【数学】2020届一轮复习人教A版证明不等式的基本方法课时作业

【数学】2020届一轮复习人教A版证明不等式的基本方法课时作业

‎2020届一轮复习人教A版 证明不等式的基本方法 课时作业 ‎ 1、分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a＞b＞c，且a+b+c=0”，求证＜a”索的因应是（　　）‎ A．a﹣b＞0 B．a﹣c＞0 C．（a﹣b）（a﹣c）＞0 D．（a﹣b）（a﹣c）＜0‎ ‎2、分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a＞b＞c，且a+b+c=0”，求证＜a”索的因应是（　　）‎ A．a﹣b＞0 B．a﹣c＞0 C．（a﹣b）（a﹣c）＞0 D．（a﹣b）（a﹣c）＜0 3、已知不等式对任意及恒成立，则实数的取值范围为 ‎ ‎ A B C D 4、已知a＞0，b＞0，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．‎ ‎5、已知a＞0，b＞0，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．‎ ‎6、(Ⅰ) 设不等式的解集是，．试比较与的大小；‎ ‎(Ⅱ)设，且．求证：． 7、已知a＋b>0，比较＋与＋的大小．并加以证明。‎ ‎8、‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ 若a＞0，b＞0且2ab=a+2b+3．‎ ‎（1）求a+2b的最小值；‎ ‎（2）是否存在a，b使得a2+4b2=17？并说明理由．‎ ‎9、‎ 已知函数f（x）=|x+sin2θ|，g（x）=2|x﹣cos2θ|，θ∈[0，2π]，且关于x的不等式2f（x）≥a﹣g（x）对？x∈R恒成立．‎ ‎（1）求实数a的最大值m；‎ ‎（2）若正实数a，b，c满足a+2b+3c=2m，求a2+b2+c2的最小值．‎ ‎10、‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ 已知函数f（x）=|x|﹣|x﹣1|．‎ ‎（1）若关于x的不等式f（x）≥|m﹣1|的解集非空，求实数m的取值集合M．‎ ‎（2）记（1）中数集M中的最大值为k，正实数a，b满足a2+b2=k，证明：a+b≥2ab．‎ ‎11、（1）已知都是正数，且，求证：；‎ ‎（2）已知都是正数，求证：.‎ ‎12、已知求证：‎ ‎13、选修4-5：不等式选讲 已知．且是正数，‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若不等式对一切满足题设条件的正实数恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎14、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 ‎ 已知，不等式的解集为。‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）当时，证明：。‎ ‎15、（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲设均为正数，且，证明： （Ⅰ）； （Ⅱ）．‎ ‎16、（Ⅰ）设x≥1，y≥1，证明x+y+≤++xy；‎ ‎（Ⅱ）1≤a≤b≤c，证明logab+logbc+logca≤logba+logcb+logac．‎ ‎17、已知a，b，c∈R，a2+b2+c2=1．‎ ‎（Ⅰ）求证：|a+b+c|≤；‎ ‎（Ⅱ）若不等式|x﹣1|+|x+1|≥（a+b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．‎ ‎18、已知函数对于任意不等的两个正数x1，x2，证明：当a≤0时，‎ ‎19、已知a，b，c∈(0,1)．求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同时大于 ‎20、若a，b，c均为实数，且求证：a，b，c中至少有一个大于0.‎ 参考答案 ‎1、答案：C 由题意可得，要证＜a，经过分析，只要证（a﹣c）（a﹣b）＞0，从而得出结论．‎ 解：由a＞b＞c，且a+b+c=0可得 b=﹣a﹣c，a＞0，c＜0．‎ 要证＜a，只要证 （﹣a﹣c）2﹣ac＜3a2，‎ 即证 a2﹣ac+a2﹣c2＞0，即证a（a﹣c）+（a+c）（a﹣c）＞0，‎ 即证 a（a﹣c）﹣b（a﹣c）＞0，即证（a﹣c）（a﹣b）＞0．‎ 故求证“＜a”索的因应是 （a﹣c）（a﹣b）＞0，‎ 故选C．‎ 本题主要考查用分析法证明不等式，属于中档题．‎ ‎2、答案：C ‎ 解：由a＞b＞c，且a+b+c=0可得 b=﹣a﹣c，a＞0，c＜0．‎ 要证＜a，只要证 （﹣a﹣c）2﹣ac＜3a2，‎ 即证 a2﹣ac+a2﹣c2＞0，即证a（a﹣c）+（a+c）（a﹣c）＞0，‎ 即证 a（a﹣c）﹣b（a﹣c）＞0，即证（a﹣c）（a﹣b）＞0．‎ 故求证“＜a”索的因应是 （a﹣c）（a﹣b）＞0，‎ 故选C．‎ 本题主要考查用分析法证明不等式，属于中档题．‎ ‎3、答案：B 4、答案：利用综合法，说明a2﹣2ab+b2＞0，证明（a+b）（a2﹣ab+b2）＞ab（a+b），然后推出结果．‎ 证明：a＞0，b＞0，且a≠b，∴a﹣b≠0，∴（a﹣b）2＞0，∴a2﹣2ab+b2＞0∴a2﹣ab+b2＞ab，∵a＞0，b＞0，a+b＞0，‎ ‎∴（a+b）（a2﹣ab+b2）＞ab（a+b）‎ ‎∴a3+b3＞a2b+ab2‎ 其他证法对应给分．‎ 本题考查不等式的证明，综合法的应用，考查计算能力． 5、答案：证明：a＞0，b＞0，且a≠b，∴a﹣b≠0，∴（a﹣b）2＞0，∴a2﹣2ab+b2＞0…（2分）‎ ‎∴a2﹣ab+b2＞ab，∵a＞0，b＞0，a+b＞0，‎ ‎∴（a+b）（a2﹣ab+b2）＞ab（a+b）‎ ‎∴a3+b3＞a2b+ab2…（12分）‎ 其他证法对应给分．‎ 本题考查不等式的证明，综合法的应用，考查计算能力． ‎ ‎6、答案：证明： ‎ ‎ 7、答案：试题分析：‎ 要比较两数大小，可用作差法求得两数的差，然后通分因式分解得，最后把这个数与0比较，确定它为正，从而证明出结论．‎ 试题 ‎＋－＝＋＝(a－b)＝.‎ ‎∵a＋b>0，(a－b)2≥0，∴≥0，∴＋≥＋.‎ 名师点评：比较大小的常用方法 ‎(1)作差法：‎ 一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．‎ ‎(2)作商法：‎ 一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．‎ ‎(3)特值法：‎ 若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断．‎ 注意：用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论． 8、答案：‎ 解：（1）由条件知a（2b﹣1）=2b+3＞0，．所以．≥2‎ 当且仅当2b﹣1=2，即，a=3时取等，所以a+2b的最小值为6．‎ ‎（2）因为，当且仅当，a=3时取等，‎ 所以a2+4b2≥18，故不存在a，b使得a2+4b2=17． 9、答案：解：（1）函数f（x）=|x+sin2θ|，g（x）=2|x﹣cos2θ|，θ∈[0，2π]，且关于x的不等式2f（x）≥a﹣g（x）对？x∈R恒成立，‎ 故 2|x+sin2θ|≥a﹣2|x﹣cos2θ|恒成立，即 2|x+sin2θ|+2|x﹣cos2θ|≥a 恒成立．‎ ‎∵2|x+sin2θ|+2|x﹣cos2θ|≥|2x+2sin2θ﹣（2x﹣2cos2θ）|=2，∴2≥a，即a≤2，∴a的最大值为m=2．‎ ‎（2）∵a+2b+3c=2m=4，∴16=（a+2b+3c）2≤（a2+b2+c2）？（12+22+32）=14？（a2+b2+c2），‎ ‎∴a2+b2+c2 ≥=，即a2+b2+c2的最小值 为． 10、答案：‎ 解：（1）由已知可得f（x）=，‎ 所以fmax（x）=1，…‎ 所以只需|m﹣1|≤1，解得﹣1≤m﹣1≤1，∴0≤m≤2，‎ 所以实数m的最大值M=2…‎ ‎（2）因为a＞0，b＞0，‎ 所以要证a+b≥2ab，只需证（a+b）2≥4a2b2，‎ 即证a2+b2+2ab≥4a2b2，‎ 所以只要证2+2ab≥4a2b2，…‎ 即证2（ab）2﹣ab﹣1≤0，‎ 即证（2ab+1）（ab﹣1）≤0，因为2ab+1＞0，所以只需证ab≤1，‎ 下证ab≤1，‎ 因为2=a2+b2≥2ab，所以ab≤1成立，‎ 所以a+b≥2ab… 11、答案：(1)证明见解析；(2)证明见解析．‎ 试题分析：（1）证明：因为都是正数,即 ‎；（2）证明：因为，①，同理②，③，①②③相加得.由，，都是正数，得，因此.‎ 试题 解：（1）证明：.‎ 因为都是正数，所以.‎ 又因为，所以.‎ 于是,即 所以；5分 ‎（2）证明：因为，所以.①‎ 同理.②.③‎ ①②③相加得 从而.‎ 由都是正数，得，因此.10分 考点：不等式的证明. 12、答案：试题分析：本题倘若直接证明，难度较大，可采用逆向思维法，即把不等式看做是成立的，利用充要条件的的性质推导出不等式成立的条件.如 ‎，再结合已知条件便可证得成立即，同理也可证得 成立.‎ 试题要证明原不等式成立，只需证,‎ 即证.‎ 因为，所以.‎ 所以只需证.‎ 即证,即证.‎ 因为，所以成立.‎ 故原不等式成立.‎ 考点：不等式的证明. 13、答案：（1）见解析；（2）‎ ‎（1）证：∵，且是正数，‎ ‎∴ ‎ ‎∴ （当且仅当 时取等号）‎ ‎（2）解：∵，‎ ‎∴‎ ‎∴ （当且仅当 时取等号）‎ 由可解得的取值范围是 ‎ ‎14、答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）. ‎ ‎15、答案：证明：(1)由a＋b≥2ab，b＋c≥2bc，c＋a≥2ca得 a＋b＋c≥ab＋bc＋ca.‎ 由题设得(a＋b＋c)＝1，即a＋b＋c＋2ab＋2bc＋2ca＝1.‎ 所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.‎ ‎(2)因为 ＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，‎ 故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c，又a＋b＋c＝1，‎ 所以＋＋≥1. 16、答案：试题分析：（Ⅰ）根据题意，首先对原不等式进行变形有x+y+≤++xy？xy（x+y）+1≤x+y+（xy）2；再用做差法，让右式﹣左式，通过变形、整理化简可得右式﹣左式=（xy﹣1）（x﹣1）（y﹣1），又由题意中x≥1，y≥1，判断可得右式﹣左式≥0，从而不等式得到证明．‎ ‎（Ⅱ）首先换元，设logab=x，logbc=y，由换底公式可得：logba=，logcb=，logac=，logac=xy，将其代入要求证明的不等式可得：x+y+≤++xy；又有logab=x≥1，logbc=y≥1，借助（Ⅰ）的结论，可得证明．‎ 试题证明：（Ⅰ）由于x≥1，y≥1；则x+y+≤++xy？xy（x+y）+1≤x+y+（xy）2；‎ 用作差法，右式﹣左式=（x+y+（xy）2）﹣（xy（x+y）+1）‎ ‎=（（xy）2﹣1）﹣（xy（x+y）﹣（x+y））‎ ‎=（xy+1）（xy﹣1）﹣（x+y）（xy﹣1）‎ ‎=（xy﹣1）（xy﹣x﹣y+1）‎ ‎=（xy﹣1）（x﹣1）（y﹣1）；‎ 又由x≥1，y≥1，则xy≥1；即右式﹣左式≥0，从而不等式得到证明．‎ ‎（Ⅱ）设logab=x，logbc=y，‎ 由换底公式可得：logba=，logcb=，logca=，logac=xy，‎ 于是要证明的不等式可转化为x+y+≤++xy；‎ 其中logab=x≥1，logbc=y≥1，‎ 由（Ⅰ）的结论可得，要证明的不等式成立．‎ 考点：不等式的证明．‎ 点评：本题考查不等式的证明，要掌握不等式证明常见的方法，如做差法、放缩法；其次注意（Ⅱ）证明在变形后用到（Ⅰ）的结论，这个高考命题考查转化思想的一个方向． 17、答案：（﹣] [）‎ ‎（Ⅰ）证明：由柯西不等式得，（a+b+c）2≤（12+12+12）（a2+b2+c2），‎ 即有（a+b+c）2≤3，即有|a+b+c|≤；‎ ‎（Ⅱ）解：不等式|x﹣1|+|x+1|≥（a+b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，‎ 则由（Ⅰ）可知，|x﹣1|+|x+1|≥3，‎ 由x≥1得，2x≥3，解得，x≥；‎ 由x≤﹣1，﹣2x≥3解得，x≤﹣，‎ 由﹣1＜x＜1得，2≥3，不成立．‎ 综上，可得x≥或x≤﹣．‎ 则实数x的取值范围是（﹣] [）．‎ ‎18、答案：‎ 证明：由f(x)＝x2＋＋alnx(x>0)，得 ‎ ‎ ‎19、答案：‎ 证明：假设三式同时大于，‎ ‎20、答案：‎ 证明：假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，‎ 则a＋b＋c≤0，‎ 而a＋b＋c＝x2－2y＋＋y2－2z＋＋z2－2x＋＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3，‎ ‎ ‎