黑龙江省双鸭山市第一中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题

黑龙江省双鸭山市第一中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题

双鸭山市第一中学 2018-2019 学年度下学期高二数学（理） 期末考试试题 一、选择题（每题 5 分，共 60 分） 1.已知全集 ，集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先求得集合 的补集，然后求其与集合 的交集，由此求得正确结论. 【详解】 ，所以 ，故选 B. 【点睛】本小题主要考查集合补集、交集的运算，属于基础题. 2.设复数 满足 ，则 （ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】∵(1＋i)z＝2i， ∴z＝ ＝ =1＋i. ∴|z|＝ ＝ . 故答案：C 【点睛】本题考查复数的运算及复数的模．复数的常见考点有：复数的几何意义，z＝a＋ bi(a，b∈R)与复平面上的点 Z(a，b)、平面向量 都可建立一一对应的关系(其中 O 是坐标 原点)；复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．涉及到共轭 { }1,0,1,2,3U = − { }0,1,2A = { }1,0,1B = − ( )U A B = { }0,1 { }1− { }1,2,3− { }1,0,1,3− A B { }1,3UC A = − ( ) { }1UC A B = − z (1 ) 2i z i+ = z = 1 2 2 2 2 2i 1 i+ ( ) ( )( ) ( )2 1 2 1 1 1 2 i i i i i − +=+ − 1+1 2 OZ 复数的概念，一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共 轭复数，复数 z 的共轭复数记作 ． 3.下列函数中,既是偶函数又在 单调递增 是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据函数的奇偶性和单调性，对选项逐一分析，由此得出正确选项. 【详解】对于 A 选项，由于定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数.对于 B 选项，函数为 偶函数，当 时， 为增函数，故 B 选项正确.对于 C 选项，函数图像没有对称性， 故为非奇非偶函数.对于 D 选项， 在 上有增有减.综上所述，本小题选 B. 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于基础题. 4. 以下四个命题中，真命题的是（ ） A. B. “对任意的 ”的否定是“存在 ” C. ，函数 都不是偶函数 D. 中，“ ”是“ ”的充要条件 【答案】D 【解析】 试题分析：当 时， 故 A 错误；由全称命 题的否定知 B 错误；由诱导公式可得单调 时 ， 显 然 为 偶 函 数 ； 故 C 错 误 ； 或 ，若 ， 的 z (0, )+∞ y x= lny x= xy e= cosy x= 0x > lny x= cosy x= (0, )+∞ ( )0, ,sin tanx x xπ∃ ∈ = 2, 1 0x R x x∈ + + > 2 0 0 0, 1 0x R x x∈ + + < Rθ∀ ∈ ( ) ( )sin 2f x x θ= + ABC∆ sin sin cos cosA B A B+ = + 2C π= ( )0,x π∈ sinsin tan sin cos 1,cos xx x x xx = ⇒ = ⇒ = ,2 k k Z πθ π= + ∈ ( ) ( )sin 2 cosf x x θ θ= + = ± sin sin cos cos sin cos cos sin sin 2 sin 2BA B A B A A B B A+ = + ⇒ − = − ⇒ = ⇒ 2 2BA = 2 +2B=A π 2 2BA = ，若 ；反之，若 ，故 D 正确 考点：全称命题 否定，充要条件等 5.已知 ， ，则 等于（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】 根据 和角的范围可求出 =— ，再根据两角和与差的正弦求出 的值，进而求出 ，代入 求出结果即可. 【详解】因为 ， ， =— ， 所以 = = ， 所以 ，所以 = . 故选：A. 【点睛】本题考查三角函数给值求角，两角和与差的正弦，诱导公式的应用，特殊角的三角 函数值，属于基础题. 6.已知 ， ， ，则 a，b，c 的大小关系为 A. B. C. D. 的 sin sin cos cos sin cos 4 2A B A B A A A B C π π+ = + ⇒ = ⇒ = = ⇒ = 2 +2B= +B= 2 2A A C π ππ ⇒ ∴ = sin cos ,cos sin sin sin cos cos2C A B A B A B A B π= ∴ = = ⇒ + = + ,2 πα π ∈   1sin 6 2 πα + =   ( )tan 2α π+ 3 3− 3 3 1sin 6 2 πα + =   cos 6 πα +   3 2 sinα 2 3 πα = ( )tan 2α π+ 1sin 6 2 πα + =   ,2 πα π ∈   cos 6 πα ∴ +   3 2 sin sin 6 6 π πα α = + −   sin( )cos cos sin6 6 6 π π πα α + − +   6 π 3 2 2 3 πα = ( )tan 2α π+ 4tan tan 33 3 π π= = 2loga e= ln 2b = 1 2 1log 3c = a b c> > b a c> > c b a> > c a b> > 【答案】D 【解析】 分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意结合对数函数的性质可知： ， ， ， 据此可得： . 本题选择 D 选项. 点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂 的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在 进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函 数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快 捷，又准确． 7.在 中， ,则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据 求得 ，进而求得 ，根据余弦定理求得 以及 ，由此求得 . 【详解】由于 ，所以 且 为锐角，所以 . 由 余 弦 定 理 得 . 故 . 所 以 .故选 B. 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查余弦定理解三角形，考查向量数 量积的运算，属于中档题. 2log 1a e= > ( ) 2 1ln 2 0,1logb e = = ∈ 1 2 2 2 1log log 3 log3c e= = > c a b> > ABC∆ 43, 5,tan , 3AB BC AB BC= = = −    CA CB⋅ =  16− 16 9 9− 4tan , 3AB BC = −  tan B cos B AC cosC CA CB⋅  4tan , 3AB BC = −  4tan 3B = B 2 1 3cos 1 tan 5B B = =+ 39 25 2 3 5 45AC = + − × × × = 25 16 9 4cos 2 5 4 5C + −= =× × 44 5 165CA CB⋅ = × × =  8.已知定义在 上的函数 ，若 是奇函数， 是偶函数，当 时， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据 是偶函数判出 是函数 的对称轴，结合 是奇函数可判断出函数 是周期为 的周期函数，由此求得 的值. 【详解】由于 是偶函数，所以函数 的一条对称轴为 ，由于函数 是 奇 函 数 ， 函 数 图 像 关 于 原 点 对 称 ， 故 函 数 是 周 期 为 的 周 期 函 数 ， 故 ，故选 A. 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性、考查函数的对称性、考查函数的周期性，考查函数 值的求法，属于基础题. 9.函数 的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 R ( )f x ( )f x ( 1)f x + 0 1x≤ ≤ 2( )f x x= (2019)f = 1− 1 0 22019 ( 1)f x + 1x = ( )f x ( )f x ( )f x 4 ( )2019f ( 1)f x + ( )f x 1x = ( )f x ( )f x 4 ( ) ( ) ( ) ( ) 22019 505 4 1 1 1 1 1f f f f= × − = − = − = − = − 4cos xy x e= − 计算函数与 y 轴的交点坐标，再判断函数的单调性，即可判断出答案． 【详解】当 x＝0 时，y＝4﹣1＝3＞0，排除 C，当 >x>0 时， 是单调递减的， 当 x> 时，导函数为-4sinx- <0,所以也是单调递减的，又函数连续，故当 x>0 时， 函数时递减的，故选 A. 故选：A． 【点睛】本题考查了函数图象 判断，一般从奇偶性，单调性，特殊值等方面判断，属于基 础题． 10.已知函数 的部分图象如图所示，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据图像最低点求得 ，根据函数图像上两个特殊点求得 的值，由此求得函数 解 析式，进而求得 的值. 【 详 解 】 根 据 图 像 可 知 ， 函 数 图 像 最 低 点 为 ， 故 ， 所 以 ，将点 代入 解析式得 ， 的 π 4cos xy x e= − π π4xe e< − ( ) sin( )( 0, 0,0 )2f x A wx A πϕ ω ϕ= + > > < < 3( )4f π = 2 2 − 1 2 − 1− 2 2 A ,ω ϕ ( )f x 3π 4f      7π , 212  −   2A = ( ) 2sin( )f x xω ϕ= + ( ) 7π0, 3 , , 212  −   ( )f x 2sin 3 7π2sin 212 ϕ ω ϕ  =  + = −    解得 ，故 ，所以 ，故选 C. 【点睛】本小题主要考查根据三角函数图象求三角函数解析式，并求三角函数值，属于中档 题. 11.已知点 是 的外接圆圆心, .若存在非零实数 使得 且 ,则 的值为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据 且 判断出 与线段 中点三点共线，由此判断出三角 形 的形状，进而求得 的值. 【详解】由于 ，由于 ，所以 与线段 中点三点共线，根据圆的几何性质可知直线 垂直平分 ，于是 是以 为底边 的等腰三角形，于是 ，故选 D. 【点睛】本小题主要考查平面向量中三点共线的向量表示，考查圆的几何性质、等腰三角形 的几何性质，属于中档题. 12.已知函数 ( 为自然对数的底数)， .若存在 实数 ，使得 ，且 ，则实数 的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 2 π 3 ω ϕ = = ( ) π2sin 2 3f x x = +   3π 3π π2sin 2 14 4 3f    = × + = −       O ABC∆ 3, 4AB AC= = ,x y AO xAB yAC= +   2 1x y+ = cos BAC∠ 1 3 2 3 3 3 2 3 AO xAB yAC= +   2 1x y+ = ,O B AC ABC cos BAC∠ 2 2 ACAO xAB yAC xAB y= + = +     2 1x y+ = ,O B AC OB AC ABC∆ AC 22cos 3 AC BAC AB ∠ = = ( ) 2 x e ef x e x−= + − e ( ) ln 4g x x ax ea= − − + 1 2,x x 1 2( ) ( ) 12 ef x g x− = = 2 1 1 | |x ex ≤ ≤ a 5 2e 2 5 e e+ 2 e 【解析】 【分析】 解方程 求得 ，结合 求得 的取值范围 .将 转化为 直线 和 在区间 上有交点的问题来求得 的最大值. 【详解】由 得 ，注意到 在 上为增 函 数 且 ， 所 以 . 由 于 的 定 义 域 为 ， 所 以 由 得 . 所 以 由 得 ， 画 出 和 的 图 像 如 下 图 所 示 ， 其 中 由 图 可 知 的 最 大 值 即 为 .故选 C. 【点睛】本小题主要考查函数零点问题，考查指数方程和对数方程的解法，考查化归与转化 的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 二、填空题（每题 5 分，共 20 分） ( )1 12 ef x − = 1x 2 1 1 | |x ex ≤ ≤ 2x 2,e e   ( )2 1g x = ( ) 3y a x e= + − lny x= 2,e e   a ( )1 12 ef x − = 1 1 1 0x ee x e− + − − = ( ) 1x eh x e x e−= + − − R ( ) 0h e = 1x e= ( )g x ( )0, ∞+ 2 1 1 | |x ex ≤ ≤ 2 2e x e≤ ≤ ( )2 1g x = ( )2 2ln 3x a x e= + − ( )2lny x e x e= ≤ ≤ ( ) 3y a x e= + − ( ) ( )2,1 , ,2A e B e a ( ) ( ) 1 3 2 ACk e e e − −= =− − 13. __________。 【答案】 【解析】 根据积分的几何意义，原积分的值即为单元圆在第一象限的面积 则 14.在 中,角 的对边分别为 ，若 则 的面积 _______． 【答案】 【解析】 【分析】 利用正弦定理求得 ，利用同角三角函数的基本关系式求得 ，根据三角形面积公式求得 三角形面积. 【详解】由正弦定理得 ，由于 ，所以 ，所以 . 【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查三角形 面积公式，属于基础题. 15.已知 ，命题 ： ， ，命题 ： ， ， 若命题 为真命题，则实数 的取值范围是_____． 【答案】 或 【解析】 【分析】 1 2 0 1 x dx− =∫ 4 π 1 2 0 1 4x dx π− =∫ ABC∆ , ,A B C , ,a b c 12 sin 2sin cos 4c A C B= = =， ， ， ABC∆ S = 15 a sin B 2 4a c= = ( )0,πB∈ 2 15sin 1 cos 4B B= − = 1 152 4 152 4S = × × × = a∈R p [ ]1,2x∀ ∈ 2 0x a− ≥ q x∃ ∈R 2 2 2 0x ax a+ + − = p q∧ a 2a ≤ − 1a = 根据不等式恒成立化简命题 为 ，根据一元二次方程有解化简命题 为 或 ， 再根据且命题的性质可得结果. 【详解】若命题 ：“ ， ”为真； 则 ， 解得： ， 若命题 ：“ ， ”为真， 则 ， 解得： 或 ， 若命题“ ”是真命题，则 ，或 ， 故答案为： 或 【点睛】解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题 真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”. 16.已知函数 若存在互不相等实数 有 则 的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】 不妨设 ，根据二次函数对称性求得 的值.根据绝对值的定义求得 的 关系式，将 转化为 来表示，根据 的取值范围，求得 的取值范围. 【 详 解 】 不 妨 设 ， 画 出 函 数 图 像 如 下 图 所 示 . 二 次 函 数 的对称轴为 ，所以 .不妨设 ，则由 得 ， 得 ， 结 合 图 像 可 知 ， 解 得 的 p 1a ≤ q 2a ≤ − 1a ≥ p [ ]1,2x∀ ∈ 2 0x a− ≥ 1 0a− ≥ 1a ≤ q x∃ ∈R 2 2 2 0x ax a+ + − = ( )24 4 2 0a a∆ = − − ≥ 2a ≤ − 1a ≥ p q∧ 2a ≤ − 1a = 2a ≤ − 1a = ( ) 2 2 ln 0 2 1 0 x xf x x x x  += − − + ≤ ， ＞ ， ， a b c d、 、 、 ， ( ) ( ) ( ) ( )f a f b f c f d= = = ， + + +a b c d 3 4 1 1 12, 1e e e  + − −   , 0, , 0a b c d≤ > +a b ,c d d c c + + +a b c d , 0, , 0a b c d≤ > ( )f x 2 2 1y x x=− − + 1x = − 2a b+ = − c d< 2 ln 2 lnc d+ = + 2 ln 2 lnc d− − = + 4 4 , ecd e d c − −= = 1 2 ln 2c≤ + < ， 所 以 ， 由 于 在 上为减函数，故 . 【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查二次函数的图像，考查含有绝对值函 数的图像，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 三、解答题 17.已知 . （1）求 的最小值 ； （2）已知 为正数，且 ，求证 . 【答案】（1）3；（2）证明见解析. 【解析】 分析】 （1）利用绝对值不等式求得函数的最小值.（2）利用基本不等式，证得不等式成立. 【 ( 4 3,c e e− − ∈  (( )4 4 32 ,ea b c d c c e ec − − − + + + = − + + ∈  4 2 ey x x − = − + + ( 4 3,e e− −  4 3 4 1 1 12,2 1e e ec c e −  + − −+ + ∈ −  ( ) | 1| | 2 |f x x x= − + + ( )f x n , ,a b c 1 3abc n= 2 2 2( ) ( ) ( ) 12a b b c c a+ + + + + ≥ 【详解】（1）依题意 ，当且仅当 时 ， 取 得 最 小 值 ， 故 的 最 小 值 为 . （ 2 ） 由 （ 1 ） 知 ， ，当且仅当 时等号成立. 【点睛】本小题主要考查利用绝对值不等求得最小值，考查利用基本不等式证明不等式，属 于基础题. 18.设函数 ，其中 .已知 . （1）求 ； （2）将函数 的图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍（纵坐标不变），再将得到的 图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，求 在 上的最值. 【答案】（1） ；（2）最小值为 ，最大值 . 【解析】 【分析】 （1）利用辅助角公式化简 ，并利用 解方程，解方程求得 的值.（2）求得 图像变换后 的解析式，根据 的取值范围，结合三角函数值域的求法，求得 的最 大值和最小值. 【详解】（1）因为 . 由题设知 ，所以 ，故 ，又 ， 所以 . （2）由（1）得 .所以 . ， 所以当 ，即 时， 取得最小值 ， ( ) | 1| | 2 | |1 | | 2 | 1 2 3f x x x x x x x= − + + = − + + ≥ − + + = 0x = ( )f x 3 1abc = 2 2 2( ) ( ) ( )a b b c c a+ + + + + ( ) ( )2 2 22 2a b c ab ac bc= + + + + + 3 32 2 2 2 2 22 3 2 3 6 6 12a b c a b c≥ × + × = + = 1a b c= = = π π( ) sin( ) cos( )3 2f x x xω ω= − + − 0 3ω< < π( ) 03f = ω ( )y f x= 1 4 π 4 ( )y g x= ( )g x π π[ , ]3 6 − 1 2 3 2 − 3 ( )f x π 03f   =   ω ( )g x x ( )g x ( ) π π πsin cos 3sin3 2 6f x x x xω ω ω     = − + − = −           π 03f   =   π π π,3 6 k k Z ω − = ∈ 1 3 ,2 k k Zω = + ∈ 0 3ω< < 1 2 ω = ( ) 1 π3sin 2 6f x x = −   ( ) π3sin 2 3g x x = +   π π 2π2 ,3 3 3x  + ∈ −   π π2 3 3x + = − π 3x = − ( )g x 3 2 − 当 ，即 时， 取得最大值 . 【点睛】本小题主要考查辅助角公式，考查三角函数图像变换，考查三角函数的最值的求法. 19.已知函数 . （Ⅰ）当 时，求曲线 在点 处的切线方程； （Ⅱ）求函数 的极值. 【答案】(1) x＋y－2＝0；(2) 当 a≤0 时，函数 f(x)无极值；当 a＞0 时，函数 f(x)在 x＝a 处取得极小值 a－aln a 无极大 【解析】 解：函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－ . (1)当 a＝2 时，f(x)＝x－2ln x， f′(x)＝1－ (x>0)， 因而 f(1)＝1，f′(1)＝－1， 所以曲线 y＝f(x)在点 A(1，f(1))处的切线方程为 y－1＝－(x－1)，即 x＋y－2＝0. (2)由 f′(x)＝1－ ＝ ，x>0 知： ①当 a≤0 时，f′(x)>0，函数 f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数 f(x)无极值； ②当 a>0 时，由 f′(x)＝0，解得 x＝a， 又当 x∈(0，a)时，f′(x)<0； 当 x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0， 从而函数 f(x)在 x＝a 处取得极小值，且极小值为 f(a)＝a－aln a，无极大值． 综上，当 a≤0 时，函数 f(x)无极值； 当 a>0 时，函数 f(x)在 x＝a 处取得极小值 a－aln a，无极大值． 20.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立 极坐标系.已知直线 的极坐标方程为 ，曲线 的极坐标方程为 π π2 3 2x + = π 12x = ( )g x 3 ( ) ln ( )f x x a x a R= − ∈ 2a = y = ( )f x (1, (1))A f ( )f x a x 2 x a x x a x − x l sin cos 1ρ θ ρ θ− = C 2cos 2 sin ( 0)p pρ θ θ= > （1）设 是参数，若 ，求直线 的参数方程； （2）已知直线 与曲线 交于 两点，设 且 ,求实数 的值. 【答案】（1） (t 为参数)；（2） . 【解析】 【分析】 （1）先将直线 的极坐标方程转化为直角坐标方程，代入 ，求得 的值，由此 求得直线 的参数方程.（2）先求得曲线 的直角坐标方程，然后将直线 的参数方程代入曲 线 的直角坐标方程，结合 利用参数的几何意义列方程，解方程求得 的 值. 【 详 解 】（ 1 ） 由 得 直 线 ， 代 入 ， 求 得 ， 故 直 线 的 参 数 方 程 为 （ 为 参 数 ） . （ 2 ） 由 得 . 将 代 入 并 化 简 得 ， 所 以 ， 由 于 在 直 线 上 ， 由 得 ， 即 ，化简得 ，解得 （负根舍去）. 【点睛】本小题主要考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查直线参数方程及直线参数的 运用，属于中档题. t 22 2x t= − + l l C ,P Q ( 2, 1)M − − 2PQ MP MQ= p 22 2 21 2 x y  = − +  = − + 1 2 l 22 2x t= − + y l C l C 2PQ MP MQ= p sin cos 1ρ θ ρ θ− = : 1 0l x y− + = 22 2x t= − + 21 2y t= − + l 22 2 21 2 x t y t  = − +  = − + t 2cos 2 sin ( 0)pρ θ θ ρ= > 2 2x py= 22 2 21 2 x t y t  = − +  = − + ( )2 4 2 2 2 8 4 0t p t p− + + + = 1 2 1 24 2 2 2 , 8 4t t p t t p+ = + ⋅ = + ( 2, 1)M − − l 2PQ MP MQ= ( )2 1 2 1 2 1 24t t t t t t+ − = ( ) ( )2 4 2 2 2 5 8 4p p+ = + ( )( )2 2 1 0p p+ − = 1 2p = 21.在锐角 中，角 的对边分别为 ，中线 ，满足 . （1）求 ； （2）若 ，求 周长的取值范围. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）利用 ，两边平方后，代入 ，利用余弦定理求得 的值，进而求得 .（2）利用正弦定理进行转化，结合三角函数值域的求法， 求得 周长的取值范围. 【详解】（1）由于 是三角形 的中线，所以 ，两边平方并化简得 ， 将 代 入 上 式 得 ，故 ，所以 . （2）由正弦定理得 ，而 ，所以 的周长为 ，由于三角形 是锐角三角形，所以 ，所以 ， 所以 ，所以 ，也即三角形周长的取值范 围是 . 【点睛】本小题主要考查向量运算，考查余弦定理、正弦定理解三角形，考查辅助角公式， 考查三角函数值域的求法，属于中档题. 22.已知函数 ABC∆ , ,A B C , ,a b c AD m= 2 22 4a bc m+ = BAC∠ 3a = ABC∆ 3 π (3 3 3,9+  ( )1 2AD AB AC= +   2 22 4a bc m+ = cos BAC∠ BAC∠ ABC∆ AD ABC ( )1 2AD AB AC= +   ( )2 2 21 2 cos4m b c bc BAC= + + ∠ 2 22 4a bc m+ = 2 2 2 1 cos cos2 b c aBAC BACbc + −− ∠ = = ∠ 1cos 2BAC∠ = π 3BAC∠ = 2 3sin , 2 3sinb B c C= = 2π 3B C+ = ABC∆ 3 2 3sin 2 3sina b c B C+ + = + + 2π3 2 3sin 2 3sin 3B B = + + −   π6sin 36B = + +   ABC π π 6 2B< < π π 2π 3 3 3B< + < π 3sin ,16 2B   + ∈       (π6sin 3 3 3,96B  + + ∈ +    (3 3,9+  ( ) 3(2 1) xf x x e ax= + + （1）当 时，求函数 的单调区间； （2）若函数 的值域为 ，求 a 的取值范围． 【答案】（1）增区间是 ，单调减区间是 ；（2） 或 【解析】 【分析】 （1）利用导数求出 的单调区间以及 ， 时 的范围，即可得到函数 的单调区间； （2）先利用 有解求出 的大致范围，再证明在该范围内 即可。 【详解】（1）当 ， ，所以 ， 由于 ，可得 ． 当 时， ， 是减函数；当 时， ， 是增函数； 因为当 时， ；当 时， 所以函数 的单调增区间是 ，单调减区间是 （2）由题意知 必有解，即 有解， 所以 ，即直线 与曲线 有交 点． 则 ，令 得 和 ； 令 得 和 ． 所以 和 ， 为增函数； 和 ， 为减函 0a = ( )f x ( ) ( )h x f x= [ )0,+∞ 3 1, , ,2 2    −∞ − − +∞       3 1,2 2  − −   3a e − a 12 e− ( )f x ( ) 0f x < ( ) 0f x ≥ x ( )f x ( )=0f x a ( )f x → +∞ 0a = ( ) 3(2 1) xf x x e= + ( ) (6 9) xf x x e′ = + ( ) (6 9) 0xf x x e′ = + = 3 2x = − 3 2x < − ( ) 0f x′ < ( )f x 3 2x > − ( ) 0f x′ > ( )f x 2 1x < − ( ) 0f x < 2 1x ≥ − ( ) 0f x ≥ ( )f x 3 1, , ,2 2    −∞ − − +∞       3 1,2 2  − −   ( )=0f x ( ) 3(2 1) 0xf x x e ax= + + = (2 1)3(2 1) 0 3 x x a x ex e ax x ++ + = ⇒ − = 3 ay = ( ) (2 1) xx eg x x += 2 (2 1)( 1)( ) xx x eg x x ′ − += ( ) 0g x′ > ( , 1)x∈ −∞ − 1 ,2x  ∈ +∞   ( ) 0g x′ < ( 1,0)x∈ − 10, 2x  ∈   ( , 1)x∈ −∞ − 1 ,2x  ∈ +∞   ( )g x ( 1,0)x∈ − 10, 2x  ∈   ( )g x 数． ，当 时， 恒成立； 所以 时， ；当 时， ，所以 时， ； ，即 时， ， 的图像如图所示． 直线 与曲线 有交点，即 或 ，所以 或 ， 下证 ，先证 ，设 ，则 ， 当 时， ，函数 h（x）单调递减，当时 ， ，函数单调递增， 所以 ，即 ； 当 时，若 ， 因为 在 时的值域是 ，又因为函数 连续，所以： ； 当 时，若 ， 1( 1)g e − = ( , 1)x∈ −∞ − (2 1)( ) 0 xx eg x x += > ]( , 1x∈ −∞ − 1( ) 0,g x e  ∈   1 ,2x  ∈ − +∞   (2 1) 0x x + < ( 1,0)x∈ − 1( ) ,g x e  ∈ −∞   1 42g e  =   (0, )x∈ +∞ ( ) [4 , )g x e∈ +∞ ( )g x 3 ay = ( ) (2 1) xx eg x x += 1 3 a e −  43 a e−  3a e − a 12 e− ( )f x → +∞ 1xe x≥ + ( ) 1xh x e x= − − ( ) 1xh x e′ = − 0x < ( ) 0h x′ < 0x > ( ) 0h x′ > ( ) (0) 0h x h≥ = 1xe x≥ + 3a e − 0x ≥ 3 2 1 3 3 1 3 3x xf x x e ax e ax x ax x+ + ≥ + ≥ + + ≥ + ≥（ ）＝（ ） （ ） 3y x +＝ 0x ≥ [3 + ∞， ） ( )f x | [0|f x ∈ + ∞（ ） ， ） a 12 e− 0x ≤ ， 当 时， ， 时 ；所以 时 ， 又因为函数 连续，所以 ， 综上， 或 ． 【点睛】本题考查导数在函数研究中的应用，综合性强，属于中档题。 ( )( ) 3(2 1) 3(2 1) 12 6 2 3x x x xf x x e ax x e ex e e x e= + + + − = − + 0x ≤ 1 2xe e< < x → −∞ 0xe → x → −∞ f x → +∞（ ） f x（ ） | [0|f x ∈ + ∞（ ） ， ） 3a e − a 12 e−