【数学】2020届一轮复习北师大版 推理与证明 课时作业
一、选择题
1．用分析法证明：欲使①A>B，只需②C
－成立的过程如下：
证明：要证－1>－，
只要证＋>＋1，即证7＋2＋5>11＋2＋1，
即证>，即证35>11.
因为35>11显然成立，所以原不等式成立．
以上证明过程应用了( )
A．综合法 B．分析法
C．综合法与分析法的综合使用 D．间接证法
[答案] B
3．a>0，b>0，则下列不等式中不成立的是( )
A．a＋b＋≥2 B．(a＋b)≥4
C．≥a＋b D．≥
[答案] D
[解析] ∵a>0，b>0，∴a＋b≥2，∴≤1，∴≤.
4．设a、b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有( )
A．1≤ab≤ B．ab<1<
C．ab<<1 D．<12a＋b－2.
[证明] ∵(a－1)2＋(b－)2＋c2≥0，
∴a2－2a＋1＋b2－b＋＋c2≥0，
∴a2＋b2＋c2≥2a＋b－，
∵2a＋b－>2a＋b－2.
∴a2＋b2＋c2>2a＋b－2.
10．在锐角三角形中，比较sinA＋sinB＋sinC与cosA＋cosB＋cosC的大小．
[解析] 在锐角三角形中，∵A＋B>，∴A>－B．
∴0<－Bsin(－B)＝cosB，
即sinA>cosB．①
同理sinB>cosC，②
sinC>cosA．③
由①＋②＋③，得
sinA＋sinB＋sinC>cosA＋cosB＋cosC．
一、选择题
11．在R上定义运算⊙a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为( )
A．(0,2) B．(－2,1)
C．(－∞，－2)∪(1＋∞) D．(－1,2)
[答案] C
[解析] x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2<0⇒x2＋x－2<0⇒－20，y>0，＋＝1，∴x＋＝(x＋)(＋)＝2＋＋≥2＋2＝4，等号在y＝4x，即x＝2，y＝8时成立，∴x＋的最小值为4，要使不等式m2－3m>x＋有解，应有m2－3m>4，∴
m<－1或m>4，故选B．
13．(2018·陕西文，10)设f(x)＝ln x,0＜a＜b，若p＝f()，q＝f，r＝(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是( )
A．q＝r＜p B．q＝r＞p
C．p＝r＜q D．p＝r＞q
[答案] C
[解析] p＝f()＝ln ＝ln ab；q＝f()＝ln ；r＝(f(a)＋f(b))＝ln ab，因为＞，
由f(x)＝ln x是个递增函数，f()＞f()，
所以q＞p＝r，故答案选C．
14．(2014·广东梅县东山中学期中)在f(m，n)中，m、n、f(m，n)∈N*，且对任意m，n都有：
(1)f(1,1)＝1，(2)f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，(3)f(m＋1,1)＝2f(m,1)；给出下列三个结论：
①f(1,5)＝9；②f(5,1)＝16；③f(5,6)＝26；
其中正确的结论个数是( )个．( )
A．3 B．2
C．1 D．0
[答案] A
[解析] ∵f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，∴f(m，n)组成首项为f(m,1)，公差为2的等差数列，
∴f(m，n)＝f(m,1)＋2(n－1)．
又f(1,1)＝1，∴f(1,5)＝f(1,1)＋2×(5－1)＝9，
又∵f(m＋1,1)＝2f(m,1)，∴f(m,1)构成首项为f(1,1)，公比为2的等比数列，∴f(m,1)＝f(1,1)·2m－1＝2m－1，∴f(5,1)＝25－1＝16，∴f(5,6)＝f(5,1)＋2×(6－1)＝16＋10＝26，∴①②③都正确，故选A．
二、填空题
15．若sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，则
cos(α－β)＝________.
[答案] －
[解析] 由题意sinα＋sinβ＝－sinγ ①
cosα＋cosβ＝－cosγ ②
①，②两边同时平方相加得
2＋2sinαsinβ＋2cosαcosβ＝1
2cos(α－β)＝－1，cos(α－β)＝－.
16．已知a>0，b>0，m＝lg，n＝lg，则m与n的大小关系为________.
[答案] m>n
[解析] 因为(＋)2＝a＋b＋2>a＋b>0，所以>，所以m>n.
三、解答题
17．(2013·山东肥城二中高二期中)已知a、b、c、d为正实数，试用分析法证明：·≥ac＋bd.
[证明] 要证·≥ac＋bd成立，只需证
(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，
即证b2c2＋a2d2≥2abcd，
也就是(bc＋ad)2≥0.
∵(bc＋ad)2≥0显然成立，
∴·≥ac＋bd.
18．若α、β为锐角，且＋＝2.求证：α＋β＝.
[证明] 设f(x)＝＋，x∈(0，)，显然f(x)为单调减函数．
∵f(α)＝2，f(－β)＝＋＝2，
即f(α)＝f(－β)，又f(x)在x∈(0，)上单调递减，
∴α＝－β，∴α＋β＝.
