【数学】2019届一轮复习人教A版 统计与统计案例 学案

【数学】2019届一轮复习人教A版 统计与统计案例 学案

‎【命题热点突破一】抽样方法 某工厂生产的甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品分别有150件、120件、180件、150件．为了调查产品的情况，需从这600件产品中抽取一个容量为100的样本，若采用分层抽样法，设甲产品中应抽取的产品件数为x，某件产品A被抽到的概率为y，则x，y的值分别为(　　)‎ A．25， B．20， C． 25， D．25， ‎【答案】D　‎ ‎【特别提醒】 三种抽样方法均是等概率抽样，当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法．‎ ‎【变式探究】 ‎ 从编号分别为0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为10的样本，若编号为58的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为________．‎ ‎【答案】74　‎ ‎【解析】每8件产品抽取一件，编号为58的产品在样本中，则样本中产品的最大编号为58＋16＝74.‎ ‎【命题热点突破二】用样本估计总体 ‎【2016高考山东】某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)， [20，22.5)， [22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，30).根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）‎ ‎（A）56 （B）60 （C）120 （D）140‎ ‎【答案】D ‎ 【变式探究】(1)将某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示(如图183所示)，其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数和平均数分别是(　　)‎ 图183‎ A．91，91.5 B．91，92‎ C．91.5，91.5 D．91.5，92 :学 ]‎ ‎(2)2014年6月，一篇关于“键盘侠”(“键盘侠”一词描述了部分 民在现实生活中胆小怕事自私自利，却习惯在 络上大放厥词的一种现象)的时评引发了大家对“键盘侠”的热议．某地区新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可度做出调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度．若该地区有9600人，则估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有________人．‎ ‎【答案】（1）C　（2）6912　‎ ‎【解析】（1）中位数为＝91.5，平均数为90＋＝91.5.‎ ‎（2）根据样本估计总体的思想，可知该地区群众对“键盘侠”持反对态度的概率约为 ，所以该地区9600人中对“键盘侠”持反对态度的大约有9600×＝6912（人）.‎ ‎【特别提醒】 统计的基本思想之一就是以样本估计总体．以样本的频率估计总体的概率、以样本的特征数估计总体的特征数．‎ ‎【变式探究】‎ ‎(1)某学校随机抽查了本校20个同学，调查他们平均每天在课外进行体育锻炼的时间(分钟)，根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为八组，分别是[0，5)，[5，10)，…，[35，40]，作出的频率分布直方图如图184所示，则原始的茎叶图可能是(　　)‎ 图184‎ 图185‎ ‎(2)高三年级上学期期末考试中，某班级数学成绩的频率分布直方图如图186所示，数据分组依次如下：‎ ‎[70，90)，[90，110)，[110，130)，[130，150]．‎ 估计该班数学成绩的平均分数为(　　)‎ 图186‎ A．112 ‎ B．114‎ C．116 ‎ D．120‎ ‎【答案】（1）B　（2）B　‎ ‎【命题热点突破三】统计案例 ‎ 例3、某高校共有15 000人，其中男生10 500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均参加体育运动时间情况，采用分层抽样的方法，收集了300名学生每周平均参加体育运动时间的样本数据(单位：小时)．‎ ‎(1)应收集多少名女生的样本数据？‎ ‎(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均参加体育运动时间的频率分布直方图(如图187所示)，其中样本数据分组区间为[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]，估计该校学生每周平均参加体育运动时间超过4个小时的概率．‎ ‎(3)在样本数据中，有60名女生每周平均参加体育运动的时间超过4个小时，请画出每周平均参加体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有95 的把握认为“该校学生每周平均参加体育运动的时间与性别有关”．‎ P( 2≥ 0)‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎ 0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ 附： 2＝ ‎【解析】：（1）300×＝90，所以应收集90名女生的样本数据.‎ ‎（2）由频率分布直方图得每周平均参加体育运动超过4小时的频率为1－2×（0.100＋0.025）＝0.75，所以该校学生每周平均参加体育运动时间超过4小时的概率约为0.75.‎ ‎（3）由（2）知，300名学生中有300×0.75＝225（名）学生每周平均参加体育运动的时间超过4小时，其余75名学生每周平均参加体育运动的时间不超过4小时.又因为抽取的300名学生中有210名男生、90名女生，所以每周平均参加体育运动时间与性别的列联表如下：‎ 男生 女生 总计 每周平均参加体育运动 ‎45‎ ‎30‎ ‎75‎ 的时间不超过4小时 每周平均参加体育运动 的时间超过4小时 ‎165‎ ‎60‎ ‎225‎ 总计 ‎210‎ ‎90‎ ‎300‎ 结合列联表可得 2的观测值 ＝＝≈4.762>3.841.‎ 所以有95 的把握认为“该校学生每周平均参加体育运动的时间与性别有关”. 学 ‎ ‎【特别提醒】 在计算 2时要注意公式中各个字母的含义，分子上是总量乘2×2列联表中对角线数字乘积之差的平方，分母上是四个分和量的乘积．‎ ‎【变式探究】‎ ‎ 为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球的时间x(单位：小时)与当天投篮命中率y之间的关系.‎ 时间x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 命中率y ‎0.4‎ ‎0.5‎ ‎0.6‎ ‎0.6[ :学 XX ]‎ ‎0.4‎ ‎(1)求小李这5天的平均投篮命中率；‎ ‎(2)用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率．‎ 设线性回归方程为＝x＋，则由公式可得＝＝‎ ＝0.01，‎ 所以＝－＝0.5－0.01×3＝0.47，‎ 所以＝x＋＝0.01x＋0.47.‎ 当x＝6时，＝0.53，故小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率约为0.53.‎ ‎【特别提醒】‎ ‎ 回归直线一定过样本点的中心(x，y)，当已知回归直线方程两个系数中的一个时，可以直接代入样本点中心的坐标求得另一个系数．正相关和负相关是根据回归直线方程的斜率判断的：正相关时回归直线方程的斜率为正值；负相关时回归直线方程的斜率为负值．回归直线方程斜率的符号与相关系数的符号是一致的．‎ ‎【高考真题解读】‎ ‎1.【2016年高考四川】（本小题满分12分）‎ 我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨）、一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图. ‎ ‎（I）求直方图中a的值；‎ ‎（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；‎ ‎（III）若该市政府希望使85 的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）36000；（Ⅲ）2.9．‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ），100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12．‎ 由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为 ‎300 000×0.12=36 000．‎ ‎（Ⅲ）因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85，‎ 而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85，‎ 所以2.5≤x<3．[ :学 ]‎ 由0.3×(x–2.5)=0.85–0.73，‎ 解得x=2.9．‎ 所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85 的居民每月的用水量不超过标准．学 ‎ ‎2.【2016高考山东】某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)， [20，22.5)， [22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，30).根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）‎ ‎（A）56 （B）60 （C）120 （D）140‎ ‎【答案】D ‎【解析】由频率分布直方图知，自习时间不少于22.5小时为后三组，有（人），选D.‎ ‎1．(2015·陕西，2)某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为(　　)‎ A．167 B．137 C．123 D．93‎ ‎【答案】　B ‎【解析】　由题干扇形统计图可得该校女教师人数为：110×70 ＋150×(1－60 )＝137.故选B.‎ ‎2．(2015·安徽，6)若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的标准差为(　　)‎ A．8 B．15 C．16 D．32‎ ‎【答案】　C ‎ ‎ ‎3．(2015·重庆，3)重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下：‎ 则这组数据的中位数是(　　)‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎8 9 ‎ ‎2 5 8‎ ‎0 0 0 3 3 8‎ ‎1 2‎ A．19 B．20 C．21.5 D．23‎ ‎【答案】　B ‎【解析】　从茎叶图知所有数据为8，9，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32，中间两个数为20，20，故中位数为20，选B. ‎ ‎4．(2015·新课标全国Ⅱ，31)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)柱形图．以下结论不正确的是(　　)‎ A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效 C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 ‎【答案】　D ‎ 5．(2015·福建，4)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：‎ 收入x(万元)‎ ‎8.2‎ ‎8.6‎ ‎10.0‎ ‎11.3‎ ‎11.9‎ 支出y(万元)‎ ‎6.2‎ ‎7.5‎ ‎8.0‎ ‎8.5‎ ‎9.8‎ 根据上表可得回归直线方程＝x＋，其中＝0.76，＝y－x．据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为(　　)‎ A．11.4万元 B．11. 8万元 ‎ C．12.0万元 D．12.2万元 ‎【答案】　B[ : xx ]‎ ‎【解析】　回归直线一定过样本点中心(10，8)，∵＝0.76，∴＝0.4，由＝0.76x＋0.4得当x＝15万元时，＝11.8万元．故选B. ‎ ‎6．(2014·山东，7)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据(单位： Pa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为(　　)‎ A．6 B．8 C．12 D．18‎ ‎【答案】　C ‎ 7．(2014·陕西，9)设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi＝xi＋a(a为非零常数，i＝1，2，…，10)，则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为(　　)‎ A．1＋a，4 B．1＋a，4＋a C．1，4 D．1，4＋a ‎【答案】　A ‎【解析】‎ ‎ 8．(2014·湖南，2)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则(　　)‎ A．p1＝p2

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