2018届二轮复习选考系列：参数方程学案（全国通用）

2018届二轮复习选考系列：参数方程学案（全国通用）

参数方程 ‎【考点梳理】‎ ‎1．曲线的参数方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．‎ ‎2．参数方程与普通方程的互化 通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．‎ ‎3．常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹 普通方程 参数方程 直线 y－y0＝tan α(x－x0)‎ (t为参数)‎ 圆 x2＋y2＝r2‎ (θ为参数)‎ 椭圆 ＋＝1(a>b>0)‎ (φ为参数)‎ ‎【考点突破】‎ 考点一、参数方程与普通方程的互化 ‎【例1】已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎(1)求直线l和圆C的普通方程；‎ ‎(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．‎ ‎[解析] (1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，‎ 圆C的普通方程为x2＋y2＝16.‎ ‎(2)因为直线l与圆C有公共点，‎ 故圆C的圆心到直线l的距离d＝≤4，‎ 解得－2≤a≤2.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数．‎ ‎2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响，要保持同解变形．‎ ‎【对点训练】‎ 在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，求常数a的值.‎ ‎[解析] 直线l的普通方程为x－y－a＝0，‎ 椭圆C的普通方程为＋＝1，‎ 所以椭圆C的右顶点坐标为(3,0)，‎ 若直线l过椭圆的右顶点(3,0)，‎ 则3－0－a＝0，所以a＝3.‎ 考点二、参数方程的应用 ‎【例2】已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数). ‎ ‎(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；‎ ‎(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．‎ ‎[解析] (1)曲线C的参数方程为(θ为参数)．‎ 直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.‎ ‎(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离为d＝|4cos θ＋3sin θ－6|，‎ 则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝.‎ 当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.‎ 当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1.解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系 解决问题．‎ ‎2．对于形如(t为参数)，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题．‎ ‎【对点训练】‎ 在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(θ为参数)，直线l经过点P(1,2)，倾斜角α＝.‎ ‎(1)写出圆C的普通方程和直线l的参数方程；‎ ‎(2)设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值．‎ ‎[解析] (1)由消去θ，‎ 得圆C的普通方程为x2＋y2＝16.‎ 又直线l过点P(1,2)且倾斜角α＝，‎ 所以l的参数方程为即(t为参数).‎ ‎(2)把直线l的参数方程代入x2＋y2＝16，‎ 得2＋2＝16，t2＋(＋2)t－11＝0，‎ 所以t1t2＝－11，‎ 由参数方程的几何意义，|PA|·|PB|＝|t1t2|＝11.‎ 考点三、参数方程与极坐标方程的综合应用 ‎【例3】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.‎ ‎(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．‎ ‎[解析] (1)C1的普通方程为＋y2＝1，‎ 由于曲线C2的方程为ρsin＝2，‎ 所以ρsin θ＋ρcos θ＝4，‎ 因此曲线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.‎ ‎(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos α，sin α)．‎ 因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，‎ 又d(α)＝＝，‎ 当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1.参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．‎ ‎2．数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，可化繁为简．‎ ‎【对点训练】‎ 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sin θ－2cos θ.‎ ‎(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)若直线l与y轴的交点为P，直线l与曲线C的交点为A，B，求|PA||PB|的值．‎ ‎[解析] (1)直线l的普通方程为x－y＋3＝0，‎ ‎∵ρ2＝4ρsin θ－2ρcos θ，‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.‎ ‎(2)将直线l的参数方程(t为参数)代入曲线C：(x＋1)2＋(y－2)2＝5，得到t2＋2t－3＝0，‎ ‎∴t1t2＝－3，‎ ‎∴|PA||PB|＝|t1t2|＝3.‎