数学（文）卷·2018届云南省峨山彝族自治县第一中学高三第四次模拟考试（2017

数学（文）卷·2018届云南省峨山彝族自治县第一中学高三第四次模拟考试（2017

峨山县第一中学 2018 届高三第四次模拟考试 数学（文科） 一、选择题：（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．每小题给出的四个选项中只有 一项是符合题目要求的． 1．（5分）已知集合 P={y|y=（ ）x，x≥0}，Q={x|y=lg（2x﹣x2）}，则 P∩Q为（ ） A．（0，1] B．∅ C．（0，2） D．{0} 2．（5分）已知 z=m2﹣1+（m2﹣3m+2）i（m∈R，i为虚数单位），则“m=﹣1”是“z为纯虚数” 的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（5分）已知直线 m、n与平面α、β，下列命题正确的是（ ） A．m⊥α，n∥β且α⊥β，则 m⊥n B．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则 m⊥n C．α∩β=m，n⊥m且α⊥β，则 n⊥α D．m∥α，n∥β且α∥β，则 m∥n 4．（5分）为了得到函数 的图象，可以将函数 的图象（ ） A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度 C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度 5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ） A． B． C． D． 6．（5分）已知函数 f（x）=kx﹣1，其中实数 k随机选自区间[﹣2，2]，∀x∈[0，1]，f（x） ≤0的概率是（ ） A． B． C． D． 7．（5分）已知函数 g（x）=|ex﹣1|的图象如图所示，则函数 y=g′（x）图象大致为（ ） A． B． C． D． 8．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的 a=918，b=238，则输出的 n=（ ） A．2 B．3 C．4 D．34 9．（5分）已知 ，设 ，y=logbc， ，则 x， y，z的大小关系正确的是（ ） A．z＞x＞y B．z＞y＞x C．x＞y＞z D．x＞z＞y 10．（5 分）数列{an}的通项 ，其前 n 项和为 Sn，则 S40为 （ ） A．10 B．15 C．20 D．25 11．（5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正三棱柱容器，其中侧棱长为 8cm，底面 边长为 12cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时，测得水深 为 6cm，如果不计容器的厚度，则球的表面积为（ ） A．36πcm2 B．64πcm2 C．80πcm2 D．100πcm2 12．（5分）已知点 A（﹣3，﹣ ）是抛物线 C：y2=2px（p＞0）准线上的一点，点 F是 C 的焦点，点 P在 C上且满足|PF|=m|PA|，当 m取最小值时，点 P恰好在以原点为中心，F为 焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ） A．3 B． C． D． 二、填空题：（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．（5分）设 x，y满足约束条件： ，则 z=x﹣2y的最大值为 ． 14．（5分）已知奇函数 f（x）= ，则函数 h（x）的最大值为 ． 15．（5分）如图所示，两个非共线向量 ， 的夹角为θ，M、N分别为 OA与 OB的中点， 点 C在直线 MN上，且 =x +y （x，y∈R），则 x2+y2的最小值为 ． 16．（5分）设直线 l：3x+4y+4=0，圆 C：（x﹣2）2+y2=r2（r＞0），若圆 C上存在两点 P，Q， 直线 l上存在一点 M，使得∠PMQ=90°，则 r的取值范围是 ． 三、解答题（解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（12分）已知点 ，Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数 ． （1）求函数 f（x）的解析式及最小正周期； （2）若 A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，△ABC的面积为 ，求△ABC的周长． 18．（12分）某医学院读书协会欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，该协会 分别到气象局与某医院抄录了 1至 6月份每月 10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人 数，得到如图所示的频率分布直方图．该协会确定的研究方案是：先从这六组数据中选取 2 组，用剩下的 4组数据求线性回归方程，再用被选取的 2组数据进行检验． （Ⅰ）已知选取的是 1 月至 6 月的两组数据，请根据 2 至 5 月份的数据，求出就诊人数 y 关于昼夜温差 x的线性回归方程； （Ⅱ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2人，则认为 得到的线性回归方程是理想的，试问（Ⅰ）中该协会所得线性回归方程是否理想？ 参考公式：回归直线的方程 ，其中 ， ． 19．（12分）如图，四棱锥 P﹣ABCD中，侧面 PAD是边长为 2的正三角形，且与底面垂直， 底面 ABCD是菱形，且∠ABC=60°，M为 PC的中点． （Ⅰ）在棱 PB上是否存在一点 Q，使用 A，Q，M，D四点共面？若存在，指出点 Q的位 置并证明；若不存在，请说明理由． （Ⅱ）求点 D到平面 PAM的距离． 20．（12分）已知椭圆 C： + =1（a＞b＞0）过点 A（﹣ ，1），斜率为 的直线 l1 过椭圆 C的焦点及点 B（0，﹣2 ）． （Ⅰ）求椭圆 C的方程； （Ⅱ）已知直线 l2过椭圆 C的左焦点 F，交椭圆 C于点 P、Q，若直线 l2与两坐标轴都不垂 直，试问 x轴上是否存在一点 M，使得 MF恰为∠PMQ的角平分线？若存在，求点 M的坐 标；若不存在，说明理由． 21．（12分）已知函数 f（x）=ln +ax﹣1（a≠0）． （I）求函数 f（x）的单调区间； （Ⅱ）已知 g（x）+xf（x）=﹣x，若函数 g（x）有两个极值点 x1，x2（x1＜x2），求证：g（x1） ＜0． 22．（10分）在直角坐标系 xOy中，圆 C的参数方程 （φ为参数），以 O为极 点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆 C的极坐标方程； （2）直线 l的极坐标方程是 2ρsin（θ+ ）=3 ，射线 OM：θ= 与圆 C的交点为 O、P， 与直线 l的交点为 Q，求线段 PQ的长． 23．设 f（x）=|x|+2|x﹣a|（a＞0）． （1）当 a=1时，解不等式 f（x）≤8． （2）若 f（x）≥6恒成立，求实数 a的取值范围． 参考答案 1．A 【解析】∵2x﹣x2＞0， ∴0＜x＜2， ∴Q=（0，2）； ∵P={y|y=（ ）x，x≥0}， ∴P=（0，1] ∴P∩Q=（0，1]． 故选 A. 2．C 【解析】若 z=m2﹣1+（m2﹣3m+2）i为纯虚数，则 m2﹣1=0，m2﹣3m+2≠0，解得 m=﹣1． ∴“m=﹣1”是“z为纯虚数”的充要条件． 故选 C． 3．B 【解析】对于 A，m⊥α，n∥β且α⊥β，则 m∥n，故不正确； 对于 B，由 m⊥α，n⊥β且α⊥β，则 m与 n一定不平行，否则有α∥β，与已知α⊥β矛盾，通 过平移使得 m与 n相交， 且设 m与 n确定的平面为γ，则γ与α和β的交线所成的角即为α与β所成的角，因为α⊥β，所以 m与 n所成的角为 90°，故命题正确； 对于 C，若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，利用面面垂直的性质定理即可得出：n⊥α，因此不 正确； 对于 D，在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1中，平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1， A1D1∥平面 ABCD，AD∥平面 A1B1C1D1，A1D1∥AD； EP∥平面 ABCD，PQ∥平面 A1B1C1D1，EP∩PQ=P； A1D1∥平面 ABCD，PQ∥平面 A1B1C1D1，A1D1与 PQ异面． 综上，直线 m，n与平面α，β，m∥α，n∥β且α∥β， 则直线 m，n的位置关系为平行或相交或异面． 故选 B． 4．C 【解析】将函数 =sin2（x+ ）的图象向左平移 个单位长度， 可得函数 y═sin2（x+ + ）=sin（2x+ ）的图象， 故选 C． 5．C 【解析】根据已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的半圆锥， 其底面面积 S= π， 高 h= = ， 故体积 V= = ， 故选 C． 6．D 【解析】由题意知本题是一个几何概型，概率的值对应长度之比， ∵﹣2≤k≤2，其区间长度是 4， 又∵对∀x∈[0，1]，f（x）≥0且 f（x）是关于 x的一次型函数，在[0，1]上单调， ∴ ， ∴﹣2≤k≤1，其区间长度为 3， ∴P= ， 故选 D． 7．C 【解析】根据函数图象可知当 x＜0时，切线的斜率小于 0，且逐渐减小， 当 x＞0时，切线的斜率大于 0，且逐渐增加， 故选 C． 8．A 【解析】输入 a=918，b=238，n=0， r=204，a=238，b=204，n=1， r=34，a=204，b=34，n=2， r=0，输出 n=2， 故选 A． 9．A 【解析】∵ ， ∴ =﹣ logba=﹣ × = ， 2a＞3，a＞log23＞1， ∈（0，1）． y=logbc＜0， ＞ ＞ = ， ∴z＞x＞y． 故选 A． 10．C 【解析】 =n ， ∴a1=0，a2=﹣2，a3=0，a4=4，a5=0，a6=﹣6，…， 可得 a2n﹣1=0，a2n=（﹣1）n•2n． 则 S40=（a1+a3+…+a39）+（a2+a4+…+a40） =﹣2+4﹣…+40=20． 故选 C． 11．B 【解析】根据几何意义得出：边长为 12的正三角形，球的截面圆为正三角形的内切圆（如 图）， ∴内切圆的半径为 O1D=2 ， ∵球面恰好接触水面时测得水深为 6cm， ∴d=8﹣6﹣8=2， ∴球的半径为：R R2=（R﹣2）2+（2 ）2，解得 R=4 则球的表面积为 4πR2=64π 故选 B. 12．A 【解析】点 A（﹣3，﹣ ）是抛物线 C：y2=2px（p＞0） 准线 x=﹣ 上的一点， 可得﹣ =﹣3，即 p=6， 则抛物线的标准方程为 y2=12x， 则抛物线的焦点为 F（3，0），准线方程为 x=﹣3， 过 P作准线的垂线，垂足为 N， 则由抛物线的定义可得|PN|=|PF|， ∵|PF|=m|PA|， ∴|PN|=m|PA|，则 =m， 设 PA的倾斜角为α，则 cosα=m， 当 m取得最小值时，cosα最小，此时直线 PA与抛物线相切， 设直线 PA的方程为 y=kx+3k﹣ ，代入 y2=12x， 可得 y2﹣y+3k﹣ =0， ∴△=1﹣4• •（3k﹣ ）=0， ∴k= 或﹣ ， 可得切点 P（2，±2 ）， 由题意可得双曲线的焦点为（﹣3，0），（3，0）， ∴双曲线的实轴长为 ﹣ =7﹣5=2， ∴双曲线的离心率为 e= = =3． 故选 A． 13．3 【解析】由题意作 x，y满足约束条件： ，平面区域如下， ， 化简 z=x﹣2y为 y= x﹣ ， ﹣ 是直线 y= x﹣ 的截距， 故过点（3，0）时截距有最小值， 此时 z=x﹣2y有最大值 3， 故答案为：3． 14．1﹣e 【解析】先求出 x＞0，f（x）= ﹣1的最小值， f′（x）= ， ∴x∈（0，1），f′（x）＜0，函数单调递减， x∈（1，+∞），f′（x）＞0，函数单调递增， ∴x=1时，函数取得极小值也即最小值 e﹣1， ∴h（x）的最大值为 1﹣e， 故答案为：1﹣e． 15． 【解析】因为点 C、M、N共线，所以 = ，且λ+μ=1， 又因为 M、N分别为 OA与 OB的中点，∴ + ．， ∴ ． 由 ． 可得 x2+y2 ，当 x=y= 时，取等号． 故答案为： . 16．[ ，+∞] 【解析】由题意，直线 l：3x+4y+4=0，圆 C：（x﹣2）2+y2=r2（r＞0），圆心为（2，0），半 径 r．点 P，Q是圆 C上的点，M是直线上的点，使得∠PMQ=90°，可知，四边形 CPMQ 是正方形，圆心到直线的距离 d= ， 解得：r ． ∴r的取值范围是[ ，+∞]． 故答案为：[ ，+∞]． 17．解：（1） ， ∴ = =4﹣2sin（x+ ）， f（x）的最小正周期为 2π； （6分） （2）因为 f（A）=4，所 ，因为 0＜A＜π，所以 ， 因为 ，所以 bc=3， 根据余弦定理 ，所以 ， 即三角形的周长为 ．（12分） 18．解：（Ⅰ）由数据求得 ， ， ， 由公式求得 ， 所以 ， 所以 y关于 x的线性回归方程为 ． （Ⅱ）当 x=10时， ， ； 同样，当 x=6时， ， ． 所以，该协会所得线性回归方程是理想的． 19．解：（Ⅰ）当点 Q为棱 PB的中点时，A，Q，M，D四点共面， 证明如下： 取棱 PB的中点 Q，连接 QM，QA，又 M为 PC的中点，所以 QM∥BC， 在菱形 ABCD中 AD∥BC，所以 QM∥AD， 所以 A，Q，M，D四点共面． （Ⅱ）点 D到平面 PAM的距离即点 D到平面 PAC的距离， 取 AD中点 O，连接 OP，OC，AC，可知 PO⊥AD，又平面 PAD⊥平面 ABCD， 平面 PAD∩平面 ABCD=AD，PO⊂平面 PAD， 所以 PO⊥平面 ABCD，即 PO为三棱锥 P﹣ACD的体高． 在 Rt△POC中，PO=OC= ，PC= ， 在△PAC中，PA=AC=2，PC= ，边 PC上的高 AM= = ， 所以△PAC的面积 S△PAC= = ， 设点 D到平面 PAC的距离为 h，S△ACD= = 由 VD﹣PAC=VP﹣ACD得 ，解得 h= ， 所以点 D到平面 PAM的距离为 ． 20．解：（Ⅰ）斜率为 的直线 l1过椭圆 C的焦点及点 B（0，﹣2 ）．则直线 l1过椭圆 C 的右焦点（c，0） ，∴c=2， 又∵椭圆 C： + =1（a＞b＞0）过点 A（﹣ ，1），∴ ， 且 a2=b2+4，解得 a2=6，b2=2． ∴椭圆 C的方程： ． （Ⅱ）设点 M（m，0），左焦点为 F（﹣2，0），可设直线 PQ的方程为 x= ， 由 消去 x，得（ ）y2﹣ ﹣2=0， 设 P（x1，y1），Q（x2，y2），则 y1+y2= ，y1•y2= ． 要使 MF为∠PMQ的一条角平分线，必满足 kPM+kQM=0． 即 ，∵ ， 代入上式可得 y1y2﹣2（y1+y2）﹣m（y1+y2）=0 ，解得 m=﹣3，∴点 M（﹣3，0）． x轴上存在一点 M（﹣3，0），使得 MF恰为∠PMQ的角平分线． 21．（I）解：f（x）=ln +ax﹣1=﹣lnx+ax﹣1，定义域是（0，+∞） ∴f′（x）= ． a＞0时，令 f′（x）=0，得 x= ，0＜x＜ ，f′（x）＜0，x＞ ，f′（x）＞0， ∴函数的单调减区间是（0， ），单调增区间是（ ，+∞）； a＜0，f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，函数单调递减； （Ⅱ）证明：已知 g（x）+xf（x）=﹣x，则 g（x）= xlnx﹣ax2，g′（x）=lnx﹣2ax+1， ∵函数 g（x）有两个极值点 x1，x2（x1＜x2）， ∴g′（x）在定义域上有两个零点 x1，x2（x1＜x2）， ∴x1，x2是 lnx﹣2ax+1=0的两个根， ∴lnx1﹣2ax1+1=0， ∴g（x1）= ， ∵g′（x）=lnx﹣2ax+1， ∴g″（x）= ． a＜0时，g″（x）＞0恒成立，∴g′（x）在（0，+∞）内单调递增，∴g′（x）至多一个零点； a＞0时，令 g″（x）=0得 x= ，0＜x＜ ，g″（x）＞0，x＞ ，g″（x）＜0， ∴g′（x）max=g′（ ）=ln =﹣ln2a＞0， ∴0＜a＜ 且 0＜x1＜ ＜x2， ∵g（x1）= ，抛物线开口向上，对称轴为 x= ， ∴g（x1）＜0． 22．解：（I）利用 cos2φ+sin2φ=1， 把圆 C的参数方程 为参数）化为（x﹣1）2+y2=1， ∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ． （II）设（ρ1，θ1）为点 P的极坐标，由 ，解得 ． 设（ρ2，θ2）为点 Q的极坐标，由 ，解得 ． ∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2． ∴|PQ|=2． 23．解：（1）当 a=1时，f（x）=|x|+2|x﹣1|= 当 x＜0时，由 2﹣3x≤8得，﹣2≤x＜0 当 0≤x≤1时，由 2﹣x≤8得，0≤x≤1 当 x＞1时，由 3x﹣2≤8得，1＜x≤ 综上所述不等式 f（x）≤8的解集为[﹣2， ] （2）∵f（x）=|x|+2|x﹣a|= 则 f（x）在（﹣∞，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增， ∴当 x=a时，f（x）取最小值 a. 若 f（x）≥6恒成立，则 a≥6 ∴实数 a的取值范围为[6，+∞）．