2019届二轮复习构造函数法解不等式问题学案（全国通用）

2019届二轮复习构造函数法解不等式问题学案（全国通用）

专题 2.3 构造函数法解不等式问题（小题） 在函数中解决抽象函数问题首要的前提是对函数四种基本性质的熟练掌握，导数是函数单调性的 延伸，如果把题目中直接给出的增减性换成一个 ，则单调性就变的相当隐晦了，另外在导数中的 抽象函数不等式问题中，我们要研究的往往不是 本身的单调性，而是包含 的一个新函数的 单调性，因此构造函数变的相当重要，另外题目中若给出的是 的形式，则我们要构造的则是一个 包含 的新函数，因为只有这个新函数求导之后才会出现 ，因此解决导数抽象函数不等式的 重中之重是构造函数。 例 如 ： ， 则 我 们 知 道 原 函 数 是 单 调 递 增 的 ， 若 ， 我 们 知 道 这个函数是单调递增的，因此构造函数的过程有点类似于积分求原函数的过程，只不 过构造出的新函数要通过题目中给出的条件能判断出单调性才可。 既然是找原函数，那么就可能遇上找不到式子的原函数的时候，但是我们判断单调性只需要判断 导函数的正负即可，例如 的原函数是不能准确的找到的，但是如果我们知道一个式子的导函数里 面包含 ，则也能大致将那个函数看成是原函数，例如 ，或者 的导函数中包含 一个能判断符号的式子和 相乘或相除的形式，我们也可以将 大致看成 的原函数。 构造函数模型总结： 关系式为“加”型： （1） 构造 （2） 构造 （3） 构造 （注意对 的符号进行讨论） 关系式为“减”型 ' ( )f x ( )f x ( )f x ' ( )f x ( )f x ' ( )f x ' ( ) 0f x > ( )f x ' ( ) 1 0f x + > ( ) ( )g x f x x= + ( )g x ( )g x ' ( )( ) g xm x x = ( )m x ( )g x ( )m x ( )g x ' ( ) ( ) 0f x f x+ ≥ ' '[ ( )] [ ( ) ( )]x xe f x e f x f x= + ' ( ) ( ) 0xf x f x+ ≥ ' '[ ( )] ( ) ( )xf x xf x f x= + ' ( ) ( ) 0xf x nf x+ ≥ ' ' 1 1 '[ ( )] ( ) ( ) [ ( ) ( )]n n n nx f x x f x nx f x x xf x nf x− −= + = + x （1） 构造 （2） 构造 （3） 构造 （注意对 的符号进行讨论） 例 1.设 是 上的可导函数， 分别是 的导函数，且满足 ，则当 时，有（ ） 【解析】因为 不等式左边的原函数为 ，因此需要构造新函数，令 ，可知 ，则函数 是单调递减函数，因此当 ，有 即 答案选 C。 变 式 ： 设 是 上 的 可 导 函 数 ， ， ， 求 不 等 式 的解集。 【解析】同上题 的原函数为 ，构造新函数 可知 ， 单调递减，又因为 即 ，所以 的解集是 ' ( ) ( ) 0f x f x− ≥ ' ' ' 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) x x x x x f x f x e f x e f x f x e e e − −= = ' ( ) ( ) 0xf x f x− ≥ ' ' 2 ( ) ( ) ( )[ ]f x xf x f x x x −= ' ( ) ( ) 0xf x nf x− ≥ ' 1 ' ' 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) n n n n n f x x f x nx f x xf x nf x x x x − + − −= = x ( ),g( )f x x R ' '( ) g ( )f x x， ( ),g( )f x x ' '( ) ( ) ( )g ( ) 0f x g x f x x+ < a x b< < . ( ) ( ) ( ) ( )A f a g b f b g a> . ( ) ( ) ( ) ( )B f a g a f a g b> . ( ) ( ) ( ) ( )C f a g a f b g b> . ( ) ( ) ( ) ( )D f a g a f b g a> ' '( ) ( ) ( )g ( ) 0f x g x f x x+ < ( ) ( )f x g x ( ) ( ) ( )h x f x g x= ' ( ) 0h x < ( )h x a x b< < ( ) ( )h a h b> ( ),g( )f x x R ' '( ) ( ) ( )g ( ) 0f x g x f x x+ < ( 3) 0g − = ( ) ( ) 0f x g x < ' '( ) ( ) ( )g ( )f x g x f x x+ ( ) ( )f x g x ( ) ( ) ( )h x f x g x= ' ( ) 0h x < ( )h x ( 3) 0g − = ( 3) 0h − = ( ) ( ) 0f x g x < ( 3, )− +∞ 例 2.已知定义为 的奇函数 的导函数为 ，当 时， ，若 ，则下列关于 的大小关系正确的是（ ） 例 3.已知函数 为定义在 上的可导函数，且 对于任意 恒成立， 为自然对数的 底数，则（ ） 【解析】由 ，构造函数 ，求导得 ， 函数 在定义域内单调递增，所以 例 4.设函数 在 上的导函数为 ，且 ，下面的不等式在 内恒成立的是 （ ） R ( )f x ' ( )f x 0x ≠ ' ( )( ) 0f xf x x + > 1 1 1( ), 2 ( 2), ln (ln 2)2 2 2a f b f c f= = − − = , ,a b c .A a b c> > .B a c b> > .C c b a> > .D b a c> > ( )f x R '( ) ( )f x f x< x R∈ e 2013. (1) (0) (2013) (0)A f e f f e f> ⋅ < ⋅、 2013. (1) (0) (2013) (0)B f e f f e f< ⋅ > ⋅、 2013. (1) (0) (2013) (0)C f e f f e f> ⋅ > ⋅、 2013. (1) (0) (2013) (0)D f e f f e f< ⋅ < ⋅、 ' '( ) ( ) ( ) ( ) 0f x f x f x f x< ⇒ − < ( )( ) x f xh x e = ' ' ( ) ( )( ) 0x f x f xh x e −= > ( )h x 2013 (1) (0) (2013) (0),1 1 f f f f e e > > ( )f x R ' ( )f x ' 22 ( ) ( )f x xf x x+ > R . ( ) 0A f x > . ( ) 0B f x < . ( )C f x x> . ( )D f x x< 【解析】 ，试着找出不等式左边部分的原函数，若设 ，则 无法判断 的正负，因此构造函数有误，构 造的原则是构造的新函数的导函数的正负是可以判断的，因此设 ，则 ，当 时， ；当 时， ，则 为左减右增的 函数，且 ，即 ，即 例 5.已知函数 的定义域为 ，且 ，则不等式 的解集为 （ ） 【解析】 令 所以 为 上的单调减函数，又因为 ，故不等式的解集为 例 6.设 是奇函数 的导函数， ，当 时， ，则使得 成立的 的取值范围是（ ） 【解析】令 当 时， 因为 为 上的奇函数且 ，所以 ， ' 2 ' 22 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 0f x xf x x f x xf x x+ > ⇒ + − > 2 31( ) ( ) 3h x x f x x= − ' ' 2( ) [2 ( ) ( )]h x x f x xf x x= + − ' ( )h x 2 41( ) ( ) 4h x x f x x= − ' ' 2( ) [2 ( ) ( ) ]h x x f x xf x x= + − 0x > ' ( ) 0h x > 0x < ' ( ) 0h x < ( )h x (0) 0h = 21( ) 04f x x> ≥ ( ) 0f x > ( )f x R '( ) 1 ( ), (0) 4f x f x f> − = ln3( ) 1 xf x e −> + .(0, )A +∞ 1.( , )2B +∞ .(1, )C +∞ .( , )D e +∞ ln3 ln3( ) 1 ( ) ( ) 3x x x x xf x e e f x e e e f x e−> + ⇒ > + ⇒ − > ' '( ) ( ) , ( ) [ ( ) ( ) 1] 0x x xh x e f x e h x e f x f x= − = + − < ( )h x R (0) 3h = (0, )+∞ ' ( )f x ( )f x ( )x R∈ ( 1) 0f − = 0x > ' ( ) ( ) 0xf x f x− < ( ) 0f x > x .( , 1) (0,1)A −∞ − ∪ .( 1,0) (1, )B − ∪ +∞ .( , 1) ( 1,0)C −∞ − ∪ − .(0,1) (1, )D ∪ +∞ ' ' 2 ( ) ( ) ( )( ) , ( )f x xf x f xg x g xx x −= = 0x > ' ( ) 0g x < ( )f x R ( 1) 0f − = (1) 0f = (1)(1) 01 fg = = 所以当 时， 当 时， 又因为 ，故 为偶函数，所以 当 ， 当 时， 综上， 的解集为 例 7.函数 的定义域为 ， ，对任意 ， ，则 的解集为（ ） 【解析】 令 所以 为 的单调递增函数，又因为 所以不等式的解集为 例 8．已知 定义域为 ， 为 的导函数，且满足 ，则不等式 的解集是（ ） 【解析】 令 单调递减 (0,1)x∈ ( ) 0 ( ) 0g x f x> ⇒ > (1, )x∈ +∞ ( ) 0 ( ) 0g x f x< ⇒ < ( ) ( )g x g x− = ( )g x ( 1,0)x∈ − ( ) 0 ( ) 0g x f x> ⇒ < (1, )x∈ +∞ ( ) 0 ( ) 0g x f x< ⇒ > ( ) 0f x > ( , 1) (0,1)−∞ − ∪ ( )f x R ( 1) 2f − = x R∈ ' ( ) 2f x > ( ) 2 4f x x> + .( 1,1)A − .( 1, )B − +∞ .( , 1)C −∞ − .( , )D −∞ +∞ ( ) 2 4 ( ) 2 4f x x f x x> + ⇒ − > ' '( ) ( ) 2 , ( ) ( ) 2 0g x f x x g x f x= − = − > ( )g x R ( 1) ( 1) 2 ( 1) 4g f− = − − × − = ( 1, )− +∞ ( )f x (0, )+∞ ' ( )f x ( )f x '( ) ( )f x xf x< − 2( 1) ( 1) ( 1)f x x f x+ > − − .(0,1)A .(1, )B +∞ .(1,2)C .(2, )D +∞ ' '( ) ( ) ( ) ( ) 0f x xf x f x xf x< − ⇒ + < ' '( ) ( ), ( ) ( ) ( ) 0g x xf x g x f x xf x= = + < 例 9.设 为 的导函数，且 , （ 为自然对数的底数），则不等式 的解集为（ ）_ 【解析】 ，令 为 上的递增函数， ，令 ， ，则不等式可化为 ，即 不等式可化为： ， 即 解得 高考真题举例解析： 1.函数 满足 ，当 时， 的极值状态是 【解析】因为 ，关键因为等式右边函数的原函数不容易找出，因此把等式左边函 数的原函数找出来，设 ，则 ，且 ，因为 ，则 2 2 2( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)f x x f x x f x x f x+ > − − ⇒ + + > − − 2( 1) ( 1)g x g x+ > − 2 2 1 0 1 1 0 1 1 2 2 11 1 x x x x x x x xx x + > > −   − > ⇒ > < − ⇒ >    > < −+ < −  或 或 ' ( )f x ( )f x ' ( ) ( )( )f x f x x R> ∈ 2(2)f e= e 2(2ln )f x x< ' '( ) ( ) ( ) ( ) 0f x f x f x f x> ⇒ − > ' '( ) ( ) ( )( ) , ( ) 0x x f x f x f xh x h xe e −= = > ( )h x R 2 (2)(2) 1fh e = = 2(2ln )f x x< 2lnt x= 2 t x e= ( ) tf t e< ( ) 1t f t e < ( ) (2)h t h< 2t < 2ln 2x < 0 x e< < ( )f x 2 2 ' ( ) 2 ( ) , (2) 8 xe ex f x xf x fx + = = 0x > ( )f x 2 ' ( ) 2 ( ) xex f x xf x x + = 2( ) ( )h x x f x= ' ( ) xeh x x = 2 (2) 2 eh = 2 ' ( ) 2 ( ) xex f x xf x x + = ，判断 的极值状态就是判断 的正负，设 ，则 这里涉及二阶导， 在 处取得最小值 0，因此 ，则 ，故 没有极大值也没有极小值。（有难度，但不失为好题目） 2.定义在 上的函数 满足 ，则不等式 的解集为 ___________. 3.定义在 上的函数 满足 ，对任意的 有 ，则不等式 的解集是 【解析】 ，令 ，则 ，设 ， 则 . ，所以 ，即函数 单调递减，又因为 ， 为偶函数，所以 ， 即 ' 3 2 ( )( ) xe h xf x x −= ( )f x ' ( )f x ( ) 2 ( )xg x e h x= − ' ' 2( ) 2 ( ) 2 ( ) x x x xe xg x e h x e ex x −= − = − = ( )g x 2x = ( ) 0g x ≥ ' ( ) 0f x ≥ ( )f x R ( )f x '( ) ( ) 1, (0) 4f x f x f+ > = ( ) 3x xe f x e> + R ( )f x (1) 1f = x R∈ ' 1( ) 2f x < 2 2 1( ) 2 xf x +> 2 2 2 21 1( ) ( ) 02 2 x xf x f x + +> ⇒ − > 2t x= 1( ) 02 tf t +− > 1( ) ( ) 2 th t f t += − ' ' 1( ) ( ) 2h t f t= − ' ( ) 0h t < ( )h t (1) 0h = ( )h t [0,1)t ∈ ( 1,1)x∈ − 4. 是定义在 上的非负可导函数，且 ，对任意正数 ， 若 则必有（ ） 【解析】 ，则应设 ，在 上，函数 ， 单调递减，因此 ，即 到此为止常规的抽象函数与导数结合的不等式问题已经讲完了，但是不知道同们注意了没有，上 面所有的题目中涉及 均为不等式，因此我们需要构造原函数用不等关系来证明单调关系，但是如 果涉及 式子为等式呢？又该如何？ 特例 1.设函数 为 上的可导函数，对任意的实数 有 ，且当 时， ，则不等式 的解集为__________. 【解析】因为 ，则可设 ，当 时， 不符合题意，则可修改 ，所以 解得 特例 2.设函数 在 上存在导函数 ，对于任意的实数 ，都有 ，当 时， ，若 ，则实数 的取值范围是 __________. ( )f x (0, )+∞ ' ( ) ( ) 0xf x f x− ≤ ,a b a b< . ( ) ( )A af b bf a≤ . ( ) ( )B bf a af b≤ . ( ) ( )C af a f b≤ . ( ) ( )D bf b f a≤ ' ( ) ( ) 0xf x f x− ≤ ' ' 2 ( ) ( ) ( )( ) , ( )f x xf x f xh x h xx x −= = (0, )+∞ ' ( ) 0h x ≤ ( )h x ( ) ( )a b h a h b< ⇒ > ( ) ( )af b bf a≤ ' ( )f x ' ( )f x ( )f x R x 2( ) 2018 ( )f x x f x= − − (0, )x∈ +∞ ' ( ) 2018 0f x x− > ( 1) ( ) 2018 1009f m f m m+ − − ≥ + 2( ) ( ) 2018f x f x x+ − = 2( ) 1009f x x= (0, )x∈ +∞ ' ( ) 2018 2018 2018 0f x x x x− = − = 2( ) 1009f x x x= + 2 2( 1) ( ) 2018 1009 1009( 1) ( 1) (1009 ) 2018 1009f m f m m m m m m m+ − − ≥ + ⇒ + + + − − ≥ + 1 2m ≥ − ( )f x R ' ( )f x x 2 '( ) 3 ( )f x x f x= − ( ,0)x∈ −∞ ' 1( ) 32f x x+ < 27( 3) ( ) 9 2f m f m m+ − − ≤ + m 特例 3.若函数 在 上存在导函数 ，对任意 ，有 ，且 时， ，若 ，则实数 的取值范围是 【解析】因为 满足 ，所以可设 当 时，不满足 ，所以原函数表达式错误，重新修改 表达式，设 此 时符合题意， + + . . 解得： 以上三个特例得知，若含有 的式子为等式时，可试着将 的表达式写出来，再根据题目 中的条件对 表达式进行修订，直到符合题意为止，没必要再构造函数利用单调性来求解不等式， 这类问题值得特别留意。 ( )f x R ' ( )f x x R∈ 2( ) ( )f x f x x+ − = (0, )x∈ +∞ ' ( )f x x> (2 ) ( ) 2 2f a f a a− − ≥ − a ( )f x 2( ) ( )f x f x x+ − = 21( ) 2f x x= 0x > ' ( )f x x> ( )f x 21( ) 2f x x x= + 2 21 1(2 ) ( ) 2 2 (2 ) (2 ) 2 22 2f a f a a a a a a a− − ≥ − ⇒ − + − − − ≥ − 1a ≤ ' ( )f x ( )f x ( )f x