高中数学讲义微专题78 定值问题

高中数学讲义微专题78 定值问题

微专题 78 圆锥曲线中的定值问题 一、基础知识： 所谓定值问题，是指虽然圆锥曲线中的某些要素（通常可通过变量进行体现）有所变化， 但在变化过程中，某个量的值保持不变即为定值。 1、常见定值问题的处理方法： （1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示 （2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否 得到一个常数。 2、定值问题的处理技巧： （1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而 给后面一般情况的处理提供一个方向。 （2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢 （3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算 二、典型例题： 例 1：已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，一条渐近线方程为 ，右焦点 ， 双曲线的实轴为 ， 为双曲线上一点（不同于 ），直线 分别于直线 交于 两点 （1）求双曲线的方程 （2）试判断 是否为定值，若为定值，求出该值；若不为定值，请说明理由 解：（1）由 可得 ，且焦点在 轴上 所以设双曲线方程为： ，则渐近线方程为 由 解得： 双曲线方程为 （2）由（1）可得： ，设 4 3y x  5,0F 1 2A A P 1 2,A A 1 2,A P A P 9: 5l x  ,M N FM FN   5,0F 5c  x 2 2 2 2 1x y a b  by xa  4 3 b a  2 2 2 25a b c   3 4 a b     2 2 19 16 x y     1 23,0 , 3,0A A  0 0,P x y 设 ，联立方程 解得： 同理：设 ，联立方程 可得： 下面考虑计算 的值 在双曲线上 所以 为定值 例 2：已知椭圆 的离心率为 ，且过点 （1）求椭圆方程 （2）设不过原点 的直线 ，与该椭圆交于 两点，直线 的 斜率依次为 ，且满足 ，试问：当 变化时， 是否为定值？若是，求出此 定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由 解：（1）由 可得： 椭圆方程为 代入 可得：  1 1: 3A P y k x   1 3 9 5 y k x x    1 9 24,5 5M k      2 2: 3A P y k x   1 3 9 5 y k x x    2 9 6,5 5N k    1 216 24 16 6, , ,5 5 5 5 k kFM FN                 1 2256 144 25 25 k kFM FN     1 2k k 0 0 1 2 0 0 ,3 3 y yk kx x   2 0 1 2 2 0 9 yk k x    0 0,P x y  2 2 2 2 20 0 0 0 0 16 161 16 99 16 9 9 x y xy x       2 0 1 2 2 0 16 9 9 yk k x   256 144 16 025 25 9FM FN       FM FN    2 2 2 2 1 0x y a ba b    3 2 22, 2       O  : 0l y kx m k   ,P Q ,OP OQ 1 2,k k 1 24k k k  k 2m 3 2 ce a  : : 2 :1: 3a b c   2 2 2 2 14 x y b b  22, 2       解得： 椭圆方程为 （2）设 ，联立方程可得： 消去 可得： ，整理可得： 依题意可知： 即 ① 由方程 可得： 代入①可得： ，整理可得： 可知 为定值，与 的取值无关 例 3：已知椭圆 经过点 ， ，动点 （1）求椭圆标准方程 （2）设 为椭圆的右焦点，过 作 的垂线与以 为直径的圆交于点 ，求证： 的长为定值，并求出这个定值  2 2 2 2 2 1 2 14 2b b        1b  2a   2 2 14 x y     1 1 2 2, , ,P x y Q x y 2 24 4 y kx m x y      y  22 4 4x kx m    2 2 24 1 8 4 4 0k x kmx m     1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 ,y kx m m y kx m mk k k kx x x x x x          1 2 1 2 1 14 4 2k k k k k m x x            1 2 1 2 2 x xk m x x    2 2 24 1 8 4 4 0k x kmx m     2 1 2 1 22 2 8 4 4,4 1 4 1 km mx x x xk k      2 2 2 8 4 12 4 4 4 1 km kk m m k      2 2 2 2 82 14 4 kmk m mm      2 1 2m   2m k   2 2 2 2 1 0x y a ba b    6 1,2 2P      2 2e    2, 0M t t  F F OM OM N ON 解：（1）由 可得： 椭圆方程可转化为： ，将 代入椭圆方程可得： ，解得： 椭圆方程为 （2）由（1）可得： 思路一：通过圆的性质可得 ，而 （设垂足为 ），由双垂直可想到射 影定理，从而 ，即可判定 为定值 ，设 与 相交于 则 解得： 为圆的直径 由射影定理可得： 思路二：本题也可从坐标入手，设 ，则只需证明 为定值即可，通 过条件寻找 关系，一方面： ，可得 ；另一方 面 由 点 在 圆 上 ， 可 求 出 圆 的 方 程 ， 从 而 ，展开后即可得到 为定值 2 2e  : : 2 :1:1a b c   2 2 2 2 12 x y b b  6 1,2 2P      2 2 2 2 1 6 1 1 12 2 2b b           2 1b   2 2 12 x y   1,0F : 2 tOM y x ON MN NF OM K 2ON OK OM  ON  2: 1FN y xt    OM FN K   2: 2 1 ty x K y xt       2 2 4 2,4 4 tK t t       2 2 2 2 2 4 2 4 4 4 4 tOK t t t                24OM t  OM ON MN  NK OM 2 2ON OK OM   2ON   0 0,N x y 2 2 2 0 0ON x y  0 0,x y 0FN OM FN OM     0 02 2x ty  N   2 2 21 12 4 t tx y          2 2 2 0 01 12 4 t tx y        2 2 0 0x y 解：设 ，则 的中点坐标为 ， 以 为直径的圆方程为： 代入 ，可得： 即 例 4：已知椭圆 的离心率为 ，半焦距为 ，且 ， 经过椭圆的左焦点 ，斜率为 的直线与椭圆交于 两点， 为坐标原点 （1）求椭圆 的方程 （2）设 ，延长 分别与椭圆交于 两点，直线 的斜率为 ，求证： 为定值 解：（1） ，设 由 可得：  0 0,N x y    0 01, , 2,FN x y OM t     0 02 1 0FN OM x y t       0 02 2x y t   OM 1, 2 t     2 4OM t  2 4 2 tr    OM   2 2 21 12 4 t tx y         0 0,N x y   2 2 2 0 01 12 4 t tx y        2 2 2 2 0 0 0 02 1 14 4 t tx y x ty        2 2 0 0 0 02 2x y x ty     2 2 0 0 2x y   2 2ON  2ON    2 2 2 2: 1 0x yC a ba b    2 3  0c c  1a c  F  1 1 0k k  ,A B O C  1,0R ,AR BR ,C D CD 2k 1 2 k k 2 3 ce a  2 , 3c k a k  1a c  3 2 1 1k k k    3, 2a c   2 2 2 5b a c    2 2 : 19 5 x yC   （2）由（1）可得 ，设 可得： 联立方程 同理，直线 与椭圆交点 的坐标为 设 ，代入可得： 小 炼 有 话 说 ：本题中注意 的变形：可通过直线方程用 表示 ，代入后 即可得到关于 的表达式  2,0F         1 1 2 2 3 3 4 4, , , , , , ,A x y B x y C x y D x y  1 1 1 1 1: 1 11 y xAR y x x yx y       1 21 1 1 22 2 1 1 1 1 5 1 4 0 19 5 xx yy x xy yy yx y             2 2 1 1 1 3 1 1 4 4 5 5 y yy y x x     1 3 1 4 5 yy x   1 1 3 3 1 1 1 5 91 5 x xx yy x       1 1 1 1 5 9 4,5 5 x yC x x       BR D 2 2 2 2 5 9 4,5 5 x yD x x                 1 2 1 2 2 13 4 1 2 2 1 23 4 1 2 2 1 1 2 4 4 4 5 4 55 5 5 9 5 9 5 9 5 5 9 5 5 5 y y y x y xy y x xk x xx x x x x x x x                           1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 4 5 4 5 5 16 4 y x y x y x y x y y x x x x          1: 2AB y k x      1 1 1 2 1 2 2 2 y k x y k x                   1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 5 2 5 4 4 k x x k x x y y k x x y yk x x x x           2 1 1 1 1 1 2 1 1 5 1 5 7 2 4 2 4 4 y yk k k kx x       2 1 7 4 k k  1 2 2 1y x y x 1 2,x x 1 2,y y 1 2 1 2,x x x x 例 5：已知椭圆 的右焦点为 ，且点 在椭圆 上， 为坐标原点 （1）求椭圆 的标准方程 （2）过椭圆 上异于其顶点的任一点 ，作圆 的切线，切 点分别为 （ 不在坐标轴上），若直线 的横纵截距分别为 ，求证： 为定值 解：（1）依 可知 椭圆方程为 代入 解得： 椭圆方程为 （2）思路：由（1）可得： ，可设 ，由题意可知 为过 作 圆 切 线 所 产 生 的 切 点 弦 ， 所 以 , 从 而 可 得 ， 所 以 ，由椭圆方程可得 ，从而 为定 值 解：由（1）可得： 设 可知 是过 作圆切线所产生的切点弦 设 ，由 是切点可得： ，代入 ： ，   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b     1,0F 33, 2P      C O C 2 2 1 2 2 : 15 3 x yC a b    Q 2 2 4: 3O x y  ,M N ,M N MN ,m n 2 2 1 1 3m n  1,0F 1c   2 2 2 2 11 x y a a  33, 2P      2 4a  2 2 2 3b a c     2 2 14 3 x y  2 2 1 3: 14 4 x yC    0 0,Q x y MN Q 0 0 4: 3MN x x y y  0 0 4 4,3 3m nx y   2 2 0 02 2 1 1 9 33 48 x ym n   2 2 0 03 4x y  2 2 1 1 9 3 3 12 4m n   2 2 2 2 1 3: 1 154 4 43 3 x y x yC        0 0,Q x y  MN Q    1 1 2 2, , ,M x y N x y ,M N ,OM MQ ON NQ  1 1 1 MQ OM xk k y      1 0 0 1 : xMQ y y x xy     1 1,M x y  1 1 0 1 0 1 xy y x xy    即 ，同理可知对于 ，有 因为 在圆 上 为直线 上的点 因为两点唯一确定一条直线 ，即 由截距式可知 在椭圆 上 即 为定值 小 炼 有 话 说 ： （1）本题定值是通过整体代入的手段，即抓住最后 的特点整体消去 所得， 所以在处理定值问题时，涉及的变量个数可以多，但是要有一定的条件保证能够消去。 （2）本题求直线 方程的过程即为切点弦公式证明的过程，此时抓住两点所在方程“同构” 的特点，从而确定直线方程 注：切点弦方程：过圆外一点 作圆 的切线，切点为 ，则切点弦 的方 程为： 例 6：如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆 ，设 为椭圆上任意一 2 2 1 0 1 0 1 1x x y y x y   NQ 2 2 2 0 2 0 2 2x x y y x y   ,M N 2 2 4: 3O x y  2 2 1 1 2 2 2 2 4 3 4 3 x y x y       1 0 1 0 2 0 2 0 4 3 4 3 x x y y x x y y       ,M N 0 0 4 3x x y y  0 0 4: 3MN x x y y   0 0 1 4 4 3 3 x y x y              0 0 4 4,3 3m nx y   2 2 2 2 0 0 0 02 2 1 1 1 9 9 9 33 3 16 16 48x y x ym n       Q 1C 2 2 0 03 4x y    2 2 0 02 2 1 1 9 333 48 4x ym n     2 2 1 1 3m n 2 2 0 03 4x y  0 0,x y MN Q 2 2 2: x y r  ,A B AB 2 0 0x x y y r  2 2 : 124 12 x yC    0 0,R x y 点。过原点作圆 的两条切线，分别交椭圆于 （1）若直线 相互垂直，求 的方程 （2）若直线 斜率存在，并记为 ，求证： 是一个定值 （3）试问 是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由 解：（1）由 可得 ，即 联立方程： 或 或 或 的方程为： 或 或 或 （2）思路：可设直线 ，均与圆相切，可得 （其中 ）化简可得： ，可发现 均满足此方程，从而 为 的两根。则 ，再利用椭圆方程消元即 可得到定值 解：设 与 相切 化简可得： 对于 ，同理可得：    2 2 0 0: 8R x x y y    ,P Q ,OP OQ R ,OP OQ 1 2,k k 1 2k k 2 2OP OQ    2 2 0 0: 8R x x y y    2 2r  OP OQ 2 4OR r   2 2 0 0 16x y  2 2 0 0 0 2 2 0 0 0 2 2124 12 2 216 x y x yx y           0 0 2 2 2 2 x y      0 0 2 2 2 2 x y    0 0 2 2 2 2 x y     R    2 2 2 2 2 2 8x y       2 2 2 2 2 2 8x y       2 2 2 2 2 2 8x y       2 2 2 2 2 2 8x y    1 2: , :OP y k x OQ y k x  0 0 21 i i k x yd k   1,2i   2 2 2 0 0 0 08 2 8 0i ix k x y k y     1 2,k k 1 2,k k  2 2 2 0 0 0 08 2 8 0x k x y k y     2 0 1 2 2 0 8 8 yk k x   1 2: , :OP y k x OQ y k x  OP R 1 0 0 2 1 2 2 1R OP k x yd r k         2 2 1 0 0 18 1k x y k     2 2 2 0 1 0 0 1 08 2 8 0x k x y k y     2:OQ y k x  2 2 2 0 2 0 0 2 08 2 8 0x k x y k y     为 的两根 （3）思路：设 ， ，由第（2）问所得 结论，可以考虑通过联立直线与椭圆方程将 坐标分别用 进行表示，再判断 是否为定值 解：当 不在坐标轴上时，设 同理可得： 若 在坐标轴上（不妨设 在 轴）上，则 综上所述， 为定值 例 7：已知椭圆 ，称圆心在原点，半径为 的圆为椭圆 1 2,k k  2 2 2 0 0 0 08 2 8 0x k x y k y     2 0 1 2 2 0 8 8 yk k x    2 2 0 0 124 12 x y  2 2 0 024 2x y   2 0 1 2 2 0 8 1 24 2 8 2 yk k y         1 1 2 2, , ,P x y Q x y 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2OP OQ x y x y     ,P Q 1 2,k k 2 2OP OQ ,P Q    1 1 2 2, , ,P x y Q x y 1 2 2 22 2 1: 2 24 124 12 y k x P x k xx y       2 2 2 1 1 12 2 1 1 24 24,2 1 2 1 kx yk k    2 2 2 2 2 22 2 2 2 24 24,2 1 2 1 kx yk k      2 22 2 1 22 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 24 1 24 124 24 24 24 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 k kk kx y x y k k k k k k                    2 2 2 1 1 1 22 2 1 1 1 111 2 36 7224 362 1 2 112 12 k k k k k k                      ,P Q P x    2 6,0 , 0,2 3P Q 2 2 36OP OQ   2 2OP OQ 36   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b    2 2a b C 的“准圆”，若椭圆 的一个焦点为 ，其短轴上的一个端点到 的距离为 （1）求椭圆 的方程及其“准圆”方程 （2）点 是椭圆 的“准圆”上的动点，过点 作椭圆的切线 交“准圆”于点 ① 当点 为“准圆”与 轴正半轴的交点时，求直线 的方程并证明 ② 求证：线段 的长为定值 解：（1）依题意可得： ， （2）① 由（1）可得 ，设切线方程为： 联立方程： 消去 可得： 整理可得： 解得： 所以 ② 设 则 ，消去 可得： 整理可得： 整理后可得： 同理，对于设切线 的斜率为 ，则有： C  2,0F F 3 C P C P 1 2,l l ,M N P y 1 2,l l 1 2l l MN 2c  3a  2 2 2 1b a c    2 2 13 x y   2 2 2r a b   2 2: 4O x y   0,2P 2y kx  2 2 13 2 x y y kx       y  22 3 2 3x kx    2 23 1 12 9 0k x kx     2 2 2144 36 3 1 0 36 36 0k k k        1k   : 2, : 2PM y x PN y x     PM PN   0 0,P x y  0 1 0:PM y y k x x    0 1 0 2 23 3 y y k x x x y       y   22 1 0 03 3x k x x y         2 2 2 2 2 2 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 03 1 6 6 3 6 3 3 0k x k x k y x k x k y x y            22 2 2 2 2 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 036 4 3 1 3 6 3 3 0k x k y k k x k y x y          2 2 2 0 1 0 0 1 03 2 1 0x k x y k y     PN 2k 在“准圆”上 所以 为“准圆”的直径 为定值， 例 8：已知点 在椭圆 上，椭圆 的左焦点为 （1）求椭圆 的方程 （2）直线 过点 交椭圆 于 两点， 是椭圆 经过原点 的弦，且 ，问是否存在正 数 ，使得 为定值？若存在，请求出 的值；若不存 在，请说明理由。 解：（1）由左焦点 可得 ，由 ，代入 可得： 解得： （2）思路：由所求可联想到弦长公式，除了所求变量 ，直线 的另一核心要素为斜 率 （假设 存在），通过 可联想到弦长公式，所以分别将直线 的方程与椭圆 方程联立，进而 为关于 的表达式，若 为常数，则意味着与 的取值无关， 进而确定 的值 设直线 , ，联立方程：  2 2 2 0 2 0 0 2 03 2 1 0x k x y k y     2 0 1 2 2 0 1 3 yk k x    P 2 2 2 2 0 0 0 04 1 3x y y x       1 2 1k k   PM PN MN MN 4MN  31, 2P      2 2 2 2: 1 0x yC a ba b    C  1,0 C l  ,0T m  0m  C ,M N AB C O MN AB∥ m 2AB MN m  1,0 1c  2 2 2 2 2 1b a c b a     2 2 2 2: 11 x yC a a   31, 2P    2 2 1 9 1 14 1a a   2a  2 2 : 14 3 x yC   m ,MN AB k k 2AB MN ,MN AB 2AB MN ,m k 2AB MN k m :l y kx m     1 1 2 2, , ,M x y N x y 设 ，则 所以若 是个常数， 也为 的形式，即 此时 ，当直线斜率不存在时，可得 符合题意 小 炼 有 话 说 ：本题在判断 的取值也可通过精确的计算得到，通过分式变形化为只有一项 含 的表达式： ，若 的值 与 无关，则   2 2 2 2 2 2 21 3 4 8 4 12 04 3 x y k x k mx k m y kx m             2 2 2 1 2 1 22 2 8 4 12,4 3 4 3 k m k mx x x xk k       2 2 2 2 1 2 2 1 16 12 3 9 1 4 3 k m k MN k x x k               3 3 4 4, , ,A x y B x y 2 2 2 2 1214 3 3 4 x y x ky kx         2 2 2 3 4 2 48 4 3 1 1 4 3 k AB k x x k k           2 2 2 48 1 4 3 k AB k         2 2 2 2 22 2 1 148 1 12 12 3 916 12 3 9 AB kkMN m km k            2AB MN  2 212 3 9m k    21A k 212 3 9 1m m    2 4AB MN  2 4AB MN  1m  m k   2 22 2 2 2 2 22 1 112 12 3 312 3 12 3 3 3 12 3 11 AB mMN m k m m m kk           2AB MN k 23 3 0 1m m    T SR N M P y xO 例 9：如图，已知椭圆 的离心率为 ，以椭圆 的左顶点 为 圆心作圆 ，设圆 与椭圆 交于点 源:Z_xx_k.Com] （1）求椭圆 的方程； （2）求 的最小值，并求此时圆 的方程 [来源:学§科§网][来源:Z|xx|k.Com] （3）设点 是椭圆 上异于 的任意一点，且直线 分别与 轴交于点 ， 为坐标原点，求证： 为定值． 解（1）圆 的圆心 椭圆方程为： （2）由圆与椭圆关于 轴对称可得： 关于 轴对称 设 ，则 ，且有 由 可得： 因为 在椭圆上（非长轴顶点） 时， ，将 代入可得 即 ，代入到圆方程可得： （3）思路：依图可知所 可翻译为坐标运算即 ，且 分别为直线 与 轴的交点，可设出 ，从而结合 和 计算出 的方程，   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b    3 2 C T    2 2 2: 2 0T x y r r    T C ,M N C TM TN  T P C ,M N ,MP NP x ,R S O OR OS T  2,0T  2a  3 2 ce a  3 32c a   2 2 2 1b a c     2 2 14 x y  x ,M N x  0 0,M x y  0 0,N x y 2 20 0 14 x y   2,0T     0 0 0 02, , 2,TM x y TN x y          2 2 22 0 0 0 02 2 14 xTM TN x y x          2 2 1 1 1 5 5 8 14 34 4 5 5x x x         M 02 2x   0 8 5x    min 1 5TM TN    0 8 5x   1 3 5y  8 3,5 5M     2 13 25r  OR OS R Sx x ,R S ,MP NP x  1 1,P x y  0 0,M x y  0 0,N x y ,MP NP 从而 可用 进行表示，再根据椭圆方程 进行消元即可。 解：设 ，由 可得： 的方程为： 令 ，可解得： 同理可解得 与 轴的交点 的横坐标 所以 ① 因为 ， 均在椭圆上 ，代入到①可得： 所以 ，即为定值 例 10：如图所示，在平面直角坐标系 中，设椭圆 ，其中 ，过椭圆 内一点 的两条直线分别与椭圆 交于 和 ，且满足 ，其中 为常数且 ，当点 恰为椭圆右顶点时，对应的 （1）求椭圆 的方程 （2）当 变化时， 是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由 ,R Sx x 0 0 1 1, , ,x y x y 2 20 0 2 21 1 14 14 x y x y        1 1,P x y  0 0,M x y 1 0 1 0 MP y yk x x   MP  1 0 1 1 1 0 y yy y x xx x    0y  0 1 1 0 1 0 R x y x yx y y   NP x S 0 1 1 0 1 0 S x y x yx y y   2 2 2 2 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 2 2 1 0 1 0 1 0 =R S R S x y x y x y x y x y x yOR OS x x x x y y y y y y           1 1,P x y  0 0,M x y 2 20 2 20 0 0 2 2 2 21 1 1 1 1 4 44 4 414 x y x y x x yy                 2 2 2 22 2 2 2 2 2 0 1 1 00 1 1 0 1 0 2 2 2 2 2 2 1 0 1 0 1 0 4 4 4 4 4 4 4 y y y yx y x y y yOR OS y y y y y y           4OR OS  xOy   2 2 2 2: 1 0x yE a ba b    3 2b a E  1,1P ,A C ,B D ,AP PC BP PD       0  C 5 7  E  ABk 解：（1）由 可得： 若 为右顶点，则 ，设 由 可得： 代入 可得 ，代入椭圆方程可得： 解得 椭圆方程为： （2）解：设 由 ，可得： ，因为 在椭圆 上 所以有： ，代入 并整理可得： 整理②可得： 3 2b a : : 2 : 3 :1a b c    2 2 2 2 4: 1 03 x yE a ba a     C  ,0C a  1, 1PC a     ,A x y  1 ,1AP x y      1 ,PC a     AP PC   1 1 1 x a y           1 1 1 x a y        5 7  12 5 12,7 7 aA       2 2 2 2 12 5 4 12 149 49 3 a a a    2a  3b   2 2 14 3 x y         1 1 2 2 3 3 4 4, , , , , , ,A x y B x y C x y D x y AP PC  1 3 1 3 1 1 1 1 xx yy         ,A C 2 2 14 3 x y  2 2 1 1 2 2 3 3 14 3 14 3 x y x y       1 3 1 3 1 1 1 1 xx yy         2 2 1 1 2 2 1 1 3 4 12 1 13 1 4 1 12 x y x y                      ① ②    2 2 2 1 13 1 4 1 12x y                     2 2 2 1 1 1 13 1 4 1 6 1 8 1 5x y x y               2 2 2 1 1 1 1 1 13 4 2 3 4 7 14 2 3 4 5x y x y x y          同理可得：对于 ，则有 ，即为定值 2 1 1 19 5 143 4 2 2x y         ,B D 2 2 2 19 5 143 4 2 2x y           1 1 2 2 1 2 1 23 4 3 4 3 4x y x y x x y y         1 2 1 2 3 4AB y yk x x    