2019届二轮复习（理）第十一章第72讲　随机变量的均值与方差学案（江苏专用）

2019届二轮复习（理）第十一章第72讲　随机变量的均值与方差学案（江苏专用）

第 72 讲 随机变量的均值与方差 考试要求 1.离散型随机变量的均值与方差(B 级要求)；2.高考中对本讲的考查将 以实际问题为背景，结合常见的概率问题，考查离散型随机变量的分布列的求法， 期望与方差的求法，多以解答题形式出现，一般中等难度.要加强常见概率模型 的理解与识别. 诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定.( ) (2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差 或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小.( ) (3)若随机变量 X 的取值中的某个值对应的概率增大时，均值也增大.( ) (4)均值是算术平均数概念的推广，与概率无关.( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)× 2.(教材改编)某射手射击所得环数ξ的概率分布如下： ξ 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知ξ的均值 E(ξ)＝8.9，则 y 的值为 . 解析 可得 y＝0.4. 答案 0.4 3.(2017·全国Ⅱ卷)一批产品的二等品率为 0.02，从这批产品中每次随机取一件， 有放回地抽取 100 次，X 表示抽到的二等品件数，则 V(x)＝ . 解析 有放回地抽取，是一个二项分布模型，其中 p＝0.02，n＝100，则 V(x)＝ np(1－p)＝100×0.02×0.98＝1.96. 答案 1.96 4.已知随机变量 X＋η＝8，若 X B(10，0.6)，则随机变量η的均值 E(η)及方差 V(η) 分别是 . 解析 设随机变量 X 的均值及方差分别为 E(X)，V(X)， 因为 X B(10，0.6)，所以 E(X)＝10×0.6＝6， V(X)＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4， 故 E(η)＝E(8－X)＝8－E(X)＝2， V(η)＝V(8－X)＝V(X)＝2.4. 答案 2 和 2.4 5.(教材改编)抛掷两枚骰子，当至少一枚 5 点或一枚 6 点出现时，就说这次试验 成功，则在 10 次试验中成功次数的均值为 . 解析 抛掷两枚骰子，当两枚骰子不出现 5 点和 6 点时的概率为4 6 ×4 6 ＝4 9 ，所以 至少有一次出现 5 点或 6 点的概率为 1－4 9 ＝5 9 ，用 X 表示 10 次试验中成功的次 数，则 X B(10，5 9)，E(X)＝10×5 9 ＝50 9 . 答案 50 9 知 识 梳 理 1.离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量 X 的概率分布为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (1)均值 称 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn 为随机变量 X 的均值或数学期望.它反映 了离散型随机变量取值的平均水平. (2)方差 称 V(X)＝(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pn 为随机变量 X 的方差，它刻画了 随机变量 X 与其均值 E(X)的平均偏离程度，其算术平方根σ＝ V（X）为随机变 量 X 的标准差. 2.均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b. (2)V(aX＋b)＝a2V(X).(a，b 为常数) 3.两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若随机变量 X 服从两点分布，则 E(X)＝p，V(X)＝p(1－p). (2)若 X B(n，p)，则 E(X)＝np，V(X)＝np(1－p). 考点一 离散型随机变量的均值、方差 【例 1－1】 (2017·天津卷)从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设各路口信号灯 工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为1 2 ，1 3 ，1 4. (1)设 X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量 X 的分布列和数 学期望； (2)若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率. 解 (1)随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2，3， P(X＝0)＝ 1－1 2 × 1－1 3 × 1－1 4 ＝1 4 ， P(X＝1)＝1 2 × 1－1 3 × 1－1 4 ＋ 1－1 2 ×1 3 × 1－1 4 ＋ 1－1 2 × 1－1 3 ×1 4 ＝11 24 ， P(X＝2)＝ 1－1 2 ×1 3 ×1 4 ＋1 2 × 1－1 3 ×1 4 ＋1 2 ×1 3 × 1－1 4 ＝1 4 ， P(X＝3)＝1 2 ×1 3 ×1 4 ＝ 1 24. 所以随机变量 X 的概率分布为 X 0 1 2 3 P 1 4 11 24 1 4 1 24 随机变量 X 的数学期望 E(X)＝0×1 4 ＋1×11 24 ＋2×1 4 ＋3× 1 24 ＝13 12. (2)设 Y 表示第一辆车遇到红灯的个数， 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求 事件的概率为 P(Y＋ ＝1)＝P(Y＝0， ＝1)＋P(Y＝1， ＝0) ＝P(Y＝0)P( ＝1)＋P(Y＝1)P( ＝0) ＝1 4 ×11 24 ＋11 24 ×1 4 ＝11 48. 所以这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率为11 48. 【例 1－2】 (2018·扬州模拟)设袋子中装有 a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且 规定：取出一个红球得 1 分，取出一个黄球得 2 分，取出一个蓝球得 3 分. (1)当 a＝3，b＝2，c＝1 时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2 个球，记随机变量ξ为取出此 2 球所得分数之和，求ξ的概率分布； (2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1 个球，记随机变量η为取出此球所得分 数.若 E(η)＝5 3 ，V(η)＝5 9 ，求 a∶b∶c. 解 (1)由题意得ξ＝2，3，4，5，6， 故 P(ξ＝2)＝3×3 6×6 ＝1 4 ， P(ξ＝3)＝2×3×2 6×6 ＝1 3 ， P(ξ＝4)＝2×3×1＋2×2 6×6 ＝ 5 18 ， P(ξ＝5)＝2×2×1 6×6 ＝1 9 ， P(ξ＝6)＝1×1 6×6 ＝ 1 36. 所以ξ的概率分布为 ξ 2 3 4 5 6 P 1 4 1 3 5 18 1 9 1 36 (2)由题意知η的概率分布为 η 1 2 3 P a a＋b＋c b a＋b＋c c a＋b＋c 所以 E(η)＝ a a＋b＋c ＋ 2b a＋b＋c ＋ 3c a＋b＋c ＝5 3 ， V(η)＝ 1－5 3 2 · a a＋b＋c ＋ 2－5 3 2 · b a＋b＋c ＋ 3－5 3 2 · c a＋b＋c ＝5 9 ， 化简得 解得 a＝3c，b＝2c，故 a∶b∶c＝3∶2∶1. 规律方法 离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略 (1)求离散型随机变量的均值与方差.可依题设条件求出离散型随机变量的概率分 布，然后利用均值、方差公式直接求解. (2)由已知均值或方差求参数值.可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的 方程(组)，解方程(组)即可求出参数值. (3)由已知条件，作出对两种方案的判断.可依据均值、方差的意义，对实际问题 作出判断. 【训练 1】 某市 A，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了 3 名男生、 2 名女生，B 中学推荐了 3 名男生、4 名女生，两校所推荐的学生一起参加集训. 由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取 3 人、女生中随机抽取 3 人组成代表队. (1)求 A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率； (2)某场比赛前，从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人参赛，设 X 表示参赛的男 生人数，求 X 的概率分布和均值. 解 (1)由题意，参加集训的男、女生各有 6 名，参赛学生全从 B 中学抽取(等价 于 A 中学没有学生入选代表队)的概率为C33C34 C36C36 ＝ 1 100. 因此，A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率为 1－ 1 100 ＝ 99 100. (2)根据题意，X 的可能取值为 1，2，3， P(X＝1)＝C13C33 C46 ＝1 5 ， P(X＝2)＝C23C23 C46 ＝3 5 ， P(X＝3)＝C33C13 C46 ＝1 5 ， 所以 X 的概率分布为 X 1 2 3 P 1 5 3 5 1 5 因此，X 的均值为 E(X)＝1×1 5 ＋2×3 5 ＋3×1 5 ＝2. 考点二 与二项分布有关的均值与方差 【例 2】 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和 B，系统 A 和系统 B 在任意时刻发生故障的概率分别为 1 10 和 p. (1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为49 50 ，求 p 的值； (2)设系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概 率分布及均值 E(ξ). 解 (1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件 C，那么 1－P(C － )＝1－ 1 10 ·p＝49 50 ，解得 p＝1 5. (2)由题意，得 P(ξ＝0)＝ 1 10 3 ＝ 1 1 000 ， P(ξ＝1)＝C13 1－ 1 10 × 1 10 2 ＝ 27 1 000 ， P(ξ＝2)＝C23 1－ 1 10 2 × 1 10 ＝ 243 1 000 ， P(ξ＝3)＝ 1－ 1 10 3 ＝ 729 1 000. 所以随机变量ξ的概率分布为 ξ 0 1 2 3 P 1 1 000 27 1 000 243 1 000 729 1 000 故随机变量ξ的均值 E(ξ)＝0× 1 1 000 ＋1× 27 1 000 ＋2× 243 1 000 ＋3× 729 1 000 ＝27 10. (或∵ξ B 3， 9 10 ，∴E(ξ)＝3× 9 10 ＝27 10.) 规律方法 解决与二项分布有关的均值、方差问题关键有二点：一是准确把握概 率模型，确认要解决的问题是否属于二项分布问题.二是正确套用概率公式. 【训练 2】 (2018·盐城模拟)甲、乙两人投篮命中的概率分别为2 3 与1 2 ，各自相互 独立.现两人做投篮游戏，共比赛 3 局，每局每人各投一球. (1)求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多 1 个的概率； (2)设ξ表示比赛结束后甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的概率分布和均值 E(ξ). 解 (1)比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多 1 个有以下几种情况： 甲进 1 球，乙进 0 球；甲进 2 球，乙进 1 球；甲进 3 球，乙进 2 球. 所以比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多 1 个的概率为 P＝C13×2 3 × 1 3 2 × 1 2 3 ＋C23× 2 3 2 ×1 3 ×C13× 1 2 3 ＋ 2 3 3 ×C23× 1 2 3 ＝11 36. (2)ξ的取值为 0，1，2，3， 则 P(ξ＝0)＝ 1 3 3 × 1 2 3 ＋C13×2 3 × 1 3 2 ×C13× 1 2 3 ＋C23× 2 3 2 ×1 3 ×C23× 1 2 3 ＋ 2 3 3 × 1 2 3 ＝ 7 24 ， P(ξ＝1)＝ 1 3 3 ×C13× 1 2 3 ＋C13×2 3 × 1 3 2 × 1 2 3 ＋C13×2 3 × 1 3 2 ×C23× 1 2 3 ＋C23× 2 3 2 ×1 3 ×C13× 1 2 3 ＋C23× 2 3 2 ×1 3 × 1 2 3 ＋ 2 3 3 ×C23× 1 2 3 ＝11 24 ， P(ξ＝2)＝ 1 3 3 ×C23× 1 2 3 ＋C23× 2 3 2 ×1 3 × 1 2 3 ＋C13×2 3 × 1 3 2 × 1 2 3 ＋ 2 3 3 ×C13× 1 2 3 ＝ 5 24 ， P(ξ＝3)＝ 1 3 3 × 1 2 3 ＋ 2 3 3 × 1 2 3 ＝ 1 24 ， 所以ξ的概率分布为 ξ 0 1 2 3 P 7 24 11 24 5 24 1 24 所以均值 E(ξ)＝0× 7 24 ＋1×11 24 ＋2× 5 24 ＋3× 1 24 ＝1. 考点三 均值与方差在决策中的应用 【例 3】 某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一 易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元.在机 器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同 时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的 易损零件数，得下面柱状图： 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1 台机器更换的易损零件数发生的 概率，记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买 2 台机器的 同时购买的易损零件数. (1)求 X 的分布列； (2)若要求 P(X≤n)≥0.5，确定 n 的最小值； (3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 n＝19 与 n＝20 之中选其 一，应选用哪个？ 解 (1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件 数为 8，9，10，11 的概率分别为 0.2，0.4，0.2，0.2，从而 P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04； P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16； P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24； P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24； P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2； P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08； P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04， 所以 X 的概率分布为 X 16 17 18 19 20 21 22 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 (2)由(1)知 P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故 n 的最小值为 19. (3)记 Y 表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元). 当 n ＝ 19 时 ， E(Y) ＝ 19×200×0.68 ＋ (19×200 ＋ 500)×0.2 ＋ (19×200 ＋ 2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040. 当 n＝20 时， E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋ (20×200＋2×500)×0.04＝4 080. 可知当 n＝19 时所需费用的均值小于 n＝20 时所需费用的均值，故应选 n＝19. 规律方法 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变 量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于 方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定. 【训练 3】某投资公司在 2016 年年初准备将 1 000 万元投资到“低碳”项目上， 现有两个项目供选择： 项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 30 ，也可 能亏损 15 ，且这两种情况发生的概率分别为7 9 和2 9 ； 项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 50 ，可能损 失 30 ，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为3 5 ，1 3 和 1 15. 针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由. 解 若按“项目一”投资，设获利为 X1 万元，则 X1 的概率分布为 X1 300 －150 P 7 9 2 9 ∴E(X1)＝300×7 9 ＋(－150)×2 9 ＝200. 若按“项目二”投资，设获利为 X2 万元，则 X2 的概率分布为 X2 500 －300 0 P 3 5 1 3 1 15 ∴E(X2)＝500×3 5 ＋(－300)×1 3 ＋0× 1 15 ＝200. V(X1)＝(300－200)2×7 9 ＋(－150－200)2×2 9 ＝35 000， V(X2)＝(500－200)2×3 5 ＋(－300－200)2×1 3 ＋(0－200)2× 1 15 ＝140 000. ∴E(X1)＝E(X2)，V(X1)

查看更多