【数学】2020届一轮复习人教B版不等式、推理与证明课时作业(5)

【数学】2020届一轮复习人教B版不等式、推理与证明课时作业(5)

课时作业37　合情推理与演绎推理 ‎1．(2019·河南安阳模拟)观察下列各式：71＝7,72＝49,73＝343,74＝2 401,75＝16 807，…，则72 018的末两位数字为(　A　)‎ A．49 B．43‎ C．07 D．01‎ 解析：71,72,73,74,75，…的末两位数字分别为07,49,43,01,07，…，周期性出现(周期为4)，而2 018＝4×504＋2，所以72 018的末两位数字必定和72的末两位数字相同，故选A．‎ ‎2．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是(　A　)‎ A．设数列{an}的前n项和为Sn.由an＝2n－1，求出S1＝12，S2＝22，S3＝32，…，推断：Sn＝n2‎ B．由f(x)＝xcosx满足f(－x)＝－f(x)对∀x∈R都成立，推断：f(x)＝xcosx为奇函数 C．由圆x2＋y2＝r2的面积S＝πr2，推断：椭圆＋＝1(a＞b＞0)的面积S＝πab D．由(1＋1)2＞21，(2＋1)2＞22，(3＋1)2＞23，…，推断：对一切n∈N*，(n＋1)2＞2n 解析：选项A由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{an}是等差数列，其前n项和等于Sn＝＝n2，选项D中的推理属于归纳推理，但结论不正确．‎ ‎3．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：‎ ‎①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；‎ ‎②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；‎ ‎③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；‎ ‎④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；‎ ‎⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；‎ ‎⑥“＝”类比得到“＝”．‎ 以上式子中，类比得到的结论正确的个数是(　B　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：①②正确，③④⑤⑥错误．‎ ‎4．已知整数对的序列为(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第70个数对是(　B　)‎ A．(3,10) B．(4,9)‎ C．(5,8) D．(6,7)‎ 解析：(1,1)，两数的和为2，共1个；(1,2)，(2,1)，两数的和为3，共2个；(1,3)，(2,2)，(3,1)，两数的和为4，共3个；(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，两数的和为5，共4个；……；(1，n)，(2，n－1)，(3，n－2)，…，(n,1)，两数的和为n＋1，共n个．∵1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＝66，∴第70个数对是两个数的和为13的数对．又两个数的和为13的数对为(1,12)，(2,11)，(3,10)，(4,9)，…，(12,1)，∴第70个数对为(4,9)，故选B．‎ ‎5．(2019·石家庄模拟)如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当⊥时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于(　A　)‎ A． B． C．－1 D．＋1‎ 解析：设“黄金双曲线”方程为－＝1，‎ 则B(0，b)，F(－c,0)，A(a,0)．‎ 在“黄金双曲线”中，因为⊥，‎ 所以·＝0.‎ 又＝(c，b)，＝(－a，b)．所以b2＝aC．‎ 又b2＝c2－a2，所以c2－a2＝aC．‎ 在等号两边同除以a2，得e＝.‎ ‎6．如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为(　C　)‎ A．6 B．7‎ C．8 D．9‎ 解析：由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，…，第n(n≥2，n∈N*)层的点数为6(n－1)．设一个点阵有n(n≥2，n∈N*)层，则共有的点数为1＋6＋6×2＋…＋6(n－1)＝1＋×(n－1)＝3n2－3n＋1，由题意得3n2－3n＋1＝169，即(n＋7)·(n－8)＝0，所以n＝8，故共有8层．‎ ‎7．(2019·山西孝义模拟)我们知道：在平面内，点(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝，通过类比的方法，可求得：在空间中，点(2,4,1)到直线x＋2y＋2z＋3＝0的距离为(　B　)‎ A．3 B．5‎ C． D．3 解析：类比平面内点到直线的距离公式，可得空间中点(x0，y0，z0)到直线Ax＋By＋Cz＋D＝0的距离公式为d＝，则所求距离 d＝＝5，故选B．‎ ‎8．(2019·湖北优质高中联考)如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n＞1，n∈N)个点，相应的图案中总的点数记为an，则＋＋＋…＋＝(　C　)‎ A． B． C． D． 解析：每条边有n个点，所以3条边有3n个点，三角形的3个顶点重复计了一次，所以减3个顶点，则an＝3n－3，那么＝＝＝－，‎ 则＋＋＋…＋ ‎＝＋＋＋…＋ ‎＝1－＝，故选C．‎ ‎9．如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x1，x2，…，xn，都有≤f.若y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值是.‎ 解析：由题意知，凸函数满足 ≤f，‎ 又y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，‎ 则sinA＋sinB＋sinC≤3sin＝3sin＝.‎ ‎10．某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n级分形图．‎ 则n级分形图中共有(3×2n－3)条线段．‎ 解析：分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，‎ 由题图知，一级分形图有3＝3×2－3条线段，二级分形图有9＝3×22－3条线段，‎ 三级分形图中有21＝3×23－3条线段，‎ 按此规律n级分形图中的线段条数an＝3×2n－3.‎ ‎11．(2019·湖北八校联考)祖暅是我国南北 朝时代的数学家，是祖冲之的儿子．他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”‎ 指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．设由椭圆＋＝1(a＞b＞0)所围成的平面图形绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体(称为椭球体)(如图)，课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的方法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于πb2a．‎ 解析：椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，现构造两个底面半径为b，高为a的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球体的体积V＝2(V圆柱－V圆锥)＝2＝πb2A．‎ ‎12．已知O是△ABC内任意一点，连接AO，BO，CO并延长，分别交对边于A′，B′，C′，则＋＋＝1，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”：‎ ＋＋＝＋＋＝＝1.‎ 请运用类比思想，对于空间中的四面体A-BCD，存在什么类似的结论，并用“体积法”证明．‎ 解：在四面体ABCD中任取一点O，‎ 连接AO，DO，BO，CO并延长，分别交四个面于E，F，G，H点．‎ 则＋＋＋＝1.‎ 证明：在四面体O-BCD与 A-BCD中，‎ ＝＝＝.‎ 同理有＝，＝，＝，‎ ‎∴＋＋＋ ‎＝ ‎＝＝1.‎ ‎13．(2019·湖南模拟)天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后．天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，……，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”‎ ‎，以此类推．已知1949年为“己丑”年，那么到中华人民共和国成立80年时为____年(　D　)‎ A．丙酉 B．戊申 C．己申 D．己酉 解析：天干以10循环，地支以12循环，从1949年到2029年经过80年，且1949年为“己丑”年，以1949年的天干和地支分别为首项，80÷10＝8，则2029年的天干为己；80÷12＝6……8，则2029年的地支为酉，故选D．‎ ‎14．(2019·湖北八校联考)有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是(　D　)‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 解析：若甲猜测正确，则4号或5号得第一名，那么乙猜测也正确，与题意不符，故甲猜测错误，即4号和5号均不是第一名；若乙猜测正确，则3号不可能得第一名，即1,2,4,5,6号选手中有一位获得第一名，那么甲和丙中有一人也猜对比赛结果，与题意不符，故乙猜测错误；若丙猜测正确，那么乙猜测也正确，与题意不符，故仅有丁猜测正确，所以选D．‎ ‎15．(2016·山东卷)观察下列等式：‎ －2＋－2＝×1×2；‎ －2＋－2＋－2＋－2＝×2×3；‎ －2＋－2＋－2＋…＋－2＝×3×4；‎ －2＋－2＋－2＋…＋－2＝×4×5；‎ ‎……‎ 照此规律，‎ －2＋－2＋－2＋…＋－2＝.‎ 解析：观察前4个等式，由归纳推理可知－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×n×(n＋1)＝.‎ ‎16．已知点A(x1，ax1)，B(x2，ax2)是函数y＝ax(a＞1)的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的上方，因此有结论成立．运用类比思想方法可知，若点A(x1，sinx1)，B(x2，sinx2)是函数y＝sinx(x∈(0，π))的图象上任意不同两点，则类似地有＜sin成立．‎ 解析：对于函数y＝ax(a＞1)的图象上任意不同两点A，B，依据图象可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的上方，因此有结论成立；对于函数y＝sinx(x∈(0，π))的图象上任意不同的两点A(x1，sinx1)，B(x2，sinx2)，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的下方，‎ 类比可知应有＜sin成立．‎