甘肃省高台县第一中学2020届高三上学期期中考试数学（文）试题

甘肃省高台县第一中学2020届高三上学期期中考试数学（文）试题

高台一中2019年秋学期高三年级期中考试 数学（文科）试卷 命题教师： 审题教师：‎ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1. 若集合，，则 （ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．复数对应的点位于复平面的 （ ） ‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．已知等差数列的前项和为，且，则（ ） ‎ A． B． C． D． ‎ ‎4．函数的大致图象是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5．已知某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：‎ 支出 收入 ‎1‎ 月份 ‎90‎ ‎80‎ ‎70‎ ‎60‎ ‎50‎ ‎40‎ ‎30‎ ‎20‎ ‎10‎ O ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 万元 根据该折线图可知，下列说法错误的是 （ ） ‎ A．该超市2018年的12个月中的7月份的收益最高 B．该超市2018年的12个月中的4月份的收益最低 C．该超市2018年1~6月份的总收益低于2018年7~12月份的总收益 D．该超市2018年7~12月份的总收益比2018年1~6月份的总收益增长了90万元 ‎6. 已知，且，则 （ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎7. 已知双曲线的右焦点和抛物线的焦点重合，且到双曲线左顶点的距离是，则双曲线的离心率为 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎8. 在平行四边形中，，，若是的中点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9. 甲、乙、丙、丁四人商量是否参加研学活动.甲说：“乙去我就肯定去.”；乙说：“丙去我就不去.”；丙说：“无论丁去不去，我都去.”；丁说：“甲乙中至少有一人去，我就去.”以下哪项推论可能是正确的 （ ） ‎ ‎ A． 乙、丙两个人去了 B．甲一个人去了 ‎ C．甲、丙、丁三个人去了 D．四个人都去了 ‎10．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象都经过点，则的值可以是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎11. 已知向量，向量，则的最大值、最小值分别是 （ ） ‎ ‎ A． ， B． ， C．， D．， ‎ ‎12．已知函数，若函数在定义域内存在零点，则实数的取值范围为 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．已知向量，，若且方向相反，则 ．‎ ‎14. 已知函数，，则 ．‎ ‎15. 直线与曲线相切，则 ．‎ ‎16．我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为方锥.已知半径为的半球内有一个方锥，方锥的所有顶点都在半球所在的球面上，方锥的底面与半球的底面重合，若方锥体积为，则半球的表面积为 ___________.‎ 三、 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.（本小题满分12分） 已知数列满足，且.‎ ‎（1）求证：数列为等比数列；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎18.（本小题满分12分） 已知函数．‎ ‎（1）求函数的最小正周期及单调递减区间；‎ ‎（2）设的内角的对边分别为边，若，成等差数列，且，求的值．‎ ‎19.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，，，分别为的中点．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若平面，求到平面的距离．‎ ‎20.（本小题满分12分） 已知离心率为的椭圆的一个焦点为，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，且.‎ ‎（1）求此椭圆的标准方程； ‎ ‎（2）已知直线与椭圆交于两点，若以线段为直径的圆过点，求的值.‎ ‎21.（本小题满分12分） 已知函数.‎ ‎（1）当时，求的极大值；‎ ‎（2）证明：当时，存在，使得.‎ ‎（二）选考题：共10分. 请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，多答按所答第一题评分。‎ ‎22.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程] ‎ 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的普通方程；‎ ‎（2）已知，直线与曲线交于，两点，求的最大值．‎ ‎23.（本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲]‎ 已知函数．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）设函数，若存在使成立，求实数的取值范围．‎ 高台一中2019年秋学期高三年级期中考试 数学（文科）答案 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D A B C D A C D C B D B 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ 13. ‎ 14. ‎ ‎15. 16. ‎ 三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（本小题满分12分） 已知数列满足，且.‎ ‎（1）求证：数列为等比数列；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【解析】（1）方法1：证明：由，得 ‎ ................ 3分 ‎ 即 ‎ ‎ 又 .... ...........5分 ‎ ‎ 数列是以为首项，为公比的等比数列............6分 ‎ 方法2：证明：由已知得 ‎ ........... 3分 ‎ 又 ................ 5分 ‎ 数列是以为首项，为公比的等比数列. ...........6分 （2） 由（1）知， ...........7分 ‎ 则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ...........10分 ‎ ‎ ...........12分 ‎ ‎18.（本小题满分12分） 已知函数．‎ ‎（1）求函数的最小正周期及单调递减区间；‎ ‎（2）设的内角的对边分别为边，若，成等差数列，且，求的值．‎ ‎【解析】（1）‎ ‎ ‎ ‎ ...........3分 ‎ 的最小正周期. ...........4分 ‎ 由得 ‎ ‎ ‎ 的单调递减区间为 ...........6分 ‎（2）由，得 ...........7分 ‎ ‎ ‎ ...........8分 又成等差数列 由正弦定理得 ..........10分 由余弦定理得 ‎ ‎ 解得 ...........12分 19. ‎（本小题满分12分） 如图，在直三棱柱中，，，分别为的中点．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若平面，求到平面的距离．‎ 平面 ‎20.（本小题满分12分） 已知离心率为的椭圆的一个焦点为，过 且与轴垂直的直线交椭圆于两点，且.‎ ‎（1）求此椭圆的标准方程； ‎ ‎（2）已知直线与椭圆交于两点，若以线段为直径的圆过点，求的值.‎ ‎【解析】‎ ‎21.（本小题满分12分） 已知函数.‎ ‎（1）当时，求的极大值；‎ ‎（2）证明：当时，存在，使得.‎ ‎2‎ ‎22.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程] ‎ 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的普通方程；‎ ‎（2）已知，直线与曲线交于，两点，求的最大值．‎ ‎【解析】（1）∵，∴，‎ ‎∴，即． ...............4分 ‎（2）将直线的参数方程（为参数）代入的普通方程，‎ 得， ...............6分 则，，............7分 所以，...........9分 所以，即的最大值为． ...........10分 ‎23.（本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲]‎ 已知函数．‎ ‎（1）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若不等式的解集为，求实数，的值．‎ ‎【解析】（1）当时，原不等式可化为，无解；‎ 当时，原不等式可化为，从而；‎ 当时，原不等式可化为，从而，‎ 综上，原不等式的解集为．‎ ‎（2）由得，‎ 又，‎ 所以，即，解得，‎ 所以的取值范围为．‎