【数学】2018届一轮复习人教A版考点43排列与组合学案

【数学】2018届一轮复习人教A版考点43排列与组合学案

典型高考数学试题解读与变式2018版 ‎ 考点43 排列与组合 一、 知识储备汇总与命题规律展望 1. 知识储备汇总:‎ （1） 两个原理：‎ ‎①分类计数原理（加法原理）：完成一件事有类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，…………，第类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法．.‎ ‎②分步计数原理（乘法原理）：完成一件事有个步骤，完成第1步有种不同的方法，完成第2步有种不同的方法，…………，完成第步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法．..‎ ‎（2）排列与排列数 ‎①排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．‎ ‎②排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A.‎ ‎③排列数公式 ：==.(，∈N ，且)．注:规定.[ : ]‎ ‎（3）组合与组合数 ‎①组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．‎ ‎②组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作C.‎ ‎③组合数公式 ：===(∈N ，，且).‎ 注:规定.学+ ‎ ‎④组合数的两个性质 ‎(1)= ; (2) +=.‎ 2. 命题规律展望：‎ 排列与组合是高考考查的热点和重点，主要考查利用分步计数原理、分类计数原理、排列组合的知识计算计数问题和古典概型的计算，题型为选择填空或解答题中利用排列组合知识求随机变量分布列，分值为5至12分，难度为基础题或中档题.‎ 二、题型与相关高考题解读 ‎1.两个定理应用 ‎1.1考题展示与解读 例1 (2016·全国甲卷)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(　　)‎ A．24 B．18 C．12 D．9‎ ‎【命题意图探究】本题主要考查利用两个原理计算计数问题，是基础题.‎ ‎【解题能力要求】分类整合思想、运算求解能力 ‎【方法技巧归纳】利用两个计数原理解决应用问题的一般思路:(1)弄清“完成一件事”是什么事;(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类;(3)弄清分步、分类的标准是什么;(4)利用两个计数原理求解；(5)对于分类计数原理，要重点抓住“类”字，应用时要注意“类”及“类”之间的独立性和并列性，对于分步计数原理，要重点抓住“步”字，应用时要注意“步”与“步”之间的相依性和连续性，对于稍复杂问题，常常结合相关知识混合使用两个计数原理．‎ ‎1.2【典型考题变式】‎ ‎【变式1：改编条件】将1,2,3，…，9这九个数字填在如图所示的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下增大，当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法有(　　)‎ A. 6种 B. 12种 C. 18种 D. 24种 ‎【答案】A ‎【解析】分为三个步骤：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎9[ :学| | ]‎ 第一步，数字1,2,9必须放在如图的位置，只有1种方法．第二步，数字5可以放在左下角或右上角两个位置，故数字5有2种方法．第三步，数字6如果和数字5相邻，则7,8有1种方法；数字6如果不和数字5相邻，则7,8有2种方法，故数字6,7,8共有3种方法．根据分步乘法计数原理，有1×2×3＝6(种)填写空格的方法，故选A.‎ ‎【变式2：改编结论】4 名学生被中大、华工、华师录取，若每所大学至少要录取1名，则共有不同的录取方法__________．‎ ‎【答案】36种 ‎【解析】先从名学生中任意选个人作为一组，方法 种；再把这一组和其它个人分配到所大学，方法有种，再根据分步计数原理可得不同的录取方法 种，故答案为种.‎ ‎【变式3：改编问法】在高校自主招生中，某学校获得5个推荐名额，其中清华大学2名，北京大学2名，浙江大学1名，并且清华大学和北京大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有（ ）‎ A. 36种 B. 24种 C. 22种 D. 20种 ‎【答案】B 2. 排列问题 ‎2.1考题展示与解读 例2【2016年高考四川理数】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 ‎（A）24 　（B）48 　（C）60 　（D）72‎ ‎【命题意图探究】本题主要考查利用分步计数原理及排列的知识计算计数问题，是基础题.‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为1、3、5中之一，其他位置共有随便排共种可能，所以其中奇数的个数为，故选D.‎ ‎【解题能力要求】运算求解能力 ‎【方法技巧归纳】解决排列问题的主要方法 ‎(1)解决“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先．不管是从元素考虑还是从位置考虑，都要贯彻到底，不能既考虑元素又考虑位置．‎ ‎(2)解决相邻问题的方法是“捆绑法”，即把相邻元素看做一个整体和其他元素一起排列，同时要注意捆绑元素的内部排列．‎ ‎(3)解决不相邻问题的方法是“插空法”，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中．‎ ‎(4)对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列．‎ ‎(5)若某些问题从正面考虑比较复杂，可从其反面入手，即采用“间接法”．‎ ‎2.2【典型考题变式】‎ ‎【变式1：改编条件】由1、2、3、4、5、6、7七个数字组成七位数，要求没有重复数字且6、7均不得排在首位与个位，1与6必须相邻，则这样的七位数的个数是（ ）‎ A. 300 B. 338 C. 600 D. 768‎ ‎【答案】D ‎【变式2：改编结论】生产过程中有4道工序，每道工序需要安排一人照看.现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两名工人中安排一人，第四道工序只能从甲、丙两名工人中安排一人，则不同的安排方案共有 （ ）‎ A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 72种 ‎【答案】B ‎【解析】第一道工序安排甲则第四道工序安排丙，从剩下4选两人照看剩下两道工序有 方案；第一道工序安排乙则第四道工序有两种方案，再从剩下4选两人照看剩下两道工序有 方案，因此共有，选B.‎ ‎【变式3：改编问法】某铁路所有车站共发行132种普通客票，则这段铁路共有车站数是（ ）‎ A. 8 B. 12 C. 16 D. 24‎ ‎【答案】B ‎【解析】设共有 个车站，在个车站中，每个车站之间都有2种车票，相当于从 个元素中拿出 个进行排列，共有 ， ，故选B.‎ 2. 组合问题 ‎3.1考题展示与解读 例3 【2017浙江，16】从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有______中不同的选法．（用数字作答）‎ ‎【解题能力要求】本题主要考查分类计数原理及利用组合知识计算计数问题，是中档题.‎ ‎【答案】660‎ ‎【解析】由题意可得：总的选择方法为种方法，其中不满足题意的选法有种方法，则满足题意的选法有：种．‎ ‎【解题能力要求】运算求解能力，正难则反思想 ‎【方法技巧归纳】组合问题解题思路：‎ （1） 分清问题是否为组合问题；学+ ‎ (2) 对较复杂的组合问题，要搞清是“分类”还是“分步”，一般是先整体分类，然后局部分步，将复杂问题通过两个计数原理化归为简单问题;‎ （2） 分组问题：①若各组元素个数均不相同，则逐组抽取；②若其中有若干组元素个数相同，则逐组选取，因元素个数相同，所以组间无差别，故除以元素个数相同组数的全排列以消序；‎ ‎（4）组合问题的限制条件主要体现在取出元素中“含”或“不含”某些元素，或者“至少”或“最多”含有几个元素：①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型．“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．②“至少”或“最多”含有几个元素的题型．考虑逆向思维，用间接法处理 ‎3.2【典型考题变式】‎ ‎【变式1：改编条件】【广东省中山市第一中学2018届月考】有6 名学生，其中有3 名会唱歌，2 名会跳舞，1名既会唱歌又会跳舞，现从中选出2 名会唱歌的，1名会跳舞的，去参加文艺演出，求所有不同的选法种数为( )‎ A. 18 B. 15 C. 16 D. 25‎ ‎【答案】B ‎【解析】名会唱歌的从中选出两个有种, 名会跳舞的选出名有种选法,但其中一名既会唱歌又会跳舞的有一个,两组不能同时用他, 共有种，故选B.‎ ‎【变式2：改编结论】在一个圆周上有10个点，任取3个点作为顶点作三角形，一共可以作__________个三角形（用数字作答）．‎ ‎【答案】120‎ ‎【解析】由于圆周上的任意三点不共线，所以任取3点方法数为，填120.‎ ‎【变式3：改编问法】省中医院5月1号至5月3号拟安排6位医生值班，要求每人值班1天，每天安排2人．若6位医生中的甲不能值2号，乙不能值3号，则不同的安排值班的方法共有__________种．‎ ‎【答案】42;‎ ‎【解析】分两类(1) 甲、乙同一天值班，则只能排在1号，有种排法；(2) 甲、乙不在同一天值班，有种排法，故共有42 种方法．‎ 2. 排列组合综合问题 ‎4.1考题展示与解读 例4 【2017课标II，理6】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）‎ A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 ‎【命题意图探究】本题主要考查利用分步计数原理及排列组合知识计算计数问题，是基础题. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有种方法，然后进行全排列即可，由乘法原理，不同的安排方式共有种方法。 故选D。‎ ‎【解题能力要求】运算求解能力，应用意识 ‎【方法技巧归纳】排列、组合的混合题推理是从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上的问题．其基本的解题步骤为：‎ 第一步：选，根据要求先选出符合要求的元素．‎ 第二步：排，把选出的元素按照要求进行排列．‎ 第三步：乘，根据分步乘法计数原理求解不同的排列种数，得到结果．‎ ‎4.2【典型考题变式】‎ ‎【变式1：改编条件】从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四 竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为 A. 48 B. 72 C. 90 D. 96‎ ‎【答案】D ‎【变式2：改编结论】‎ 某校的A、B、C、D四位同学准备从三门选修课中各选一门，若要求每门选修课至少有一人选修，且A,B不选修同一门课，则不同的选法有（ ）‎ A. 36种 B. 72种 C. 30种 D. 66种 ‎【答案】C ‎【解析】先从4人中选出2人作为1个整体有种选法，减去在同一组还有5种选法，再选3门课程有种选法，利用分步计数原理有种不同选法.选C.‎ ‎【变式3：改编问法】在高校自主招生中，某学校获得5个推荐名额，其中中山大学2名，暨南大学2名，华南师范大学1名，并且暨南大学和中山大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个A. 36 B. 24 C. 22 D. 20‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可分成两类:第一类是将3个男生每个大学各推荐1人,共有种推荐方法;第二类是将3个男生分成两组分别推荐给暨南大学和中山大学,其余2个女生从剩下的大学中选,共有种推荐方法，故共有12+12=24种推荐方法，故选择B.‎ 三、 课本试题探 ‎ 选修2-3 P28页习题1.2 B第3题：从1,3,5,7,9中任取3个数，从2,4,6,8中任取2个数，一共可以组成多少个没有重复数字的五位数？‎ 四．典例高考试题演练 ‎1.（2018届河南三门峡市阶段考）名成人带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法种数有（ ）‎ A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 ‎【答案】A ‎【解析】首先5名大人先排队，共有种，然后把两个小孩插进中间的4个空中，共有种排法，根据乘法原理，共有种，故选A.学 ‎ ‎2.【广东省德庆县香山中学2018届第一次模拟】从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有( )种.‎ A. 36 B. 30 C. 12 D. 6‎ ‎【答案】A ‎【解析】从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，因为先从其余3人中选出1人担任文艺委员，再从4人中选2人担任学习委员和体育委员，所以不同的选法共有种，故选A.‎ ‎3.【福建省2018届高三基地校总复习综合卷数学试题】将甲，乙等位同学分别保送到北京大学，清华大学，浙江大学等三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为（ ）‎ A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 ‎【答案】A ‎【解析】先将个人分成三组, 或,分组方法有中,再将三组全排列有种,故总的方法数有种.选A.‎ ‎4.【山东省寿光现代中学2018届开学考】在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有 （ ） ‎ A. 34种 B. 48种 C. 96种 D. 144种 ‎【答案】C ‎【解析】先安排A两种方法，再安排BC，有种方法，剩下全排列，所以共有 ，选C.‎ ‎5.【浙江省临海市白云高级中学2018届第二次月考】2个男生和4个女生排成一排，其中男生既不相邻也不排两端的不同排法有( )‎ A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 ‎【答案】A ‎6.【2018届广东省东莞市阶段考】将甲、乙、丙、丁四名学生分配到三个不同的班，每个班至少一名，则不同分法的种数为（ ）‎ A. 18 B. 24 C. 36 D. 72‎ ‎【答案】C ‎【解析】先不考虑甲、乙同班的情况，将4人分成三组有C 4 2 ＝6(种)方法，再将三组同学分配到三个班级有A 3 3 ＝6(种)分配方法，依据分步计数原理可得不同分配方法有种，应选答案C。‎ ‎7.【2018届河南南阳一中第二次月考】安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）‎ A. 90种 B. 150种 C. 180种 D. 300种 ‎【答案】B ‎【解析】按每个人工作的项目数，分两种情况：（1）1+1+3,所以先选分组，再排列，（2）2+2+1，先分组，为均分组，再排列， ，总方法数150,选B.‎ ‎8.【河北省廊坊市省级示范高中联合体2018届开学测】某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远地区支教（每地至少1人），其中甲和乙一定不同地，甲和丙必须同地，则不同的选派方案共有（ ）种 A. 27 B. 36 C. 33 D. 30‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为甲和丙同地，甲和乙不同地，所以有2、2、1和3、1、1两种分配方案，2、2、1方案：甲、丙为一组，从余下3人选出2人组成一组，然后排列，共有： 种；3、1、1方案：在丁、戊中选出1人，与甲丙组成一组，然后排列，共有： 种；所以，选派方案共有18+12=30种，故选D.‎ ‎9.【2018届广东省揭阳市第三中学第二次月考】身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（ ）‎ A. 24种 B. 28种 C. 36种 D. 48种 ‎【答案】D ‎10.【重庆市巴蜀中学2018届高三9月高考适应月考】将某商场某区域的行走路线图抽象为一个的长方体框架（如图），小红欲从处行走至处，则小红行走路程最近且任何两次向上行走都不连续的路线共有（ ）‎ A. 360种 B. 210种 C. 60种 D. 30种 ‎【答案】C ‎【解析】根据题意，最近路线，那就是不能走回头路，不能走重复的路；‎ 所以一共要走3次向上，2次向右，2次向前，一共7次；因为不能连续向上,所以先把不向上的次数排列起 ,也就是2次向左和2次向前全排列，因为2次向左是没有顺序的,所以还要除以，同理2次向前是没有顺序的,再除以，接下 ,就是把3次向上插到4次不向上之间的空当中5个位置排三个元素,也就是，则共有种；故选C.‎ ‎11.【山东师大附中2018届第一次月考】如图，小王从街道的A处到达B处，可选择的最短路线的条数为_______________.‎ ‎【答案】56‎ ‎【解析】∵从A到B的最短路线，均需走8步，包括横向的5步和纵向的3步，只要确定第1，2…8步哪些是横向的，哪些是纵向的就可以，实际只要确定哪几步是横向走。∴每一条从A到B的最短路线对应着从第1,2…8步取出5步(横向走)的一个组合，∴从A到B的最短路线共有 条。‎ ‎12.【河北衡水中学2017届高三上学期五调，15】在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为__________.学 ！ ‎ ‎【答案】 ‎ ‎13.【西北工业大学附属中学2017届七模】元宵节灯展后，如图悬挂有9盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，共有__________种不同取法．（用数字作答）‎ ‎【答案】1680‎ ‎【解析】 ‎ ‎14.【西北工业大学附属中学2017届六模】用数字1，2，3组成的五位数中，数字1，2，3均出现的五位数共有__________个（用数字作答）.‎ ‎【答案】150‎ ‎【解析】使用排除法，首先计算全部的情况数目，共3×3×3×3×3=243种，其中包含数字全部相同即只有1个数字的3种，还有只含有2个数字的有： ⋅(2×2×2×2×2−2)=90种；故1、2、3都至少出现一次，即含有3个数字的有243−3−90=150种。 ‎ ‎15.【2018届山东省寿光现代中学第1次月考】将4名新 的同学分配到三个班级中，每个班级至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到班，那么不同的分配方案有__________． ‎ ‎【答案】24种