数学文卷·2018届内蒙古杭锦后旗奋斗中学高三上学期第三次月考试题（解析版）

数学文卷·2018届内蒙古杭锦后旗奋斗中学高三上学期第三次月考试题（解析版）

奋斗中学2017—2018－1高三年级第三次月考试题 数　学（文）‎ 一．选择题（共12小题，每题5分）‎ ‎1. 已知集合，则（ ）‎ A. (-3,2) B. (-1,2) C. (-3,-1) D. (-1,2)‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵集合 ‎∴集合 ‎∵集合 ‎∴‎ 故选C ‎2. 设，则（ ）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 故选B ‎3. 已知直线过两点，且倾斜角为，则=（ ）‎ A. 3 B. C. 5 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵直线过两点 ‎∴直线的斜率为 又∵直线的倾斜角为 ‎∴直线的斜率为1，即 ‎∴‎ 故选A ‎4. 已知等差数列的前项和为，若， ，则（ ）‎ A. 16 B. 19 C. 22 D. 25‎ ‎【答案】D ‎【解析】设当差数列的首项为，公差为 ‎∵， ‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴，即 ‎∴‎ 故选D ‎5. 已知，则的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵，‎ 又∵指数函数是增函数 ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 故选A ‎6. 设是两条不同的直线， 是两个不同的平面，下列命题中，正确的命题是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】对于A，若，根据线面平行的判定⇒，故正确；对于B，若，因为不一定在平面内，不能得到，故错误；对于C，若，不一定垂直，故错误；对于D，若，位置关系时可能平行、可能异面，故错误. 故选A ‎7. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由三视图知几何体是两个相同的三棱锥的组合体，其直观图如图： 且三棱锥的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，棱锥的高为；‎ ‎∴几何体的体积 故选C 点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.‎ ‎8. 已知函数，则下列说法不正确的是（ ）‎ A. 的一个周期为 B. 的图象关于对称 C. 在上单调递减 D. 向左平移个单位长度后图象关于原点对称 ‎【答案】D ‎【解析】∵函数 ‎∴‎ 对于A，函数的周期为：，故正确；对于B，当时，，故正确；对于C，当，，故函数单调递减，故正确；对于D，函数向左平移个单位长度后函数的关系式转化为：，函数的图象不关于原点对称，故错误.‎ 故选D ‎9. 若满足约束条件，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】满足约束条件的可行域如图所示：‎ 由得，平移直线 由图象可知当直线，过点时，直线的截距最大，此时最小，由得，代入目标函数，得 ‎∴目标函数的最小值是 故选D 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移或旋转变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ ‎10. 已知向量，若（）与平行，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎∵与平行，‎ ‎∴ ‎ ‎∴‎ 故选A 点睛：此题主要考查了向量线性运算的坐标运算，以及两个向量平行的坐标表示与运算，属于中低档题型，也是常考考点.两个向量平行时，有“纵横交错，积相减”，即分别将其中一个向量的纵坐标与另一个向量的横坐标相乘，所得两个积进行相减，差为零.‎ ‎11. 设是上的偶函数，且在上是减函数，若且，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. 与大小不确定 ‎【答案】A ‎【解析】∵是上的偶函数，且在上是减函数 ‎∴在 上是增函数 ‎∵且 ‎∴‎ ‎∴‎ 又∵‎ ‎∴‎ 故选A ‎12. 已知函数是函数的导函数，，对任意实数都有，设则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵‎ ‎∴‎ ‎∵对任意实数都有 ‎∴，即在上为单调减函数 又∵‎ ‎∴‎ ‎∴不等式等价于 ‎∴不等式的解集为 故选B 点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，，构造，构造，构造等.‎ 二.填空题(共20分)‎ ‎13. 若直线，过点，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】∵直线过点 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴，当且仅当，即，时取等号 ‎∴的最小值为8‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵ 不等式的解集为 ‎∴或是方程的解，即，‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴或 ‎∴或 ‎∴不等式的解集为 故答案为 ‎15. 在公比为的等比数列中，若，则的值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵等比数列的公比为 ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 故答案为 ‎16. 在正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得，‎ ‎∴‎ 又∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 故答案为 点睛：本题主要考查正方体的性质以及异面直线所成的角，属于难题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.‎ 三.解答题(共70分)‎ ‎17. 已知平面内两点.‎ ‎（1）求过点且与直线平行的直线的方程；‎ ‎（2）求线段的垂直平分线方程.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）求出直线的斜率，利用点斜式方程求解即可；（2）求出线段的中点坐标，求出斜率然后求解垂直平分线方程.‎ 试题解析：（1）∵点 ‎∴‎ ‎∴由点斜式得直线的方程 ‎（2）∵点 ‎∴线段的中点坐标为 ‎∵‎ ‎∴线段的垂直平分线的斜率为 ‎∴由点斜式得线段的垂直平分线的方程为 ‎18. 在锐角三角形中，分别是角的对边，向量，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）求函数的值域.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由，知，再根据正弦定理将边化角及三角形是锐角三角形即可求出角的大小；（2）根据和（差）角公式得到，根据，即可求出值域.‎ 试题解析：（1）∵向量，且 ‎∴，即 根据正弦定理可得，即 ‎∵三角形为锐角三角形 ‎∴，即 ‎（2）∵函数 ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴函数的值域为 ‎19. 在数列中，，.‎ ‎（1）求证：数列为等差数列，并求出数列通项公式；‎ ‎（2）求数列的前n项和．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）将两边同时除以，即可证明数列为等差数列，再根据，即可求出数列通项公式；（2）根据（1）写出数列的通项公式，结合数列的特点，利用裂项相消求数列和即可求出数列的前n项和．‎ 试题解析：（1）∵‎ ‎∴‎ ‎∴是以公差为2的等差数列 ‎∵‎ ‎∴，即 ‎（2）∵‎ ‎∴‎ ‎∴数列的前n项和 ‎20. 已知：正三棱柱中， ， ， 为棱的中点．‎ ‎（）求证： 平面．‎ ‎（）求证：平面平面．‎ ‎（）求四棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析（3）‎ ‎【解析】试题分析：（1）连结，交于点，连结，由三棱柱为正三棱柱及为棱的中点，可得∥，即可证明∥平面；（2）根据正三棱柱的定义，可证，，即可证明平面平面；（3）先求底面的面积，再求高，即可求出四棱锥的体积.‎ 试题解析：（1）连结，交于点，连结 ‎∵三棱柱为正三棱柱 ‎∴为的中点 ‎∵为棱的中点 ‎∴∥‎ ‎∵平面，平面 ‎∴∥平面 ‎（2）∵三棱柱为正三棱柱 ‎∴三角形为正三角形，侧棱平面 ‎∵为棱的中点，平面 ‎∴，‎ ‎∵，平面，平面 ‎∴平面 ‎∵平面 ‎∴平面平面 ‎（3）∵是直角梯形，，，‎ ‎∴四边形的面积为 ‎∵平面 ‎∴四棱锥的体积为 ‎21. 已知不等式的解集为 ‎（Ⅰ）求集合；‎ ‎（Ⅱ）若整数，正数满足，证明： ‎ ‎【答案】(1) （2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）对的范围进行讨论去掉绝对值符号解不等式；（2）把代入不等式左边，利用基本不等式得出结论.‎ 试题解析：（1）①当时，原不等式等价于，解得，所以；‎ ‎②当时，原不等式等价于，解得，所以；‎ ‎③当时，原不等式等价于，解得，所以 综上， ，即 ‎（2）因为，整数,所以 ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当且仅当 时，等号成立，‎ 所以 ‎ 点睛：本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值三角不等式的应用，比较2个数大小的方法，属于中档题．关键是通过分区间讨论的方法，去掉绝对值号，然后利用均值不等式求解即可．‎ ‎ ‎ ‎22. 已知函数在点处的切线与直线平行.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若函数在区间上不单调，求实数的取值范围；‎ ‎（3）求证：对任意时，恒成立.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）见解析 ‎ ‎ 试题解析：（1）∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵函数在点处的切线与直线平行 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎（2）∵‎ ‎∴‎ 令，得，在上单调递减 令，得，在上单调递增 ‎∵函数在区间上不单调 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎（3）当时， ‎ 令，则 再令，则 ‎∵‎ ‎∴，即在上为增函数 ‎∴‎ ‎∴当时，，即在上为增函数 ‎∴‎ ‎∴，即 ‎∵‎ ‎∴，即 ‎∴对任意时，恒成立. ‎ 点睛：本题主要考查导数与切线的对应关系，考查利用函数导数求解不等式恒成立问题，考查二阶导数的应用.考查与切线有关的问题，关键在于切点和斜率；在第三问在构造新函数且求导后，发现无法写出单调区间，故需要利用二阶导数来解决.‎ ‎ ‎ ‎ ‎