【数学】2019届一轮复习人教A版复数概念及运算学案

【数学】2019届一轮复习人教A版复数概念及运算学案

‎1. 【2017课标1，理3】设有下面四个命题 ‎：若复数满足，则；：若复数满足，则；‎ ‎：若复数满足，则；：若复数，则.‎ 其中的真命题为 A. B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【考点】复数的运算与性质.‎ ‎【名师点睛】分式形式的复数，分子分母同乘分母的共轭复数，化简成的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.‎ ‎2. 【2017山东，理2】已知,i是虚数单位，若，则a=‎ ‎（A）1或-1 （B） （C）- （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由得，所以，故选A.‎ ‎【考点】 1.复数的概念.2.复数的运算.‎ ‎【名师点睛】复数的共轭复数是，据此结合已知条件，求得的方程即可.‎ ‎3. 【2017课标3，理2】设复数 满足(1+i) =2i，则∣ ∣=‎ A． B． C． D．2‎ ‎【答案】C ‎【考点】 复数的模；复数的运算法则 ‎【名师点睛】共轭与模是复数的重要性质，注意运算性质有：‎ ‎(1) ；(2) ；‎ ‎(3) ；(4) ；‎ ‎(5) ；(6) .‎ 考点 了解A 掌握B 灵活运用C 复数的概念　　‎ B 复数的四则运算　　‎ B 复数的几何意义　　‎ A ‎1.利用复数与复平面内的点是一一对应关系，利用点所在的象限解题是近几年高考的热点．‎ ‎2.复数与从原点出发的向量是一一对应的关系，根据向量的几何意义，利用复数加法和减法的几何意义解题． ‎ ‎3.题型以选择题和填空题为主，属于基础题 ‎1．复数的有关概念 ‎(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数 的实部，b叫做复数 的虚部．(i为虚数单位)‎ ‎(2)分类：‎ 满足条件(a，b为实数)‎ 复数的分类 a＋bi为实数⇔b＝0‎ a＋bi为虚数⇔b≠0‎ a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0‎ ‎(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．‎ ‎(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．‎ ‎(5)模：向量的模叫做复数 ＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或| |，即| |＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．‎ ‎2．复数的几何意义 复数 ＝a＋bi与复平面内的点 (a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．‎ ‎3．复数的运算 ‎(1)运算法则：设 1＝a＋bi， 2＝c＋di，a，b，c，d∈R ‎(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．‎ 如图给出的平行四边形O 1 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－.‎ 题型一　复数的概念 典例1 (1)(2015·福建)若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于(　　)‎ A．3，－2 B．3,2‎ C．3，－3 D．－1,4‎ ‎(2)若 1＝(m2＋m＋1)＋ (m2＋m－4)i(m∈R)， 2＝3－2i，则“m＝1”是“ 1＝ 2”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎(3)(2016·天津)i是虚数单位，复数 满足(1＋i) ＝2，则 的实部为________．‎ ‎【答案】　(1)A　(2)A　(3)1‎ ‎【解析】　(1)∵(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i＝a＋bi，‎ ‎∴a＝3，b＝－2，故选A.‎ ‎(2)由解得m＝－2或m＝1，‎ 所以“m＝1”是“ 1＝ 2”的充分不必要条件．‎ ‎(3)∵(1＋i) ＝2，∴ ＝＝1－i，∴其实部为1. ‎ 引申探究 ‎1．将本例(1)中方程左边改为(1＋i)(2－3i)，求a，b的值．‎ ‎【答案】a＝5，b＝－1.‎ ‎【解析】　(1＋i)(2－3i)‎ ‎＝2＋3－i＝5－i＝a＋bi，‎ 所以a＝5，b＝－1.‎ ‎2．将本例(3)中的条件“(1＋i) ＝2”改为“(1＋i)3 ＝2”，求 的实部．‎ ‎【答案】－.‎ 解题技巧与方法总结 解决复数概念问题的方法及注意事项 ‎(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．‎ ‎(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．‎ ‎【变式训练】(1)已知a∈R，复数 1＝2＋ai， 2＝1－2i，若为纯虚数，则复数的虚部为(　　)‎ A．1 B．i C. D．0‎ ‎(2)已知复数 满足 2＝－4，若 的虚部大于0，则 ＝________.‎ ‎【答案】　(1)A　(2)2i ‎【解析】　(1)由＝＝＝＋i是纯虚数，得a＝1，此时＝i，其虚部为1.‎ ‎(2)设 ＝a＋bi(a，b∈R，b>0)，‎ 则 2＝a2－b2＋2abi＝－4，‎ 因此a＝0，－b2＝－4，b＝±2，‎ 又b>0，∴b＝2，∴ ＝2i.‎ 题型二　复数的运算 典例2 (1)(2016·四川)设i为虚数单位，则复数(1＋i)2等于(　　)‎ A．0 B．2 C．2i D．2＋2i ‎(2)(2016·全国乙卷)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|等于(　　)‎ A．1 B. C. D．2‎ ‎(3)(2015·课标全国Ⅱ)若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a等于(　　)‎ A．－1 B．0 C．1 D．2‎ ‎【答案】　(1)C　(2)B　(3)B 命题点2　复数的除法运算 例3　(1)(2016·全国丙卷)若 ＝1＋2i，则等于(　　)‎ A．1 B．－1 C．i D．－i ‎(2)(2016·北京)复数等于(　　)‎ A．i B．1＋i C．－i D．1－i ‎(3)()6＋＝________.‎ ‎【答案】　(1)C　(2)A　(3)－1＋i ‎【解析】　(1) ＝1＋2i， ＝5，＝i.‎ ‎(2)＝＝＝i.‎ ‎(3)原式＝[]6＋ ‎＝i6＋＝－1＋i.‎ 命题点3　复数的综合运算 例4　(1)(2016·山东)若复数 满足2 ＋＝3－2i，其中i为虚数单位，则 等于(　　)‎ A．1＋2i B．1－2i C．－1＋2i D．－1－2i ‎(2)(2016·全国丙卷)若 ＝4＋3i，则等于(　　)‎ A．1 B．－1‎ C．＋i D．－i ‎(3)若复数 满足(3－4i) ＝|4＋3i|，则 的虚部为(　　)‎ A．－4 B．－ C．4 D. ‎【答案】　(1)B　(2)D　(3)D 解题技巧与方法总结 复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略 ‎(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．‎ ‎(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式. ‎ ‎(3)复数的运算与复数概念的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合相关定义解答．‎ ‎(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合复数的几何意义解答．‎ ‎(5)复数的综合运算．分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的．‎ ‎【变式训练】　(1)(2015·山东)若复数 满足＝i，其中i为虚数单位，则 等于(　　)‎ A．1－i B．1＋i C．－1－i D．－1＋i ‎(2)2 017＝________.‎ ‎(3)＋2 017＝________.‎ ‎【答案】　(1)A　(2)i　(3)＋(＋1)i 题型三　复数的几何意义 典例5　(1)△ABC的三个顶点对应的复数分别为 1， 2， 3，若复数 满足| － 1|＝| － 2|＝| － 3|，则 对应的点为△ABC的(　　)‎ A．内心 B．垂心 C．重心 D．外心 ‎【答案】　D ‎【解析】　由几何意义知，复数 对应的点到△ABC三个顶点距离都相等， 对应的点是△ABC的外心．‎ ‎(2)如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i，试求：‎ ‎①、所表示的复数；‎ ‎②对角线所表示的复数；‎ ‎③B点对应的复数．‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】　①＝－，∴所表示的复数为－3－2i.‎ ‎∵＝，∴所表示的复数为－3－2i.‎ ‎②＝－，∴所表示的复数为 ‎(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.‎ ‎③＝＋＝＋，‎ ‎∴所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，‎ 即B点对应的复数为1＋6i. ‎ 解题技巧与方法总结 因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可．‎ ‎【变式训练】　已知 是复数， ＋2i，均为实数(i为虚数单位)，且复数( ＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】(2,6)‎ ‎ ‎ ‎1．（江西省吉安市新干县第二中学2018届高三上学期第一次月考）设为虚数单位，复数，则的共轭复数在复平面中对应的点在（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】复数，则的共轭平面复数在复平面中对应的点在第四象限，故选D.‎ ‎2．（广东省茂名市2018届高三五大联盟学校9月份联考）已知，为虚数单位，，则( )‎ A. 9 B. C. 24 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为 ，所以，则，应选答案A。‎ ‎3．（广东省珠海一中等六校2018届高三第一次联考）欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎ ‎ ‎4. （湖北省武汉市2017-2018学年度部分学校新高三起点调研）设，其中是实数，则在复平面内所对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】由，其中是实数，得：，所以 在复平面内所对应的点位于第四象限.‎ 本题选择D选项.‎ ‎5. （辽宁省庄河市高级中学2018届高三上学期开学考试），则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知有，所以，选A.‎ ‎6. （超级全能生”2018届高考全国卷26省9月联考）已知是虚数单位，复数，则的虚部为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可得，选C.‎ ‎7. （辽宁省沈阳市东北育才学校2018届高三上学期第一次模拟）已知， 为虚数单位，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ，则,选D.‎ ‎8. （贵州省贵阳市第一中学、凯里市第一中学2017届高三下学期高考适应性月考）已知在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为 ‎9、（贵州省贵阳市第一中学、凯里市第一中学2017届高三下学期高考适应性月考）设，则（ ）‎ A. B. 1 C. 2 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵，∴，故选D．‎ ‎10、（山东师范大学附属中学2016-2017学年高二下学期期中）为虚数单位， ，则=（ ）‎ A. 1 B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎ ‎