2017-2018学年福建省莆田市莆田第六中学高二下学期期中考试数学试题(A)（word版）

2017-2018学年福建省莆田市莆田第六中学高二下学期期中考试数学试题(A)（word版）

莆田第六中2017-2018学年高二下学期 期中考试数学（A卷）‎ ‎（时间120分钟，满分150分）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1、已知全集，集合，,那么集合（ ）A． B． C．D．‎ ‎2、已知复数的实部为，则复数在复平面上对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3、下列命题中错误的是（ ）‎ ‎ A．命题“若x2－5x＋6＝0，则x＝‎2”‎的逆否命题是“若x≠2，则x2－5x＋6≠‎‎0”‎ ‎ B．命题“角α的终边在第一象限，则α是锐角”的逆命题为真命题 ‎ C．已知命题p和q，若p∨q为假命题，则命题p与q中必一真一假 ‎ D．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题是真命题 ‎ 4、设，则“ ”是“ ”的（ ）‎ ‎ A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 ‎5、已知函数在点处的切线为，则的值为（ ）‎ A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ ‎6、若为实数，则下列命题正确的是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则D．若，则 ‎7、已知是奇函数，且，当时，‎ ‎，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8、若的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9、函数的图象为（ ）‎ ‎ ‎ ‎10、已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，，，则的大小关系正确的是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎11、设函数要使恰有2个零点，则实数的取值范围是（ )‎ A．或 B．C．D．‎ ‎12、‎ 设函数且的零点均在区间内,则的最小值为（ ）‎ A．9 B．‎10 C．11 D．12‎ ‎ ‎ 第Ⅱ卷 二、 填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。）‎ ‎13、对于实数，若，则的最大值为____________．‎ ‎14、已知在上不是单调函数，则的取值范围为 ．‎ ‎15、如图，在平面直角坐标系xoy中，将直线与直线x＝1及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积 据此类比：将曲线y＝x2与直线y＝4所围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V＝ .‎ ‎16、已知函数满足，函数有两个零点，则的取值范围为 ．‎ ‎ ‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17、（本小题满分10分）‎ 已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）当，解不等式；‎ ‎（Ⅱ）若存在，使得成立，求实数的取值范围. ‎ ‎ ‎ ‎18、（本小题满分12分）‎ 极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为 ‎（为参数，），射线与曲线交于（不包括极点）三点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）当时，两点在曲线上，求与的值．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19、（本小题满分12分）‎ 在极坐标系中，曲线,曲线．以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）．‎ ‎（1）求的直角坐标方程；‎ ‎（2）与交于不同的四点，这四点在上排列顺次为,求的值．‎ ‎20、（本小题满分12分）‎ 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品须向总公司缴纳元（为常数，）的管理费，根据多年的统计经验，预计当每件产品的售价为元时，产品一年的销售量为（e为自然对数的底数）万件，已知每件产品的售价为40元时，该产品一年的销售量为500万件．经物价部门核定每件产品的售价最低不低于35元，最高不超过41元．‎ ‎（Ⅰ）求分公司经营该产品一年的利润万元与每件产品的售价元的函数关系式；‎ ‎（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，该产品一年的利润最大，并求出的最大值．‎ 参考公式：为常数．‎ ‎21、（本小题满分12分）‎ 设函数.‎ ‎（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，若函数在上是增函数，求的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）若，不等式对任意恒成立，求整数的最大值．‎ ‎22、（本小题满分12分）‎ 函数 (为实数).‎ ‎(1)若，求证：函数在上是增函数；‎ ‎(2)求函数在上的最小值及相应的的值；‎ ‎(3)若存在，使得成立，求实数的取值范围.‎ ‎‎ 莆田第六中2017-2018学年高二下学期 期中考试数学（A卷）答案 一、 选择题 DCCAC DDDBB AB ‎ 二、 填空题：13、4 14、 15、 16、‎ 三、 解答题：‎ ‎17、（本小题满分10分）‎ 已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）当，解不等式；‎ ‎（Ⅱ）若存在，使得成立，求实数的取值范围.‎ ‎ ‎ 解：（Ⅰ）由，得，（1分）‎ 两边平方，并整理得，（2分）‎ 所以不等式的解集为. （4分）‎ ‎（Ⅱ）法一：‎ 由，得，即. （5分）‎ 令，依题意可得. （6分）‎ ‎，（8分）‎ 当且仅当时，上述不等式的等号同时成立，所以.（9分）‎ 所以的取值范围是. （10分）‎ 法二：‎ 由，得，即. （5分）‎ 令，依题意可得. （6分）‎ ‎，（7分）‎ 易得在上单调递增，在上单调递减，‎ 所以当时，取得最大值. （9分）‎ 故的取值范围是. （10分）‎ ‎18、（本小题满分12分）‎ 极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数，），射线与曲线交于（不包括极点）三点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）当时，两点在曲线上，求与的值．‎ ‎18、解：(1)依题意，，‎ 则 ；‎ ‎(2)当时，两点的极坐标分别为，化为直角坐标为，‎ 曲线是经过点，且倾斜角为的直线，又因为经过点的直线方程为，‎ 所以．‎ ‎19、（本小题满分12分）‎ 在极坐标系中，曲线,曲线．以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）．‎ ‎（1）求的直角坐标方程；‎ ‎（2）与交于不同的四点，这四点在上排列顺次为,求的值．‎ ‎19．解：（1）因为，，，由，得，‎ 所以曲线的直角坐标方程为．‎ 由，得，‎ 所以曲线的直角坐标方程为．‎ ‎（2）不妨设四点在上的排列顺序由下而上依次为,它们对应的参数分别为，如图，连接,则为正三角形，‎ 所以,故．‎ 把代入，得，即，故，‎ 所以．‎ ‎20、（本小题满分12分）‎ 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品须向总公司缴纳元（‎ 为常数，）的管理费，根据多年的统计经验，预计当每件产品的售价为元时，产品一年的销售量为（e为自然对数的底数）万件，已知每件产品的售价为40元时，该产品一年的销售量为500万件．经物价部门核定每件产品的售价最低不低于35元，最高不超过41元．‎ ‎（Ⅰ）求分公司经营该产品一年的利润万元与每件产品的售价元的函数关系式；‎ ‎（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，该产品一年的利润最大，并求出的最大值．‎ 参考公式：为常数．‎ 解：（Ⅰ）由题意，该产品一年的销售量为，将代入得，‎ 故该产品一年的销售量为 2分 故， 5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，‎ 当时，，当且仅当时取等号，‎ 故在上单调递减，故的最大值为7分 当时，⇔，⇔，‎ 故在上单调递增，在上单调递减，‎ 故的最大值为 a 10分 综上所述，当时，每件产品的售价为35元时，该产品一年的利润最大，最大利润为万元；当时，每件产品的售价为（31+a）元时，该产品一年的利润最大，最大利润为万元； 12分 ‎21、（本小题满分12分）‎ 设函数.‎ ‎（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，若函数在上是增函数，求的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）若，不等式对任意恒成立，求整数的最大值．‎ ‎21．(本小题满分15分) ‎ 解：（Ⅰ）当时，所以即切点为 因为所以 所以切线方程为即 ‎（Ⅱ）y=f(x)在 [－1，1]上单调递增，又 方法一：（求函数的最值，即二次函数的动轴定区间最值）依题意在[－1，1]上恒有≥0，即 ② ‎；所以舍去；‎ ‎②当；所以舍去；‎ ‎③当 综上所述，参数a的取值范围是。‎ 方法二：（分离参数法）‎ ‎（Ⅲ）‎ 由于，所以 所以函数在上递增 所以不等式对恒成立 构造 构造 对，所以在递增 所以,‎ 所以,所以在递减 ‎,所以在递增 所以,结合得到 所以对恒成立，所以，整数的最大值为3 .‎ ‎[]‎ ‎[]‎ ‎]‎ ‎22、（本小题满分12分）‎ 函数 (为实数).‎ ‎(1)若，求证：函数在上是增函数；‎ ‎(2)求函数在上的最小值及相应的的值；‎ ‎(3)若存在，使得成立，求实数的取值范围.‎ 解：(1)当时，，其定义域为，‎ ‎，‎ 当时，恒成立，‎ 故函数在上是增函数.‎ ‎(2)，‎ 当时，，‎ ‎①若，在上有 (仅当，时，)，‎ 故函数在上是增函数，此时；‎ ‎②若，由，得，‎ 当时，有，此时在区间上是减函数；‎ 当时，有，此时，在区间上是增函数，‎ 故；‎ ‎③若，在上有 (仅当，时，)，‎ 故函数在上是减函数，此时 综上可知，当时，的最小值为1，相应的的值为1；‎ 当时，的最小值为，相应的值为；‎ 当时，的最小值为，相应的的值为.‎ ‎(3)不等式可化为，‎ 因为，所以，且等号不能同时取，‎ 所以，即，所以，‎ 令，则，‎ 当时，，，‎ 从而 (仅当时取等号)，‎ 所以在上为增函数，所以的最小值为，‎ 所以实数的取值范围为.‎