高考文科数学复习：夯基提能作业本 (24)

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第二节　同角三角函数基本关系式与诱导公式 A组　基础题组 ‎1.sin 210°cos 120°的值为(　　)‎ A.‎1‎‎4‎ B.-‎3‎‎4‎ C.-‎3‎‎2‎ D.‎‎3‎‎4‎ ‎2.若sin α=-‎5‎‎13‎,且α为第四象限角,则tan α的值等于(　　)‎ A.‎12‎‎5‎ B.-‎12‎‎5‎ C.‎5‎‎12‎ D.-‎‎5‎‎12‎ ‎3.(2016福建厦门质检)已知sin αcos α=‎1‎‎8‎,且‎5π‎4‎<α<‎3π‎2‎,则cos α-sin α的值为(　　)‎ A.-‎3‎‎2‎ B.‎3‎‎2‎ C.-‎3‎‎4‎ D.‎‎3‎‎4‎ ‎4.(2016课标全国Ⅲ,5,5分)若tan α=‎3‎‎4‎,则cos2α+2sin 2α=(　　)‎ A.‎64‎‎25‎ B.‎48‎‎25‎ C.1 D.‎‎16‎‎25‎ ‎5.已知函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),且f(4)=3,则f(2 015)的值为(　　)‎ A.-1 B.1 C.3 D.-3‎ ‎6.‎1-2sin40°cos40°‎cos40°-‎‎1-sin‎2‎50°‎=　　　　. ‎ ‎7.已知sin(π-α)=log8‎1‎‎4‎,且α∈‎-π‎2‎,0‎,则tan(2π-α)的值为　　　　. ‎ ‎8.已知α为锐角,且2tan(π-α)-3cosπ‎2‎‎+β+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)=1,则sin α的值是　　　　. ‎ ‎9.已知sin(3π+α)=2sin‎3π‎2‎‎+α,求下列各式的值:‎ ‎(1)sinα-4cosα‎5sinα+2cosα;‎ ‎(2)sin2α+2sin αcos α.‎ ‎10.已知sin(π-α)-cos(π+α)=‎2‎‎3‎π‎2‎‎<α<π,求下列各式的值.‎ ‎(1)sin α-cos α;‎ ‎(2)sin3π‎2‎‎-α+cos3π‎2‎‎+α.‎ B组　提升题组 ‎11.已知2tan α·sin α=3,-π‎2‎<α<0,则sin α=(　　)‎ A.‎3‎‎2‎ B.-‎3‎‎2‎ C.‎1‎‎2‎ D.-‎‎1‎‎2‎ ‎12.(2016江西鹰潭余江一中月考)已知角θ的顶点在坐标原点,始边与x轴正半轴重合,终边在直线3x-y=0上,则sin‎3π‎2‎‎+θ+2cos(π-θ)‎sinπ‎2‎‎-θ-sin(π-θ)‎等于(　　)‎ A.-‎3‎‎2‎ B.‎3‎‎2‎ C.0 D.‎‎2‎‎3‎ ‎13.若sinθ+cosθsinθ-cosθ=2,则sin(θ-5π)sin‎3π‎2‎‎-θ=　　　　. ‎ ‎14.已知f(x)=cos‎2‎(nπ+x)·sin‎2‎(nπ-x)‎cos‎2‎[(2n+1)π-x]‎(n∈Z).‎ ‎(1)化简f(x)的表达式;‎ ‎(2)求fπ‎2 010‎+f‎502π‎1 005‎的值.‎ ‎15.已知关于x的方程2x2-(‎3‎+1)x+m=0的两根分别是sin θ和cos θ,θ∈(0,2π),求:‎ ‎(1)sin‎2‎θsinθ-cosθ+cosθ‎1-tanθ的值;‎ ‎(2)m的值;‎ ‎(3)方程的两根及此时θ的值.‎ 答案全解全析 A组　基础题组 ‎1.A　sin 210°cos 120°=sin(180°+30°)cos(180°-60°)=-sin 30°(-cos 60°)=‎-‎‎1‎‎2‎×‎-‎‎1‎‎2‎=‎1‎‎4‎.‎ ‎2.D　解法一:因为α为第四象限角,‎ 故cos α=‎1-sin‎2‎α=‎1-‎‎-‎‎5‎‎13‎‎2‎=‎12‎‎13‎,‎ 所以tan α=sinαcosα=‎-‎‎5‎‎13‎‎12‎‎13‎=-‎5‎‎12‎.‎ 解法二:因为α是第四象限角,且sin α=-‎5‎‎13‎,‎ 所以可在α的终边上取一点P(12,-5),‎ 则tan α=yx=-‎5‎‎12‎.‎ ‎3.B　∵‎5π‎4‎<α<‎3π‎2‎,‎ ‎∴cos α<0,sin α<0,且|cos α|<|sin α|,‎ ‎∴cos α-sin α>0.‎ 又(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=1-2×‎1‎‎8‎=‎3‎‎4‎,‎ ‎∴cos α-sin α=‎3‎‎2‎.‎ ‎4.A　当tan α=‎3‎‎4‎时,原式=cos2α+4sin αcos α=cos‎2‎α+4sinαcosαsin‎2‎α+cos‎2‎α=‎1+4tanαtan‎2‎α+1‎=‎1+4×‎‎3‎‎4‎‎9‎‎16‎‎+1‎=‎64‎‎25‎,故选A.‎ ‎5.D　∵f(4)=asin(4π+α)+bcos(4π+β)‎ ‎=asin α+bcos β=3,‎ ‎∴f(2 015)=asin(2 015π+α)+bcos(2 015π+β)=asin(π+α)+bcos(π+β)‎ ‎=-(asin α+bcos β)=-3.‎ 即f(2 015)=-3.‎ ‎6.答案　1‎ 解析　原式=‎ sin‎2‎40°+cos‎2‎40°-2sin40°cos40°‎cos40°-cos50°‎ ‎=‎‎|sin40°-cos40°|‎sin50°-sin40°‎ ‎=‎‎|sin40°-sin50°|‎sin50°-sin40°‎ ‎=‎sin50°-sin40°‎sin50°-sin40°‎ ‎=1.‎ ‎7.答案　‎‎2‎‎5‎‎5‎ 解析　sin(π-α)=sin α=log8‎1‎‎4‎=-‎2‎‎3‎,‎ 因为α∈‎-π‎2‎,0‎,‎ 所以cos α=‎1-sin‎2‎α=‎5‎‎3‎,‎ 所以tan(2π-α)=tan(-α)=-tan α=-sinαcosα=‎2‎‎5‎‎5‎.‎ ‎8.答案　‎‎3‎‎10‎‎10‎ 解析　由已知可得-2tan α+3sin β+5=0,tan α-6sin β=1,解得tan α=3,又α为锐角,故sin α=‎3‎‎10‎‎10‎.‎ ‎9.解析　解法一:由sin(3π+α)=2sin‎3‎‎2‎π+α得tan α=2.‎ ‎(1)原式=tanα-4‎‎5tanα+2‎,把tan α=2代入得原式=‎2-4‎‎5×2+2‎=-‎1‎‎6‎.‎ ‎(2)原式=sin‎2‎α+2sinαcosαsin‎2‎α+cos‎2‎α=tan‎2‎α+2tanαtan‎2‎α+1‎,‎ 把tan α=2代入得原式=‎8‎‎5‎.‎ 解法二:由已知得sin α=2cos α.‎ ‎(1)原式=‎2cosα-4cosα‎5×2cosα+2cosα=-‎1‎‎6‎.‎ ‎(2)原式=sin‎2‎α+2sinαcosαsin‎2‎α+cos‎2‎α=sin‎2‎α+sin‎2‎αsin‎2‎α+‎1‎‎4‎sin‎2‎α=‎8‎‎5‎.‎ ‎10.解析　由sin(π-α)-cos(π+α)=‎2‎‎3‎,‎ 得sin α+cos α=‎2‎‎3‎.①‎ 将①两边平方,得1+2sin α·cos α=‎2‎‎9‎,‎ 故2sin α·cos α=-‎7‎‎9‎.‎ ‎∵π‎2‎<α<π,∴sin α>0,cos α<0.‎ ‎(1)(sin α-cos α)2=1-2sin α·cos α=1-‎-‎‎7‎‎9‎=‎16‎‎9‎,‎ ‎∴sin α-cos α=‎4‎‎3‎.‎ ‎(2)sin3π‎2‎‎-α+cos3π‎2‎‎+α=cos3α-sin3α ‎=(cos α-sin α)(cos2α+cos α·sin α+sin2α)‎ ‎=-‎4‎‎3‎×‎1-‎‎7‎‎18‎=-‎22‎‎27‎.‎ B组　提升题组 ‎11.B　因为2tan α·sin α=3,所以‎2sin‎2‎αcosα=3,所以2sin2α=3cos α,即2-2cos2α=3cos α,所以2cos2α+3cos α-2=0,解得cos α=‎1‎‎2‎或cos α=-2(舍去),又-π‎2‎<α<0,所以sin α=-‎3‎‎2‎.‎ ‎12.B　由题意得tan θ=3,‎ ‎∴sin‎3π‎2‎‎+θ+2cos(π-θ)‎sinπ‎2‎‎-θ-sin(π-θ)‎=‎-3cosθcosθ-sinθ=‎-3‎‎1-tanθ=‎3‎‎2‎.‎ ‎13.答案　‎‎3‎‎10‎ 解析　由sinθ+cosθsinθ-cosθ=2,得sin θ+cos θ=2(sin θ-cos θ),‎ 两边平方得1+2sin θcos θ=4(1-2sin θcos θ),‎ 故sin θcos θ=‎3‎‎10‎,‎ ‎∴sin(θ-5π)sin‎3π‎2‎‎-θ=sin θcos θ=‎3‎‎10‎.‎ ‎14.解析　(1)当n为偶数,即n=2k(k∈Z)时,‎ f(x)=cos‎2‎(2kπ+x)·sin‎2‎(2kπ-x)‎cos‎2‎[(2×2k+1)π-x]‎=cos‎2‎x·sin‎2‎(-x)‎cos‎2‎(π-x)‎=cos‎2‎x·(-sinx‎)‎‎2‎‎(-cosx‎)‎‎2‎=sin2x;‎ 当n为奇数,即n=2k+1(k∈Z)时,‎ f(x)=‎ cos‎2‎[(2k+1)π+x]·sin‎2‎[(2k+1)π-x]‎cos‎2‎{[2×(2k+1)+1]π-x}‎ ‎=‎cos‎2‎[2kπ+(π+x)]·sin‎2‎[2kπ+(π-x)]‎cos‎2‎[2×(2k+1)π+(π-x)]‎ ‎=‎cos‎2‎(π+x)·sin‎2‎(π-x)‎cos‎2‎(π-x)‎ ‎=‎(-cosx‎)‎‎2‎sin‎2‎x‎(-cosx‎)‎‎2‎=sin2x,‎ 综上, f(x)=sin2x.‎ ‎(2)由(1)得fπ‎2 010‎+f‎502π‎1 005‎ ‎=sin2π‎2 010‎+sin2‎‎1 004π‎2 010‎ ‎=sin2π‎2 010‎+sin2‎π‎2‎‎-‎π‎2 010‎ ‎=sin2π‎2 010‎+cos2π‎2 010‎=1.‎ ‎15.解析　(1)原式=sin‎2‎θsinθ-cosθ+‎cosθ‎1-‎sinθcosθ ‎=sin‎2‎θsinθ-cosθ+‎cos‎2‎θcosθ-sinθ ‎=sin‎2‎θ-cos‎2‎θsinθ-cosθ=sin θ+cos θ.‎ 由条件知sin θ+cos θ=‎3‎‎+1‎‎2‎.‎ ‎(2)由已知,得sin θ+cos θ=‎3‎‎+1‎‎2‎,sin θcos θ=m‎2‎,‎ 又由1+2sin θcos θ=(sin θ+cos θ)2,可得m=‎3‎‎2‎.‎ ‎(3)由sinθ+cosθ=‎3‎‎+1‎‎2‎,‎sinθcosθ=‎‎3‎‎4‎ 解得sinθ=‎3‎‎2‎,‎cosθ=‎‎1‎‎2‎或sinθ=‎1‎‎2‎,‎cosθ=‎3‎‎2‎.‎ 又θ∈(0,2π),故θ=π‎3‎或θ=π‎6‎.‎