a n } 和 { b n } 的通项公式； 解答 解　 设等差数列 { a n } 的公差为 d ，等比数列 { b n } 的公比为 q . 由已知 b 2 ＋ b 3 ＝ 12 ，得 b 1 ( q ＋ q 2 ) ＝ 12 ，而 b 1 ＝ 2 ， 所以 q 2 ＋ q － 6 ＝ 0. 又因为 q >0 ，解得 q ＝ 2 ，所以 b n ＝ 2 n . 由 b 3 ＝ a 4 － 2 a 1 ，可得 3 d － a 1 ＝ 8 ， ① 由 S 11 ＝ 11 b 4 ，可得 a 1 ＋ 5 d ＝ 16 ， ② 联立 ①② ，解得 a 1 ＝ 1 ， d ＝ 3 ， 由此可得 a n ＝ 3 n － 2( n ∈ N * ). 所以数列 { a n } 的通项公式为 a n ＝ 3 n － 2( n ∈ N * ) ，数列 { b n } 的通项公式为 b n ＝ 2 n ( n ∈ N * ). (2) 求数列 { a 2 n b 2 n － 1 } 的前 n 项和 ( n ∈ N * ). 解答 解　 设数列 { a 2 n b 2 n － 1 } 的前 n 项和为 T n ，由 a 2 n ＝ 6 n － 2 ， b 2 n － 1 ＝ 2 × 4 n － 1 ，得 a 2 n b 2 n － 1 ＝ (3 n － 1) × 4 n ， 故 T n ＝ 2 × 4 ＋ 5 × 4 2 ＋ 8 × 4 3 ＋ … ＋ (3 n － 1) × 4 n ， ③ 4 T n ＝ 2 × 4 2 ＋ 5 × 4 3 ＋ 8 × 4 4 ＋ … ＋ (3 n － 4) × 4 n ＋ (3 n － 1) × 4 n ＋ 1 ， ④ ③ － ④ ，得－ 3 T n ＝ 2 × 4 ＋ 3 × 4 2 ＋ 3 × 4 3 ＋ … ＋ 3 × 4 n － (3 n － 1) × 4 n ＋ 1 押题预测 答案 解析 押题依据 押题依据　 数列的通项以及求和是高考重点考查的内容，也是《考试大纲》中明确提出的知识点，年年在考，年年有变，变的是试题的外壳，即在题设的条件上有变革，有创新，但在变中有不变性，即解答问题的常用方法有规律可循 . 1 押题依据　 错位相减法求和是高考的重点和热点，本题先利用 a n ， S n 的关系求 a n ，也是高考出题的常见形式 . 解答 押题依据 解　 当 n ＝ 1 时， a 1 ＝ S 1 ＝ 1 ， 当 n ≥ 2 时， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ 2 n － 1( n ∈ N * ) ， 又 a 1 ＝ 1 满足 a n ＝ 2 n － 1 ， ∴ a n ＝ 2 n － 1( n ∈ N * ). 且 b n >0 ， ∴ 2 b n ＋ 1 ＝ b n ， 解答 (2) 设 c n ＝ a n b n ，求数列 { c n } 的前 n 项和 T n .