【数学】2020届江苏一轮复习通用版21-2条件概率及相互独立事件、n次独立重复试验模型及二项分布作业

【数学】2020届江苏一轮复习通用版21-2条件概率及相互独立事件、n次独立重复试验模型及二项分布作业

‎21.2　条件概率及相互独立事件、n次独立重复试验模型及二项分布 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 条件概率及相互独立事件 ‎1.条件概率 ‎2.求相互独立事件的概率 ‎★★☆‎ n次独立重复试验模型及二项分布 ‎1.n次独立重复试验模型 ‎2.二项分布的求解 分析解读　　本节作为江苏的选考内容在江苏高考中是间或出现的,通常与随机变量及其分布列、超几何分布结合在一起考查,难度一般中等.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点一　条件概率及相互独立事件 ‎1.(2019届江苏连云港赣榆中学月考)根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立.‎ ‎(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率;‎ ‎(2)求该地3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.‎ 解析　记A表示事件:“该地的1位车主购买甲种保险”;‎ B表示事件:“该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险”;‎ C表示事件:“该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种”;‎ D表示事件:“该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买”;‎ E表示事件:“该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买”,则 ‎(1)P(A)=0.5,P(B)=0.3,C=A+B,‎ P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8.‎ ‎(2)D=C,P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2,‎ P(E)=C‎3‎‎2‎×0.2×0.82=0.384.‎ ‎2.(2018江苏淮安清江中学月考)有甲、乙、丙、丁四名网球运动员,通过对过去战绩的统计,在一场比赛中,甲对乙、丙、丁取胜的概率分别为0.6,0.8,0.9.‎ ‎(1)若甲和乙之间进行三场比赛,求甲恰好胜两场的概率;‎ ‎(2)若四名运动员每两人之间进行一场比赛,求甲恰好胜两场的概率.‎ 解析　(1)甲和乙之间进行三场比赛,甲恰好胜两场的概率P=C‎3‎‎2‎×0.62×0.4=0.432.‎ ‎(2)记“甲胜乙”“甲胜丙”“甲胜丁”三个事件分别为A,B,C,则P(A)=0.6,P(B)=0.8,P(C)=0.9.‎ 则四名运动员每两人之间进行一场比赛,甲恰好胜两场的概率P(ABC+ABC+ABC)=P(A)P(B)(1-P(C))+P(A)(1-P(B))P(C)+(1-P(A))P(B)P(C)=0.6×0.8×0.1+0.6×0.2×0.9+0.4×0.8×0.9=0.444.‎ 考点二　n次独立重复试验模型及二项分布 ‎1.(2018江苏苏州新区一中月考)在一次数学考试中,第21题和第22题为选做题.规定每位考生必须且只需在其中选做一题.设4名考生选做每一道题的概率均为‎1‎‎2‎.‎ ‎(1)求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率;‎ ‎(2)设这4名考生中选做第22题的学生个数为ξ,求ξ的概率分布列.‎ 解析　(1)记A表示事件“甲选做第21题”,B表示事件“乙选做第21题”,‎ 则“甲选做第22题”为A,“乙选做第22题”为B,则甲、乙两名学生选做同一道题为事件AB+A　B.‎ ‎∵事件A,B相互独立,∴A,B相互独立,‎ ‎∴P(AB+A　B)=P(AB)+P(A　B)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=‎1‎‎2‎×‎1‎‎2‎+‎1-‎‎1‎‎2‎×‎1-‎‎1‎‎2‎=‎1‎‎2‎.‎ ‎(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4,且ξ~B‎4,‎‎1‎‎2‎,‎ ‎∴P(ξ=k)=C‎4‎k‎1‎‎2‎k·‎1-‎‎1‎‎2‎‎4-k=C‎4‎k‎1‎‎2‎‎4‎(k=0,1,2,3,4),‎ ‎∴随机变量ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎1‎‎16‎ ‎1‎‎4‎ ‎3‎‎8‎ ‎1‎‎4‎ ‎1‎‎16‎ ‎2.(2019届江苏常州二中月考)某人向一目标射击4次,每次击中目标的概率为‎1‎‎3‎.该目标分为3个不同的部分,第一、二、三部分面积之比为1∶3∶6,击中目标时,击中任何一部分的概率与其面积成正比.‎ ‎(1)设X表示目标被击中的次数,求X的分布列;‎ ‎(2)若目标被击中2次,A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”,求P(A).‎ 解析　(1)依题意知X~B‎4,‎‎1‎‎3‎,‎ P(X=0)=C‎4‎‎0‎‎1‎‎3‎‎0‎‎1-‎‎1‎‎3‎‎4‎=‎16‎‎81‎,‎ P(X=1)=C‎4‎‎1‎‎1‎‎3‎‎1‎‎1-‎‎1‎‎3‎‎3‎=‎32‎‎81‎,‎ P(X=2)=C‎4‎‎2‎‎1‎‎3‎‎2‎‎1-‎‎1‎‎3‎‎2‎=‎24‎‎81‎,‎ P(X=3)=C‎4‎‎3‎‎1‎‎3‎‎3‎‎1-‎‎1‎‎3‎‎1‎=‎8‎‎81‎,‎ P(X=4)=C‎4‎‎4‎‎1‎‎3‎‎4‎‎1-‎‎1‎‎3‎‎0‎=‎1‎‎81‎.‎ ‎∴X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎16‎‎81‎ ‎32‎‎81‎ ‎24‎‎81‎ ‎8‎‎81‎ ‎1‎‎81‎ ‎(2)设Ai表示事件“第一次击中目标时,击中第i部分”i=1,2.‎ Bi表示事件“第二次击中目标时,击中第i部分”,i=1,2.‎ 依题意知P(A1)=P(B1)=0.1,‎ P(A2)=P(B2)=0.3,‎ A=A1B‎1‎∪A‎1‎B1∪A1B1∪A2B2,‎ 所求的概率为 P(A)=P(A1B‎1‎)+P(A‎1‎B1)+P(A1B1)+P(A2B2)=P(A1)·P(B‎1‎)+P(A‎1‎)P(B1)+P(A1)P(B1)+P(A2)P(B2)=0.1×0.9+0.9×0.1+0.1×0.1+0.3×0.3=0.28.‎ 炼技法 ‎【方法集训】‎ 方法　独立重复试验及二项分布 ‎1.(2019届江苏常州一中周练)某公交公司对某线路客源情况统计显示,公交车从每个停靠点出发后,乘客人数及频率如下表:‎ 人数 ‎0~6‎ ‎7~12‎ ‎13~18‎ ‎19~24‎ ‎25~30‎ ‎31人及以上 频率 ‎0.10‎ ‎0.15‎ ‎0.25‎ ‎0.20‎ ‎0.20‎ ‎0.10‎ ‎(1)从每个停靠点出发后,乘客人数不超过24人的概率约是多少?‎ ‎(2)全线途经10个停靠点,若有2个以上(含2个)停靠点出发后乘客人数超过18人的概率大于0.9,公交公司就考虑在该线路增加一个班次,请问该线路需要增加班次吗?‎ 解析　(1)由题表知,乘客人数不超过24人的频率是0.10+0.15+0.25+0.20=0.70,‎ 则从每个停靠点出发后,乘客人数不超过24人的概率约是0.70.‎ ‎(2)由题表知,从每个停靠点出发后,乘客人数超过18人的概率约为‎1‎‎2‎,设途经10个停靠站,乘车人数超过18人的个数为X,‎ 则X~B‎10,‎‎1‎‎2‎,‎ ‎∴P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)‎ ‎=1-C‎10‎‎0‎‎1-‎‎1‎‎2‎‎10‎-C‎10‎‎1‎‎1‎‎2‎‎1‎×‎‎1-‎‎1‎‎2‎‎9‎ ‎=1-‎1‎‎2‎‎10‎-10×‎1‎‎2‎‎10‎=‎1 013‎‎1 024‎>0.9,‎ 故该线路需要增加班次.‎ ‎2.(2015湖南,18,12分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球.在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.‎ ‎(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;‎ ‎(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望.‎ 解析　(1)记事件A1={从甲箱中摸出的1个球是红球},‎ A2={从乙箱中摸出的1个球是红球},‎ B1={顾客抽奖1次获一等奖},‎ B2={顾客抽奖1次获二等奖},‎ C={顾客抽奖1次能获奖}.‎ 由题意,得A1与A2相互独立,A1A‎2‎与A‎1‎A2互斥,B1与B2互斥,且B1=A1A2,B2=A1A‎2‎+A‎1‎A2,C=B1+B2.‎ 因为P(A1)=‎4‎‎10‎=‎2‎‎5‎,P(A2)=‎5‎‎10‎=‎1‎‎2‎,‎ 所以P(B1)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=‎2‎‎5‎×‎1‎‎2‎=‎1‎‎5‎,‎ P(B2)=P(A1A‎2‎+A‎1‎A2)=P(A1A‎2‎)+P(A‎1‎A2)‎ ‎=P(A1)P(A‎2‎)+P(A‎1‎)P(A2)‎ ‎=P(A1)[1-P(A2)]+[1-P(A1)]P(A2)‎ ‎=‎2‎‎5‎×‎1-‎‎1‎‎2‎+‎1-‎‎2‎‎5‎×‎1‎‎2‎=‎1‎‎2‎.‎ 故所求概率为P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=‎1‎‎5‎+‎1‎‎2‎=‎7‎‎10‎.‎ ‎(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验,‎ 由(1)知,顾客抽奖1次获一等奖的概率为‎1‎‎5‎,所以X~B‎3,‎‎1‎‎5‎.‎ 于是P(X=0)=C‎3‎‎0‎‎1‎‎5‎‎0‎‎4‎‎5‎‎3‎=‎64‎‎125‎,‎ P(X=1)=C‎3‎‎1‎‎1‎‎5‎‎1‎‎4‎‎5‎‎2‎=‎48‎‎125‎,‎ P(X=2)=C‎3‎‎2‎‎1‎‎5‎‎2‎‎4‎‎5‎‎1‎=‎12‎‎125‎,‎ P(X=3)=C‎3‎‎3‎‎1‎‎5‎‎3‎‎4‎‎5‎‎0‎=‎1‎‎125‎.‎ 故X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎64‎‎125‎ ‎48‎‎125‎ ‎12‎‎125‎ ‎1‎‎125‎ X的数学期望为E(X)=3×‎1‎‎5‎=‎3‎‎5‎.‎ 过专题 ‎【五年高考】‎ 统一命题、省(区、市)卷题组 考点一　条件概率及相互独立事件 ‎1.(2015课标Ⅰ改编,4,5分)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为　　　　. ‎ 答案　0.648‎ ‎2.(2014山东,18,12分)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分,如图,甲上有两个不相交的区域A,B,乙被划分为两个不相交的区域C,D,某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定:回球一次,落点在C上记3分,在D上记1分,其他情况记0分.对落点在A上的来球,队员小明回球的落点在C上的概率为‎1‎‎2‎,在D上的概率为‎1‎‎3‎;对落点在B上的来球,小明回球的落点在C上的概率为‎1‎‎5‎,在D上的概率为‎3‎‎5‎.假设共有两次来球且落在A,B上各一次,小明的两次回球互不影响.求:‎ ‎(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率;‎ ‎(2)两次回球结束后,小明得分之和ξ的分布列与数学期望.‎ 解析　(1)记Ai为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”(i=0,1,3),‎ 则P(A3)=‎1‎‎2‎,P(A1)=‎1‎‎3‎,P(A0)=1-‎1‎‎2‎-‎1‎‎3‎=‎1‎‎6‎;‎ 记Bi为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为i分”(i=0,1,3),‎ 则P(B3)=‎1‎‎5‎,P(B1)=‎3‎‎5‎,P(B0)=1-‎1‎‎5‎-‎3‎‎5‎=‎1‎‎5‎.‎ 记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”.‎ 由题意得,D=A3B0+A1B0+A0B1+A0B3,‎ 由事件的独立性和互斥性,得 P(D)=P(A3B0+A1B0+A0B1+A0B3)‎ ‎=P(A3B0)+P(A1B0)+P(A0B1)+P(A0B3)‎ ‎=P(A3)P(B0)+P(A1)P(B0)+P(A0)P(B1)+P(A0)P(B3)‎ ‎=‎1‎‎2‎×‎1‎‎5‎+‎1‎‎3‎×‎1‎‎5‎+‎1‎‎6‎×‎3‎‎5‎+‎1‎‎6‎×‎1‎‎5‎=‎3‎‎10‎,‎ 所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为‎3‎‎10‎.‎ ‎(2)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3,4,6,‎ 由事件的独立性和互斥性,得 P(ξ=0)=P(A0B0)=‎1‎‎6‎×‎1‎‎5‎=‎1‎‎30‎,‎ P(ξ=1)=P(A1B0+A0B1)=P(A1B0)+P(A0B1)=‎1‎‎3‎×‎1‎‎5‎+‎1‎‎6‎×‎3‎‎5‎=‎1‎‎6‎,‎ P(ξ=2)=P(A1B1)=‎1‎‎3‎×‎3‎‎5‎=‎1‎‎5‎,‎ P(ξ=3)=P(A3B0+A0B3)=P(A3B0)+P(A0B3)=‎1‎‎2‎×‎1‎‎5‎+‎1‎‎5‎×‎1‎‎6‎=‎2‎‎15‎,‎ P(ξ=4)=P(A3B1+A1B3)=P(A3B1)+P(A1B3)=‎1‎‎2‎×‎3‎‎5‎+‎1‎‎3‎×‎1‎‎5‎=‎11‎‎30‎,‎ P(ξ=6)=P(A3B3)=‎1‎‎2‎×‎1‎‎5‎=‎1‎‎10‎.‎ 可得随机变量ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎6‎ P ‎1‎‎30‎ ‎1‎‎6‎ ‎1‎‎5‎ ‎2‎‎15‎ ‎11‎‎30‎ ‎1‎‎10‎ 所以数学期望Eξ=0×‎1‎‎30‎+1×‎1‎‎6‎+2×‎1‎‎5‎+3×‎2‎‎15‎+4×‎11‎‎30‎+6×‎1‎‎10‎=‎91‎‎30‎.‎ ‎3.(2014大纲全国,20,12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4,各人是否需使用设备相互独立.‎ ‎(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;‎ ‎(2)X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望.‎ 解析　记Ai表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备,i=0,1,2,‎ B表示事件:甲需使用设备,‎ C表示事件:丁需使用设备,‎ D表示事件:同一工作日至少3人需使用设备.‎ ‎(1)D=A1·B·C+A2·B+A2·B·C,‎ P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(Ai)=C‎2‎i×0.52,i=0,1,2,(3分)‎ 所以P(D)=P(A1·B·C+A2·B+A2·B·C)‎ ‎=P(A1·B·C)+P(A2·B)+P(A2·B·C)‎ ‎=P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P(B)P(C)‎ ‎=0.31.(6分)‎ ‎(2)X的可能取值为0,1,2,3,4,则 P(X=0)=P(B·A0·C)‎ ‎=P(B)P(A0)P(C)=(1-0.6)×0.52×(1-0.4)=0.06,‎ P(X=1)=P(B·A0·C+B·A0·C+B·A1·C)‎ ‎=P(B)P(A0)P(C)+P(B)P(A0)P(C)+P(B)P(A1)P(C)‎ ‎=0.6×0.52×(1-0.4)+(1-0.6)×0.52×0.4+(1-0.6)×2×0.52×(1-0.4)=0.25,‎ P(X=4)=P(A2·B·C)=P(A2)P(B)P(C)=0.52×0.6×0.4=0.06,‎ P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25,‎ P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4)‎ ‎=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38,(10分)‎ 数学期望EX=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)+4×P(X=4)=0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2.(12分)‎ 考点二　n次独立重复试验模型及二项分布 ‎1.(2018课标全国Ⅲ理改编,8,5分)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(X=4)P2,∴甲俱乐部安排A1参加第一场,A2参加第二场,则以3∶0取胜的概率最大.‎ ‎(2)比赛场数X的所有可能取值为3,4,5,P(X=3)=‎5‎‎6‎×‎2‎‎3‎×‎2‎‎3‎+‎1‎‎6‎×‎1‎‎3‎×‎1‎‎3‎=‎7‎‎18‎,‎ P(X=4)=‎5‎‎6‎C‎2‎‎1‎×‎2‎‎3‎×‎1‎‎3‎×‎2‎‎3‎+‎1‎‎6‎×‎2‎‎3‎‎3‎+‎1‎‎6‎C‎2‎‎1‎×‎1‎‎3‎×‎2‎‎3‎×‎1‎‎3‎+‎5‎‎6‎×‎1‎‎3‎‎3‎=‎19‎‎54‎,‎ P(X=5)=1-P(X=3)-P(X=4)=‎7‎‎27‎,‎ ‎∴X的分布列为 X ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎7‎‎18‎ ‎19‎‎54‎ ‎7‎‎27‎ ‎∴E(X)=3×‎7‎‎18‎+4×‎19‎‎54‎+5×‎7‎‎27‎=‎209‎‎54‎.‎ ‎9.(2018江苏南通最后一卷)甲、乙两位同学参加数学建模比赛,在备选的5道题中,甲答对每道题的概率都是‎2‎‎3‎;乙能答对其中的3道题.甲、乙两人都从备选的5道中随机抽出3道题独立进行测试,规定至少答对2题才能获奖.‎ ‎(1)求甲答对的题数X的概率分布列和数学期望;‎ ‎(2)求甲、乙至少有一人获奖的概率.‎ 解析　(1)据题意,X的所有可能取值分别为0,1,2,3.‎ 因为甲答对其中每道题的概率都是‎2‎‎3‎,‎ 所以X~B‎3,‎‎2‎‎3‎,P(X=k)=C‎3‎k‎2‎‎3‎k‎1-‎‎2‎‎3‎‎3-k,k=0,1,2,3.‎ 所以X的概率分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎1‎‎27‎ ‎6‎‎27‎ ‎12‎‎27‎ ‎8‎‎27‎ X的数学期望E(X)=0×‎1‎‎27‎+1×‎6‎‎27‎+2×‎12‎‎27‎+3×‎8‎‎27‎=2.‎ 注:直接使用公式计算E(X)=3×‎2‎‎3‎=2也可以 ‎(2)记“甲获奖”为事件A,设乙答对的题数为Y,“乙获奖”为事件B.‎ P(A)=P(X=2)+P(X=3)=‎12‎‎27‎+‎8‎‎27‎=‎20‎‎27‎;‎ P(B)=P(Y=2)+P(Y=3)=C‎3‎‎2‎C‎2‎‎1‎C‎5‎‎3‎+C‎3‎‎3‎C‎2‎‎0‎C‎5‎‎3‎=‎7‎‎10‎.‎ 记“甲、乙至少有一人获奖”为事件M,则M为“甲、乙两人都未获奖”.‎ P(M)=1-P(M)=1-P(A　B)=1-P(A)P(B)=1-(1-P(A))·(1-P(B))=1-‎1-‎‎20‎‎27‎×‎1-‎‎7‎‎10‎=‎83‎‎90‎.‎ 答:甲、乙至少有一人获奖的概率为‎83‎‎90‎.‎