江苏省扬州市扬州中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

江苏省扬州市扬州中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

江苏省扬州中学2019—2020学年度第一学期期中考试 高二数学 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，计60分.每小题所给的A、B、C、D四个结论中，只有一个是正确的。）‎ ‎1.命题“∃x∈Z，使x2+2x+m≤0”的否定是（ ）‎ A. ∀x∈Z，都有x2+2x+m≤0‎ B. ∃x∈Z，使x2+2x+m＞0‎ C. ∀x∈Z，都有x2+2x+m＞0‎ D. 不存在x∈Z，使x2+2x+m＞0‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：将“存在”换为“∀”同时将结论“x2+2x+m≤0”换为“x2+2x+m＞0”．‎ 解：命题“∃x∈Z，使x2+2x+m≤0”的否定是：‎ ‎∀x∈Z，都有x2+2x+m＞0，‎ 故选C．‎ 考点：命题的否定．‎ ‎2.与的等比中项是 A. B. 1 C. -1 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由题已知与的等比中项，得；。‎ 考点：等比中项的性质.‎ ‎3.“”是“方程表示椭圆”的（ ）‎ A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据方程表示椭圆求出实数的取值范围，然后利用集合的包含关系可判断出“”是“方程表示椭圆”的充分不必要条件.‎ ‎【详解】若方程表示椭圆，则，解得或.‎ 因此，“”是“方程表示椭圆”的充分不必要条件.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了利用方程表示椭圆求参数的取值范围，考查运算求解能力与推理能力，属于中等题.‎ ‎4.双曲线的焦点到渐近线的距离为(　 　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：双曲线焦点到渐近线的距离为，所以距离为.‎ 考点：双曲线与渐近线．‎ ‎5.已知等差数列的公差为2，若成等比数列，是的前项和，则等于（　　）‎ A. B. C. 10 D. 0‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由a1，a3，a4成等比数列，可得=a1a4，再利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．‎ ‎【详解】∵a1，a3，a4成等比数列，∴=a1a4，‎ ‎∴=a1•（a1+3×2），‎ 化为2a1=-16，‎ 解得a1=-8．‎ ‎∴则S9=-8×9+ ×2=0，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎6.若双曲线的离心率为2，其中一个焦点与抛物线＝4x的焦点重合，则mn的值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意得解得 ‎7.已知数列{an}的前n项和为Sn，则“{an}是等差数列”是“是等差数列”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据等差数列的定义证明求解.‎ ‎【详解】首先证“充分条件”：因为{an}是等差数列，所以 ‎ 所以，‎ 所以常数，‎ 所以是等差数列。‎ 证“必要条件”因为是等差数列，所以设数列的公差为，‎ 则所以 当时，‎ 所以当时满足.‎ 所以常数，‎ 所以{an}是等差数列.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的证明和充要条件的判断，属于中档题.‎ ‎8.已知数列、都是等差数列，、分别是它们的前项和，并且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的求和公式得出，利用等差数列下标和的性质可得出，即可得出结果.‎ ‎【详解】由等差数列的前项和公式得，‎ 由等差数列的基本性质得.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查两个等差数列项之和的比值，灵活利用等差数列的前项和公式以及等差数列性质求解是解题的关键，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎9.过的直线与抛物线交于、两点，若，则弦的中点到直线的距离等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 设点、，利用抛物线的性质求出的值，即可得出弦的中点到直线的距离.‎ ‎【详解】抛物线的焦点为，由抛物线的定义得，可得.‎ 所以，弦的中点到直线的距离为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线焦点弦的性质，利用抛物线的定义得出两点坐标之间的关系是解题的关键，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎10.已知数列，如果，，，……，，……，是首项为1，公比为的等比数列，则=‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：累加法求解。‎ 详解：，，‎ 解得 ‎ 点睛：形如的模型，求通项公式，用累加法。‎ ‎11.已知点，是椭圆上的动点，且，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设A点坐标，根据向量数量积的坐标运算及点A在椭圆上，建立关于点A横坐标的函数关系式，即可求得向量乘积的最值。‎ ‎【详解】设 , 且 因为 ‎ ‎ ‎ 将A点坐标代入椭圆，得 ‎ 所以 代入上式可得 ‎ ‎ 所以，‎ 所以选A ‎【点睛】本题考查了椭圆与向量数量积的综合应用，向量数量积的最值问题，属于难题。‎ ‎12.已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，，分别为的内心和重心，当轴时，椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合图像，利用点坐标以及重心性质，得到G点坐标，再由题目条件轴，得到点横坐标，然后两次运用角平分线的相关性质得到的比值，再结合与相似，即可求得点纵坐标，也就是内切圆半径，再利用等面积法建立关于的关系式，从而求得椭圆离心率.‎ ‎【详解】如图，令点在第一象限（由椭圆对称性，其他位置同理），连接，显然点在上，连接并延长交轴于点，连接并延长交轴于点，轴，过点作垂直于轴于点，‎ 设点，，则，‎ 因为为的重心，所以，‎ 因为轴，所以点横坐标也为，，‎ 因为为的角平分线，‎ 则有，‎ 又因为，所以可得，‎ 又由角平分线的性质可得，，而 所以得，‎ 所以，，‎ 所以，即，‎ 因为 即，解得，所以答案为A.‎ ‎【点睛】本题主要考查离心率求解，关键是利用等面积法建立关于的关系式，同时也考查了重心坐标公式，以及内心的性质应用，属于难题.椭圆离心率求解方法主要有：‎ ‎（1）根据题目条件求出，利用离心率公式直接求解.‎ ‎（2）建立的齐次等式，转化为关于的方程求解，同时注意数形结合.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，计20分.只要求写出最后结果.）‎ ‎13.若“”是“”的必要不充分条件，则的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题，“”是“”的必要不充分条件，则是的真子集，可得答案.‎ ‎【详解】因为“”是“”的必要不充分条件，‎ 所以是的真子集，所以，‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查了不要不充分条件，属于基础题.‎ ‎14.已知数列满足：，，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用待定系数法得出数列是以为首项，以为公比的等比数列，可求出等比数列的通项公式，即可求出.‎ ‎【详解】设，可得，，得，‎ ‎，则，且.‎ 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，，‎ 因此，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用待定系数法求数列的通项，同时也考查了等比数列定义的应用，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎15.过原点作一条倾斜角为的直线与椭圆交于、两点，、为椭圆的左、右焦点，若，且该椭圆的离心率，则的取值范围为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出图形，得出，利用锐角三角函数的定义得出，‎ ‎，利用椭圆的定义得出，可求出的取值范围，从而可求出角的取值范围.‎ ‎【详解】如下图所示：‎ 设椭圆的焦距为，由题意可知，，‎ ‎，，，‎ 由椭圆定义得，即，‎ 所以，椭圆的离心率为，‎ 可得出，，，‎ ‎，解得，因此，的取值范围为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆中直线倾斜角取值范围的计算，同时也考查了椭圆定义与锐角三角函数定义的应用，解题的关键就是利用锐角三角函数的定义将焦半径利用倾斜角加以表示，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎16.过抛物线焦点的直线与抛物线交于、两点，与圆交于、两点，若有三条直线满足，则的取值范围为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分直线轴和直线与轴不垂直两种情况讨论，在直线轴时，求出、、、的坐标进行验证，在直线与轴不垂直时，设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理可得出，从而可求出的取值范围.‎ ‎【详解】（1）当直线轴时，直线：与抛物线交于、，与圆交于，，满足.‎ ‎（2）当直线不与轴垂直时，设直线方程，设点，，‎ 联立方程组，化简得，‎ 由韦达定理，‎ 由抛物线的定义，过焦点的线段，‎ 当四点顺序为、、、时，‎ ‎，的中点为焦点，这样的不与轴垂直的直线不存在；‎ 当四点顺序为、、、时，，，‎ 又，，即，‎ 当时存在互为相反数的两斜率和，即存在关于对称的两条直线.‎ 综上，当时有三条满足条件的直线.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查直线与抛物线中的弦长计算，充分利用抛物线的定义是解题的关键，考查等价转化思想与分类讨论思想的应用，属于中等题.‎ 三、解答题（本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.（1）已知数列的前项和为，若，求.‎ ‎（2）已知是各项为正的等比数列，，，设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）令求出的值，令，由计算出的表达式，然后检验是否满足在时的表达式，从而可得出数列的通项公式；‎ ‎（2）设等比数列的公比为，根据题意建立的方程，求出的值，利用等比数列的通项公式求出，即可得出，利用定义判定出数列是等差数列，然后利用等差数列的前项和公式求出.‎ ‎【详解】（1）当时，；‎ 当时，，‎ 由于不适合此式，所以；‎ ‎（2）设等比数列的公比为，‎ 由，，得，‎ 即，解得（舍）或.‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 数列是以为首项，以为公差的等差数列，‎ 则数列的前项和.‎ ‎【点睛】本题考查利用求，同时也考查了等比数列通项公式的求解，等差数列前项和的计算，涉及利用定义判定等差数列，考查推理能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎18.已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，且 ‎（1）求双曲线C的方程；‎ ‎（2）已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B且线段AB的中点在圆上，求m的值 ‎【答案】（1）（2）±1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据双曲线的简单几何性质，即可求得和的值，求得双曲线的方程；‎ ‎（2）将直线方程代入双曲线方程，利用韦达定理及中点坐标公式求得中点M坐标，代入圆的方程，即可求得的值.‎ ‎【详解】（1）由题意，，解得，c=．‎ ‎∴．‎ ‎∴双曲线C的方程为；‎ ‎（2）由，得3x2-6mx-3m2-4=0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ ‎∴x1+x2=2m，又中点在直线x-y+m=0上，‎ ‎∴中点坐标为（m，2m），代入x2+y2=5得m=±1，满足判别式△＞0．‎ ‎∴m的值为±1．‎ ‎【点睛】该题考查的是有关直线与圆锥曲线的综合题，涉及到的知识点有双曲线的标准方程的求解，直线与双曲线相交，点在圆上的条件，属于中档题目.‎ ‎19.已知关于的不等式恒成立 ‎(1)当时成立，求实数的取值范围;‎ ‎(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分析可知一元二次不等式大于零恒成立等价于恒成立 ‎（2）是的充分不必要条件可得p是q的真子集，再进行分类讨论即可 ‎【详解】（1）由题可知实数m的取值范围是 ‎（2），设，‎ p是q的充分不必要条件，A是B的真子集 ‎① 由（1）知，时，B=R，符合题意；‎ ‎② 时，，符合题意 ‎③时，，符合题意 ‎④时，设,的对称轴为直线，由A是B的真子集得，‎ 综上所述：‎ ‎【点睛】复杂的二次函数问题，需要判断函数值域的情况下，需要进行分类讨论，根据对称轴、单调性及特殊点进行判断 ‎20.已知为等差数列，前项和为，是首项为的等比数列，且公比大于，，，.‎ ‎（1）求和的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和；‎ ‎（3）设，为数列的前项和，求不超过的最大整数.‎ ‎【答案】（1），；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意得出关于的方程，求出的值，可得出等比数列的通项公式，进而可得出关于和的方程组，求出这两个量，然后利用等差数列的通项公式可求出数列的通项公式；‎ ‎（2）求出数列的通项公式，然后利用错位相减法可求出该数列的前项和；‎ ‎（3）求出，可得出，然后利用分组求和法与裂项求和法求出，可得出，由此可得出不超过的最大整数.‎ ‎【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.‎ 由已知，得，而，.‎ 又，解得，.‎ 由，可得 ①，‎ 由，可得 ②，‎ 联立①②，解得，，由此可得.‎ 数列的通项公式为，数列的通项公式为；‎ ‎（2）设数列的前项和为，‎ 由，，有，‎ ‎，‎ ‎，‎ 上述两式相减，得.‎ 得，数列的前项和为；‎ ‎（3）由（1）知：，则.‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，因此，不超过的最大整数为.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列和等比数列通项的计算，同时也考查了错位相减法与裂项求和法求数列的前项和，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎21.如图,已知抛物线C顶点在坐标原点，焦点F在Y轴的非负半轴上，点是抛物线上的一点.‎ ‎（1）求抛物线C的标准方程 ‎（2）若点P,Q在抛物线C上,且抛物线C在点P,Q处的切线交于点S,记直线 MP,MQ的斜率分别为k1，k2,且满足,当P,Q在C上运动时，△PQS的面积是否为定值？若是，求出△PQS的面积；若不是，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）定值4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设出抛物线方程，将M坐标代入，计算方程，即可。（2）设出直线PQ的方程，结合得到，计算S的坐标，结合点到直线距离公式，计算所求三角形高，结合直线截抛物线所得弦长，计算PQ，计算面积，即可。‎ ‎【详解】（1）设抛物线的方程为将M（-2，1）点坐标代入方程中，解得 ‎（2）设，设直线PQ的方程为,代入抛物线方程，得到，则，结合，而 则，代入，得到所以 ‎，解得 过P点的切线斜率为，过Q切线斜率为，则PS的方程为，QS的方程为，联解这两个方程，得到S的坐标为，故点S的直线PQ的距离为，而PQ的长度为，故面积为 ‎，故为定值。‎ ‎【点睛】本道题考查了点到直线距离公式，考查了直线与抛物线位置关系，考查了抛物线方程计算方法，考查了抛物线定值问题，难度偏难。‎ ‎22.如图，已知椭圆的离心率为，右准线方程为，、分别是椭圆的左、右顶点，过右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于，两点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程.‎ ‎（2）记、的面积分别为、，若，求的值；‎ ‎（3）设线段的中点为，直线与右准线相交于点，记直线、、的斜率分别为、、，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设椭圆的焦距为，根据题意列出关于、的方程组，进而可求出的值，由此可得出椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设点，，根据题中三角形面积的比值，可得出，再由点、在椭圆上，可求出点的坐标，即可求出直线的斜率；‎ ‎（3）依题意可知，点、在椭圆上，根据点差法、三点共线、直线方程、斜率公式，化简整理即可得出的值.‎ ‎【详解】（1）设椭圆的焦距为，‎ 依题意，，且，解得，，故.‎ 所以椭圆的标准方程为；‎ ‎（2）设点，.‎ 据题意，，即，整理可得，所以.‎ 代入坐标，可得，即.‎ 又点、在椭圆上，所以，解得.‎ 所以直线的斜率；‎ ‎（3）依题意，点、在椭圆上，‎ 所以，两式相减，得 即，所以，即，‎ 所以直线方程为，令，得，即.‎ 所以.‎ 又直线方程为，与椭圆联立方程组，‎ 整理得，‎ 所以，得，.‎ 所以点的坐标为.‎ 同理，点的坐标为.‎ 又点、、三点共线，‎ 所以，整理得，‎ 依题意，，，故.‎ 由可得，，即.‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆中三角形面积的比值问题以及斜率问题，将面积比转化为向量共线是解题的关键，考查化归与转化思想的应用与运算求解能力，属于难题.‎ ‎ ‎ ‎ ‎