【数学】2020届一轮复习人教A版不等式学案

【数学】2020届一轮复习人教A版不等式学案

高考冲刺：不等式 ‎ ‎ ‎【高考展望】‎ ‎1.在选择题填空题中常考查比较大小，解不等式等，并且时常与函数、方程、三角等知识结合出题.‎ ‎2.在选择题与填空题中，需建立不等式求参数的取值范围，以及求最大值和最小值的应用题.‎ ‎3.时常与函数、方程、数列、应用题、解几等知识综合，突出渗透数学思想和方法的考查.‎ ‎4.均值定理单独考查的可能性比较小，更多的是在考查相关知识时辅助考查.‎ ‎5.不等式证明中的综合法、比较法、分析法等重要证明方法的灵活运用.‎ ‎6.在解答题中会出现一些不等式的解法以及建立不等式求参数的取值范围，和求最大值和最小值的应用题，特别是不等式与函数、方程、数列、应用题、解几的综合题，会有与导数结合的函数单调性－函数极值－函数最值问题；这些题目会突出渗透数学思想和方法，值得注意。‎ ‎6.绝对值不等式、柯西不等式在不等式证明中的应用.‎ ‎【知识升华】‎ 不等式368991 知识要点】‎ ‎1．在熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式的解法基础上，掌握其它的一些简单不等式的解法．通过不等式解法的复习，提高分析问题、解决问题的能力以及计算能力．‎ ‎2．掌握解不等式的基本思路，即将分式不等式、绝对值不等式等不等式，化归为整式不等式(组)，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式．‎ ‎3．通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)，使学生较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题．‎ ‎4．通过证明不等式的过程，培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力．‎ ‎5．能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题． ‎ ‎6．通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力．在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识． ‎ ‎7.了解绝对值不等式、柯西不等式的几种不同形式，并会应用.‎ ‎【典型例题】‎ 类型一、解不等式 不等式368991 例2】‎ 例1.解关于的不等式 ‎【思路分析】这是一个二次型不等式，需要先从讨论k是否等于0开始.‎ ‎【解析】当时，原不等式即，解得 时，‎ 当时，解原不等式得 当时，解原不等式得 当时，解原不等式得 或 当时，解原不等式得 综上，当时，不等式解集为 当时，不等式解集为 当时，不等式解集为 当时，不等式解集为 当时，不等式解集为 举一反三：‎ ‎【变式1】设，，则是的（　　　）‎ ‎（A）充分不必要条件 　　（B）必要不充分条件 ‎（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎【答案】A.‎ ‎【解析】由题设可得即或；‎ 即或或，选(A)‎ ‎【变式2】记关于的不等式的解集为，不等式的解集为．‎ ‎（I）若，求；‎ ‎（II）若，求正数的取值范围．‎ ‎【思路分析】本题主要考查集合的有关概念和运算及分式不等式和含绝对值的不等式的解法.‎ ‎【解析】（I）由，得．‎ ‎（II）．‎ 由，得，又，所以，‎ 即的取值范围是．‎ 例2（2018 河南模拟）已知函数f（x）=x2+（lga+2）x+lgb满足f（﹣1）=﹣2且对于任意x∈R，恒有f（x）≥2x成立．‎ ‎（1）求实数a，b的值；‎ ‎（2）解不等式f（x）＜x+5．‎ ‎【解析】（1）由f（﹣1）=﹣2知，lgb﹣lga+1=0①，所以②．‎ 又f（x）≥2x恒成立，f（x）﹣2x≥0恒成立，‎ 则有x2+x•lga+lgb≥0恒成立，‎ 故△=（lga）2﹣4lgb≤0，‎ 将①式代入上式得：（lgb）2﹣2lgb+1≤0，即（lgb﹣1）2≤0，‎ 故lgb=1即b=10，代入②得，a=100；‎ ‎（2）由（1）知f（x）=x2+4x+1，f（x）＜x+5，‎ 即x2+4x+1＜x+5，‎ 所以x2+3x﹣4＜0，‎ 解得﹣4＜x＜1，‎ 因此不等式的解集为{x|﹣4＜x＜1}．‎ ‎【总结升华】‎ ‎①在含参不等式问题中,二次不等式恒成立的充要条件的理论依据:‎ ax2+bx+c>0对任何xR恒成立a>0且Δ=b2-4ac<0；‎ ax2+bx+c<0对任何xR恒成立a<0且Δ=b2-4ac<0。‎ ‎②与不等式恒成立相互依存,相互支撑与相互转化的最值命题：‎ μ＜f(x)恒成立μ＜f(x)的最小值或μ≤f(x)的下确界 μ＞f(x)恒成立μ＞f(x)的最大值或μ≥f(x)的上确界 举一反三：‎ ‎【变式1】（2018 江苏三模）已知函数f（x）=x2+ax+6．‎ ‎（1）当a=5时，解不等式f（x）＜0；‎ ‎（2）若不等式f（x）＞0的解集为R，求实数a的取值范围．‎ ‎【解析】（1）∵当a=5时，不等式f（x）＜0即 x2+5x+6＜0，‎ ‎∴（x+2）（x+3）＜0，‎ ‎∴﹣3＜x＜﹣2．‎ ‎∴不等式f（x）＜0的解集为{x|﹣3＜x＜﹣2}‎ ‎（2）不等式f（x）＞0的解集为R，‎ ‎∴x的一元二次不等式x2+ax+6＞0的解集为R，‎ ‎∴△=a2﹣4×6＜0⇒﹣2＜a＜2‎ ‎∴实数a的取值范围是（﹣2，2）‎ 类型二、线性规划中的不等式 例3.双曲线的两条渐近线与直线围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（　　　　）‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎【思路点拨】结合双曲线的图象性质和线性规划的知识，体现数形结合能力.‎ ‎【解析】作图可知三角形区域在第一象限.即满足，故选(A)‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】若实数x、y满足则的取值范围是( )‎ A.(0,1) B. C.(1,+) D.‎ ‎【答案】C ‎【变式2】已知实数满足如果目标函数的最小值为，则实数等于（ ）‎ A．7 B．5 C．4 D．3‎ ‎【答案】B 类型三、不等式知识的综合应用 例4.已知函数在R上是增函数，.‎ ‎（1）求证：如果；‎ ‎（2）判断（1）中的命题的逆命题是否成立？并证明你的结论；‎ ‎（3）解不等式 ‎【解析】（1）证明：当 ‎（2）（1）中命题的逆命题为： ①‎ ①的逆否命题是： ②‎ 仿（1）的证明可证②成立，又①与②互为逆否命题，故①成立，即（1）中命题的逆命题成立. ‎ ‎（3）根据（2），所解不等式等价于 举一反三：‎ ‎【变式1】设数列满足，且。‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，为数列的前项和，证明：。‎ ‎【解析】（I）由题设， 即是公差为1的等差数列。‎ 又，故，所以 ‎ （II）由（I）得 ‎ ， ‎ ‎ ‎ 例5.已知函数在与时都取得极值.‎ (1) 求、的值及函数的单调区间；‎ (2) 若对,不等式恒成立,求的取值范围.‎ ‎【思路点拨】函数的导数，函数，函数极值的判定，给定区间上二次函数的最值等基础知识的综合运用，考查数形结合的数学思想分析问题，解决问题的能力.‎ ‎【解析】 ‎ 由得 ‎，函数的单调区间如表： ‎ ‎ ‎ 极大值 极小值 所以函数的递增区间为与；递减区间为.‎ ‎（2）‎ ‎，当时，为极大值 而，则为最大值，‎ 要使（）恒成立，只须，‎ 解得或.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】设函数．‎ ‎（Ⅰ）求f(x)的单调区间和极值；‎ ‎（Ⅱ）是否存在实数a，使得关于x的不等式的解集为（0，+）？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由．‎ ‎【解析】（Ⅰ）．‎ 故当时，，时，．‎ 所以在单调递增，在单调递减．‎ 由此知在的极大值为，没有极小值．‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）当时，由于 ‎，‎ 故关于的不等式的解集为．‎ ‎（ⅱ）当时，由知 ‎，其中为正整数，‎ 且有．‎ 又时，，且 ‎．‎ 取整数满足，，且，‎ 则，‎ 即当时，关于的不等式的解集不是．‎ 综合（ⅰ）（ⅱ）知，存在，使得关于的不等式的解集为，‎ 且的取值范围为.‎ 类型四、绝对值不等式、柯西不等式问题 例6.已知函数，且的解集为。‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，且，求证：。‎ ‎【解析】(1)∵‎ 的解集是 故。‎ ‎(2)由（1）知,由柯西不等式得 ‎。‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】已知是不全相等的正数，求证：‎ ‎【证明】∵b2 + c2 ≥ 2bc , a > 0 , ∴a(b2 + c2) ≥ 2abc ‎ 同理：b(c2 + a2) ≥ 2abc , c(a2 + b2) ≥ 2abc ‎ ∴a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) ≥ 6abc ‎ （当且仅当b=c，c=a，a=b时取等号），‎ 而a, b, c是不全相等的正数 ‎ ∴a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc ‎【变式2】已知实数x,y满足:求证: .‎ ‎【证明】∵, ‎ 由题设∴.∴.‎