上海教育高中数学二下两条直线位置关系

上海教育高中数学二下两条直线位置关系

‎11.3（3）两直线位置关系及其夹角公式的运用 ‎ 上海市控江中学王蕙萱 教学目标设计 能正确使用夹角公式求两条直线的夹角.进一步理解运用平行、垂直、夹角等概念求直线方程的一般方法. 会综合运用两条直线的位置关系以及夹角公式解决有关问题.‎ 教学重点及难点 综合运用两条直线的位置关系以及夹角公式解决有关问题.‎ 教学用具准备 多媒体设备 教学过程设计 ‎ 例1．(1)求经过点且与直线平行的直线方程;[‎ ‎ (2) 求过点，且与直线垂直的直线的方程.‎ 解：(1)已知直线的斜率，∵两直线平行，∴所求直线的斜率也为，‎ 所以，所求直线的方程为：，即．‎ 另解：设与直线平行的直线的方程为：，‎ 过点，∴，解之得，‎ 所以，所求直线的方程为．‎ ‎(2) 已知直线的斜率为，直线与已知直线垂直，∴的斜率为，‎ 所以，所求直线的方程为，即．‎ 另解：设与直线垂直的直线方程为，‎ ‎∵直线经过点，∴，∴，‎ 所以，所求直线的方程为 ‎[说明] 一般地①与直线平行的直线方程可设为，其中 待定；②与直线垂直的直线的方程可设为，其中待定.‎ 例2. （如右图）等腰三角形的一个腰所在直线的方程是，底边所在直线的方程是，点在另一腰上，求这条腰所在直线的方程 解：设的方程为（其中为一法向量，不同时为零），与的夹角是，与的夹角是 ，由夹角公式得,‎ 又、、所围成的三角形是等腰三角形，所以,‎ 即 舍去(否则与直线重合), ∴的方程是：.‎ ‎[说明]①本题是夹角公式与平几知识的综合,采用待定系数法求直线方程;②作为几何综合题,一般需要先从其几何特点入手,找出所求的量与已知量之间的联系,再把几何问题转化为方程来解决；③本题也可以设的方程为，再分类求解.‎ 例3、是否存在实数，使直线与直线分别有如下的位置关系: (1)平行; (2)重合; (3)相交; (4)垂直; (5)相交,且交点在第二象限.若存在求出的值；若不存在，说明理由.‎ 解：联立方程组，‎ 由;由;由.‎ ‎(1) 时,两直线平行;‎ ‎(2)时,重合;‎ ‎(3)时,相交;‎ ‎(4)由时,垂直;‎ ‎(5)交点坐标为,显然不存在实数,使交点在第二象限.‎ 例4、已知直线满足性质:如果任意一点在直线上，那么点也在直线上，求直线的方程.‎ 解:由已知,点和 都在直线上,‎ 而当时，，所以直线经过原点，且不能与坐标轴重合.因此可设直线的方程为： ①‎ 点仍在直线上，‎ 即 ②‎ 由题意,方程①与②表示的是同一条直线,所以,即,解得：‎ 所以直线的方程为.‎ ‎[说明] ①本题也可以设直线方程的一般式: ①, 点仍在直线上 ②.再由直线①与②重合,求得系数；‎ ‎②例题4，有一定难度，可以根据学生实际情况选用.‎ 课堂小结 ‎1．通过两直线的位置关系以及夹角有关知识的综合应用，深化对知识以及思想方法的理解，进一步巩固所学的知识．‎ ‎2．进一步体会分类讨论、数形结合等数学思想方法，这些方法将会贯穿整个高中的数学学习. ‎ 作业布置 书面作业：习题11.3 B组 ----1,2,3,4,5‎ 补充练习：1．过原点作直线的垂线，若垂足为，则直线的方程是 ；答：‎ ‎2．已知直线与直线垂直，垂足为，则的值为 ．答：； ‎ ‎3．求与直线平行，且在两坐标轴上的截距之和为的直线的方程.答：‎ ‎4．已知直线的方程为，求直线的方程，使与垂直且与坐标轴围成的三角形面积为．‎ 解 设直线的方程为，令，得，令，得，‎ 由题意：，即，，‎ 所以，所求直线的方程为．‎ ‎5.直线过点且与直线和分别交于点，若恰为线段的中点，求直线的方程. ‎ 解 设点，由中点公式，得，又点分别在、上，列方程组，解，为所求.‎ ‎6. 已知三角形的顶点,边的中线所在的直线方程为，的平分线所在直线的方程为，求边所在直线的方程.‎ 解 设点，则的中点，由点在其角平分线上，中点在边的中线上，列出关于的方程组，解得：，‎ 从而得直线， 由题意，边所在直线的斜率存在，‎ 设，根据夹角公式，得其中舍去（否则与重合），所以边所在直线的方程为.‎ ‎[说明]补充练习仅供课外巩固练习选用.‎ 教学设计说明 直线是学生比较熟悉的曲线，初中平面几何对直线的位置关系作了比较系统的研究，因此本节课的重点确定为用解析法研究两直线的位置关系以及夹角的求法.为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下的措施：‎ ‎ 一、新课引入——以旧带新，提出课题 帮助学生再现原有的认知结构，在“最近发展区”创设问题情景，使学生对本节课的主题有一个直观的印象，寻找新知生长点，激发学生的探究心理，顺利引入课题.‎ 二、概念形成——实例分析，探究，概括形成一般规律 通过对实例的解答，图像的观察，抽象、概括出一般规律，这种运用数形结合的思想，由特殊到一般的探索过程，符合学生认知习惯，有利于培养学生抽象、概括的能力.‎ 要启动学生的思维，就要有一个明确的可供思考的问题，使学生的思维有明确的指向.因此，在上述探究的基础上，提出问题：两条直线的位置关系与方程组的解之间有怎样的对应关系呢？这个问题是本节课的中心议题，应引导全班学生积极思维，让多一点学生发表意见，形成“高潮”.‎ 三、巩固和应用阶段 数学概念是要在运用中不断领悟，通过运用与练习，可以纠正错误的认识，促使对概念的正确理解，通过设计不同层次的问题，满足学生多层次需要，起到评价反馈的作用.‎ ‎1、初步应用、突出内涵 这里安排例1、例2都是公式的“初步应用”，目的也在于帮助学生正确运用所学的基本知识，强调运用公式的前提条件，规范解题过程.‎ ‎2、变式应用，提升能力 设计例题时，注意学习过程的循序渐进，按照先易后难的顺序层层递进，让学生感到有挑战、有收获，跳一跳，够得着.例3，例4，目的是在解决问题的方法上进行适当的延展，使得学生对概念的认识不断深入.‎ 通过对具体例题的讲解分析，在解题的步骤上和方法上为学生起示范作用，并及时归纳总结，培养学生分析、思考的习惯，以及归纳总结的能力 在本节的设计中，力图使学生初步理解并能应用所学的知识，引领学生掌握研究这类问题的一般思路和方法，从而达到培养学生学习能力的目的.根据自己对“问题驱动”教学模式的认识，在教学的每一个环节均设计了问题.以问题为纽带，以探究活动为载体，使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入，使难点的突破水到渠成.‎